江西省南昌市教研室命制届高三交流卷二数学文试题 Word版含答案.docx
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江西省南昌市教研室命制届高三交流卷二数学文试题Word版含答案
南昌市教研室命制2014届高三交流卷
(二)数学(文)试题
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知复数(是虚数单位),它的实部和虚部的和是()
A.4B.6C.2D.3
3.下列命题中是假命题的是( )
A.上递减
B.
C.;
D.都不是偶函数
4.已知实数满足,则目标函数的最小值为()
A.5B.C.6D.7
5.“”是“函数在区间上为增函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设振幅、相位、初相为方程的基本量,则方程
的基本量之和为()
A. B. C. D.
7.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形是边长为的正方形,
则这个正四面体的主视图的面积为()
A.B.C.D.
8.F1,F2是双曲线的左、右焦点,过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若,则双曲线的离心率是()
A.B.C.2D.
9.设函数在区间上有零点,则实数a的取值范围为()
A.B.C.D.
10.已知是上的偶函数,当时,,又是函数的正零点,则,,的大小关系是()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题4分,共16分.
11.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________.
12.如图,已知,与的夹角为,点是的外接圆上优孤上的一个动点,则的最大值为.
13.右图是一个算法的程序框图,最后输出的________.
14.表示不超过的最大整数.
,
,
,
那么.
15.若对于恒成立,则实数a的取值范围
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.
16.(本题满分12分)
已知为向量与的夹角,,,关于的一元二次方程x有实根.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数的最值.
17.已知正方形ABCD的边长为2,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.
(1)从C、D、E、F、G、H这六个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为m,
求概率P(m≤4).
(2)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足|PE|<2的概率.
18.(本题满分12分)
已知数列的前项和为,且满足(是常数且,),.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列为等比数列,求的通项公式;
(3)在
(2)的条件下,记,是否存在正整数,使都成立?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,O是AC的中点,A1O⊥平面ABC,∠BCA=90°,AA1=AC=BC.
(I)求证:
AC1⊥平面A1BC;
(II)若AA1=2,求三棱锥C-A1AB的高的大小.
20.(本题满分13分)
如图,设是椭圆:
的左焦点,为椭圆的长轴,为椭圆上一点,
且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点,
①求证:
对于任意的割线,恒有;
②求三角形面积的最大值.
21.(本小题满分14分)设函数,.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点.
(3)设为函数的极小值点,的图象与轴交于两点,且,中点为,比较与的大小.
答案
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知复数(是虚数单位),它的实部和虚部的和是()
A.4B.6C.2D.3
3.下列命题中是假命题的是( )
A.上递减
B.
C.;
D.都不是偶函数
4.已知实数满足,则目标函数的最小值为()
A.5B.C.6D.7
5.“”是“函数在区间上为增函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设振幅、相位、初相为方程的基本量,则方程
的基本量之和为()
A. B. C. D.
7.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形是边长为的正方形,
则这个正四面体的主视图的面积为()
A.B.C.D.
8.F1,F2是双曲线的左、右焦点,过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若,则双曲线的离心率是()
A.B.C.2D.
9.设函数在区间上有零点,则实数a的取值范围为()
A.B.C.D.
10.已知是上的偶函数,当时,,又是函数的正零点,则,,的大小关系是()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题4分,共16分.
11.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________.
答案:
12.如图,已知,与的夹角为,点是的外接圆上优孤上的一个动点,则的最大值为.
13.右图是一个算法的程序框图,最后输出的_____22___.
14.表示不超过的最大整数.
,
,
,
那么.55
15.若对于恒成立,则实数a的取值范围
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.
17.已知正方形ABCD的边长为2,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.
(1)从C、D、E、F、G、H这六个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为m,
求概率P(m≤4).
(2)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足|PE|<2的概率.
解:
(1)P=………………………6分
(2)这是一个几何概型.所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面积是.满足的点构成的平面区域是以为圆心,2为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、2为半径、圆心角为的扇形的内部与两个直角边分别为1和的直角三角形内部构成.
其面积是.
所以满足的概率为…………………………12分
18.(本题满分12分)
已知数列的前项和为,且满足(是常数且,),.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列为等比数列,求的通项公式;
(3)在
(2)的条件下,记,是否存在正整数
,使都成立?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)由得:
∴,
当n≥2时,
,∴
∴数列是首项为,公比为的等比数列
∴
(2)解:
若数列为等比数列,则,,此时,
(3)证:
∴
由n∈N*都成立得:
即n∈N*都成立∵是正整数,∴的值为1、2、3.
19.(本小题满分12分)
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,O是AC的中点,A1O⊥平面ABC,∠BCA=90°,AA1=AC=BC.
(I)求证:
AC1⊥平面A1BC;
(II)若AA1=2,求三棱锥C-A1AB的高的大小.
解:
(Ⅰ)因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.
又BC⊥AC,所以BC⊥平面A1ACC1,所以AC1⊥BC.…2分
因为AA1=AC,所以四边形A1ACC1是菱形,所以AC1⊥A1C.
所以AC1⊥平面A1BC.…6分
(Ⅱ)设三棱锥C-A1AB的高为h.
由(Ⅰ)可知,三棱锥A-A1BC的高为AC1=.
因为VC-A1AB=VA-A1BC,即S△A1ABh=S△A1BC·.
在△A1AB中,AB=A1B=2,AA1=2,所以S△A1AB=.…10分
在△A1BC中,BC=A1C=2,∠BCA1=90,所以S△A1BC=BC·A1C=2.
所以h=.…12分
20.(本题满分13分)
如图,设是椭圆:
的左焦点,为椭圆的长轴,为椭圆上一点,
且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点,
①求证:
对于任意的割线,恒有;
②求三角形面积的最大值.
解:
(Ⅰ);
(Ⅱ)①易知直线斜率存在.
当的斜率为时,显然,满足题意,
当的斜率不为时,设:
,,,
由.
∴,
,.
则,
又,∴,
从而.
综合可知:
对于任意的割线,恒有.
②由①,,
,
当且仅当,即(此时适合于的条件)时取等号.
∴三角形面积的最大值是.
换元法:
令,则.
21.(本小题满分14分)设函数,.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点.
(3)设为函数的极小值点,的图象与轴交于两点,且,中点为,比较与的大小.
解:
(1)
依题意得,在区间上不等式恒成立.
又因为,所以.所以,
所以实数的取值范围是.
(2),令
①显然,当时,在上恒成立,这时,
此时,函数没有极值点;…………………………………6分
②当时,
(ⅰ)当,即时,在上恒成立,这时,此时,函数没有极值点;
(ⅱ)当,即时,
易知,当时,,这时;
当或时,,这时;
所以,当时,是函数的极大值点;是函数的极小值点.
综上,当时,函数没有极值点;
当时,是函数的极大值点;
是函数的极小值点.………9分
(3)由已知得两式相减,得:
……①
由,得…………②得①代入②,得
=
令且
在上递减,
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