第5章习题解答1.docx
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第5章习题解答1.docx
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第5章习题解答1
习题1
试利用托勒密定理证明以下问题:
1.
.
证明:
如图,BD是直径,记
,
根据托勒密定理有
,
由正弦定理可得
所以
。
2.正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中,长者等于其余两者之和。
证明:
由托勒密定理知
AB•PC+AC•PB=PA•BC
因为AB=AC=BC,所以PA=PB+PC,即正三角形的外接圆上一点到三角形三顶点的连线段中,长者等于其余两者之和。
3.设P是AB=AC的等腰ABC的外接圆的BC弧上的一点,则
。
证明:
由托勒密定理知
AB•PC+AC•PB=PA•BC
因为AB=AC,所以
。
4.设P是正方形ABCD的外接圆的AB弧上的一点,则
。
证明:
如图,连AC,BD,由托勒密定理可得(2分)
PA•CD+PC•AD=PD•AC,
PB•AD+PD•BC=PC•BD,
因为AB=BC=CD=DA,AC=BD,故两式相除,得
。
又由托勒密定理可得
AC•PB+BC•PA=PC•AB
BD•PA+AD•PB=PD•AB(4分)
因为AB=BC=CD=DA,AC=BD=
,
所以将以上二式相加,得
(2分)
所以
。
(2分)
5.设P是正六边形ABCDEF的外接圆的AB弧上的一点,则PD+PE=PA+PB+PC+PF。
证明:
易知ΔACE,ΔACE都是正三角形,那么应用第2题
的结论可得
PE=PA+PC,PD=PB+PF
两式相加即得
PD+PE=PA+PB+PC+PF。
6.设P是正五边形ABCDE的外接圆的弧AB上的一点,则PC+PE=PA+PB+PD。
证明:
分别对圆内接四边形APBE、APBC和APBD
应用托勒密定理可得
PE•AB=PA•BE+PB•AE,
PC•AB=PA•BC+PB•AC,
PD•AB=PA•BD+PB•AD,
从而(PC+PE)AB=(PA+PB)BC+PA•BE+PB•AC
=(PA+PB)BC+PA•BD+PB•AD
=(PA+PB)BC+PD•AB
所以PC+PE=PA+PB+PD。
习题2
1.
设⊙O1、⊙O2内切,切点为A,过A任作直线l,分别交⊙O1、
⊙O2于另一点B、C,证明⊙O1、⊙O2在B、C处的切线平行。
证明:
如图,A、M分别作切线AT,MS,那么
由切线的性质知∠BDA=∠TAM=∠SMA,
所以BC//SM,即⊙O1、⊙O2在B、C处的切线平行。
2.设⊙O1、⊙O2内切,切点为A,证明:
A是两圆的位似中心。
证明:
连O1D、O2M,则O1D⊥BC、O2M⊥SM,故O1D//O2M。
因为A、O1、O2共线
所以
,故AA是两圆的位似中心。
3.设⊙O1、⊙O2内切,切点为A,⊙O2内的弦BC切⊙O1于点D,证明:
直线AD过弧BC的中点。
证明:
如第1题图,A、M分别作切线AT,MS,那么由切线的性质知
∠BDA=∠TAM=∠SMA,
所以BC//SM。
所以∠CAM=∠CBM=∠BMS=∠BAM,所以直线AD过弧BC的中点。
4.设⊙O1、⊙O2外切,又同时与⊙O3分别内切于A、B,⊙O1、⊙O2的一条外公切线与⊙O1、⊙O2切于点C、D,证明:
(1)AC、BD交于⊙O3上的一点;
(2)A、B、C、D共圆;
(3)AC、BD、⊙O1和⊙O2的内公切线三线共点;
(4)AB、CD、O1O2三线共点。
(5)设⊙O1与⊙O2的切点为T,CD交⊙O3于K、L,⊙O1与⊙O2的内公切线在CD的一侧交⊙O3于M,则MF=MG=ME。
(6)设⊙O1与⊙O2的切点为E,外位似中心为O,则OE2=OA·OB。
证明:
(1)如图,记CD与⊙O3的交点为E、F,根据
第3题结论知AC过弧EF的中点,BD也过弧EF的中点,
所以AC、BD交于⊙O3上的一点。
(10分)
(2)连AB,那么由M是EF弧的中点知,
∠BDF是BF弧和EN弧度数的半和,从而是BM弧的度数
的半和,所以∠BDF=∠BAM,所以A、B、C、D共圆。
(3)如图,记⊙O2外的半径为r,那么
MD•MB=(MO2)2–r2=(MO2)2–O2T2,
所以MT是⊙O2的切线。
同理,MT也是⊙O1的切线。
从而有AC、BD、⊙O1和⊙O2的内公切线三线共点。
(4)考察ΔAO1和ΔBO2D,易知AO1,BO2交于O3,而M是弧EMF的中点,
所以O3M⊥CD,O1C//O2D//O3M,那么根据笛沙格逆定理知AB、CD、O1O2三线共点。
(5)如图,连BL,记⊙O2外的半径为r,那么
MD•MB=(MO2)2–r2=(MO2)2–O2T2,
所以MT是⊙O2的切线。
同理,MT也是⊙O1的切线。
根据第1题结论知M是弧KL的中点,所以
MK=ML,
故∠KLM=∠LKM。
由∠DLM=∠LKM=∠LBM,知ΔMLB∽ΔMDL,
所以
,即ML2=MB•MD。
但MT2==MB•MD,所以MK=ML=MT。
(6)如图,设ME交CD于N,连EC、ED,
易知∠CED==900,由
∠CEN+∠NED=∠NED+∠DEO=900,
得
ΔCEO∽ΔEDO。
所以
,即OE2=OC•OD。
又C、D、A、B共圆,故OC•OD=OA•OB,
所以OE2=OA·OB。
5.给定三个圆⊙A,⊙B、⊙C,证明:
(1)设⊙B与⊙C的外位似中心为X,⊙A与⊙C外位似中心为Y,⊙A与⊙B外位似中心为Z,则X、Y、Z共线;
(2)设⊙B与⊙C的内位似中心为D,⊙A与⊙C外位似中心为E,⊙A与⊙B外位似中心为F,则AD、BE、CF共点。
证明:
习题3
1.在已知三直线上各取两点,若能使每两对点共圆,则三直线共点或此六点共圆。
证明:
若此六点不共圆,则三直线即为此三圆确定的三条根轴,从而它们共点或平行。
故结论成立。
2.一个固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。
证明:
对共轴圆系中的任意二圆,与固定圆一起,共三圆,由第1题的结论知,三圆确定的三条根轴共点。
由此即得固定圆与一个共轴圆系中每一圆的根轴共点。
3.若一个四边形有等角共轭点,则这对点在四边上的射影共圆。
证明:
如图,设P、Q是一对等角共轭点,那么
∠A1BP=∠B2BQ,∠A2BQ=∠B1BP,
所以BA2=BB1,BA1=BB2,即
BA2•BA1=BB1•BB2,
所以A1,A2,B1,B2四点共圆。
同理,B1,B2,C1,C2四点共圆;C1,C2,D1,D2四点共圆;
D1,D2,A1,A2四点共圆。
易知A1A2、B1B2、C1C2、D1D2的中垂线共点于PQ的中点O。
从而由O点到A1、A2、B1、B2、D1、D2的距离相等,所以A1、A2、B1、B2、D1、D2共圆,即四边形的等角共轭点对在四边上的射影共圆。
4.若一个圆的内接四边形的对角线互相垂直,则对角线的交点在四边上的射影及各边中点,共八点在一个圆上。
证明:
过P作PA1⊥AB于A1,过O作OB2⊥BC于B2,
连OB,那么
∠A1PB=∠BAP=∠BDC=∠B2OB,
所以∠ABP=∠OBC。
同理,∠BCP=∠DCO,∠CDO=∠ADP,∠BAP=∠DAO,
即O与P是四边形ABCD的一对等角共轭点。
利用第3题的结论
知O、P在四边上的射影共八点,它们是共圆的。
但圆心O在各边
上的射影正好是各边的中点,所以对角线的交点在四边上的射影及各边中点,共八点在一个圆上。
5.在凸五边形ABCDE中,AB=BC,∠BCD=∠EAB=900,P为形内一点,使得AP⊥BE,CP⊥BD。
证明:
BP⊥DE。
证明一:
过B作BQ⊥DE于Q,那么
BR2–RE2+EQ2–QD2+DS2–SB2
=AB2–AE2+BE2–BD2+CD2–CB2
=2AB2–2BC2
=02--222
所以AR、BQ、CS共点,故BP⊥DE。
证明二:
因为AP⊥BE,CP⊥BD,故
PE2–PB2=AE2–AB2=BE2–2AB2,PD2–PB2=CD2–BC2=BD2–2BC2,
两式相减,得PE2–PD2=BE2–BD2,所以BP⊥DE。
证明三:
设AP交⊙ABE于A′,CP交⊙BCD于C′,那么AR=A′R,CS=C′S。
故
PA•PA′=AR2–PR2=AB2–BR2–(BP2–BR2)=AB2–BP2
PC•PC′=CS2–PS2=BC2–BS2–(BP2–BS2)=BC2–BP2
所以PA•PA′=PC•PC′,即P是关于二圆的一个等幂点,所以BP垂直于二圆的连心线。
但二圆的圆心分别为BE、BD的中点,故连心线平行于DE,于是BP⊥DE。
6.在∠AOB内部一点C,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,再过D作DN⊥OB于点N,过点E作EM⊥OA于点M。
证明:
OC⊥MN。
证明:
设ME与DN交于R,连CR、OR,由DN⊥OB,
EM⊥OA,可知O、N、R、M共圆,圆心为OR的中点P。
又∠MEO=∠NDO,故N、E、D、M共圆,圆心为CR的中点Q。
二圆的根轴为MN,所以PQ⊥MN。
而PQ//OC,所以OC⊥MN。
7.设锐角ΔABC的外心为O,ΔBOC的外心为T,点M为边BC的中点,在边AB、AC上分别取点D、E,使得∠ADM=∠AEM=∠BAC。
证明:
AT⊥DE。
证明:
如图,设DM、EM的延长线分别交AC、AB于P、Q,
则ΔADP和ΔAEQ都是等腰三角形。
设K、L分别为AD、AE的中点,那么QL⊥AE,PK⊥AD。
设KP与LQ交于R,则A、K、R、L共圆,圆心为AR的中点S。
又K、L、P、Q共圆,且圆心为PQ的中点N。
而KL是两圆的根轴,故SN⊥KL。
另一方面,∠MTC=∠BOC=2∠BAC=∠MPC,
所以T、M、C、P共圆。
故∠TPC=∠TMC=900。
于是TP⊥AC。
所以TP//QR。
同理,TQ//RP。
所以RQTP是平行四边形,故RT与PQ互相平分。
从而SN//AT。
但KL//DE,所以AT⊥DE。
习题4
1.正交的二圆中,在交点处一个圆的切线必过另一圆的圆心。
证明:
根据定理“两圆正交的充分必要条件是两圆半径的平方和
等于两连心线段的平方”知AC⊥CB,即正交的二圆中,在交点处
一个圆的切线必过另一圆的圆心。
2.以圆外一点为圆心可作一个圆与已知圆正交。
证明:
如上图,过B作⊙A的切线,切点为C,以B为心,BC为半径作圆,易知⊙B与⊙A正交。
3.过已知圆上两点可作一圆与已知圆正交。
证明:
如图,C、D是⊙A上的二点,过C、D作⊙A的切线
交于B,以B为心,BC为半径作圆,易知⊙B与⊙A正交。
4.与两个已知圆都正交的圆,其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。
证明:
因为正交圆的交点处的切线经过另一圆的圆心,故与两个圆都正交的圆的圆心到两圆的切线长相等,即与两都正交的圆的圆心是到两圆的幂相等的点,所以在两圆的根轴上。
由所作的是切线,故要求圆心在两圆的外部,即与两个已知圆都正交的圆,其圆心的轨迹是这两圆的根轴在圆外的部分。
5.三个圆有且仅有一个公共的正交圆,其圆心是三个已知圆的根心,只要这个点在三个圆外。
证明:
设⊙O与⊙O1、⊙O2、⊙O3都正交,由第四题的结论可知,O在⊙O1、⊙O2的根轴上,也在⊙O1、⊙O3的根轴上,所以O就是⊙O1、⊙O2、⊙O3的根心,但要求三圆的根心在三圆的外部。
6.与两定圆正交的圆构成一个共轴圆系。
证明:
如图,设⊙O1(r1)、⊙O2(r2)是两个定圆,
此二圆的根轴与连心线的交点为A,那么与二圆正交
的任意⊙O(R)的圆心在二圆的根轴上。
设⊙O交⊙O1于D,
交连心线于B,则
AB2=R2–OA2=O1O2–r12–(O1O2–O1A2)
=O1A2–r12
从而AB的长为常数,故⊙O过两个固定点,所以与两定
圆正交的圆构成一个共轴圆系,其轴为二定圆的连心线。
习题5
1.设⊙O与直线l相离,过l上的点P作⊙O的切线PA、PB,则切点A、B的连线过定点。
证明:
设OP交AB于G,过O作m的垂线交m于K,
交AB于H。
∵GH⊥PG,PK⊥KH
∴P、G、K、H四点共圆。
∴OK•OH=OG•OP=OA2。
∵OK、OA都是常数,
∴H是定点,即AB过一个定点。
(另证:
因为P的直线m上,所以P的极线通过
m的极点,即AB通过一个定点。
)
2.设⊙O外有n个共线点Pi(i=1,2,……,n),过Pi作⊙O的切线,切点为Ai,Bi,则直线AiBi共点。
证明:
见第1题。
3.过圆外一点任作一条割线交圆于两点,则这两点处的切线的交点在一条定直线上。
证明:
设圆外一点为P,过P的割线交圆于A、B,A、B处的切线交于Q,则Q的极线为AB,因为AB过P点,那么由配极原则知P的极线过Q点,即Q在P的极线上。
所以过圆外一点任作一条割线交圆于两点,则这两点处的切线的交点在一条定直线上。
4.
过圆外一点P作圆的切线PA、PB,切点为A、B,
连AB、OP交于K。
过K任作一弦CD,则OP平分∠CPD。
证明:
如图,连OC、OD。
∵PA、PB是切线,
∴OK•KP=KB2=BK•KA
∴P、C、O、D共圆。
∴∠CPO=∠CDO=∠DCO=∠DPO,
即OP平分∠CPD。
(另证:
因为K的极线为过P且与OP垂直的直线m。
设直线CB与m交于M,则(CD,KM)=–1。
由MP⊥PK知,PM、PK为∠CPD的平分线。
)
5.设P为圆外一点,任作圆的直径AiBi,则ΔPAiBi的垂心在一条定直线上。
证明:
由第6题的结论知,ΔPAiBi的垂心Hi在定直线(P的切点弦)上。
6.设H为锐角ΔABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,切点为P、Q,求证:
P、H、Q三点共线。
(1996年,CMO)
证明:
如图,连PQ、OA交于G,连OQ。
∵AP、AQ是切线,
∴AG•AO=AQ2。
∵H是垂心,
∴AH•AD=AE•AC=AQ2。
∴AH•AD=AG•AO
∴G、O、H、D共圆。
∴GH⊥AO,即H在过G且与AO垂直的直线上。
∴P、H、Q共线。
(另证:
H是BE与CF的交点,从而H在A的极线上。
但A的极线为PQ,所以H、P、Q共线。
)
7.直线m(不过圆心)与⊙O相交,过m在圆外的点作圆的两条切线,切点为A、B,则AB与OK交于定点(其中OK⊥m于K)。
证明:
见第1题。
8.过⊙O内任一点K作弦AiBi(直径除外),再过Ai、Bi分别作圆的切线交于Pi,则所有Pi共线。
证明:
过K作OK的垂线交圆于Q、R两点,设Q、R处的切线
交于点H。
连OAi、OBi、OQ、OR,HQ、HAi、HO、HBi、HPi。
易知H、Ai、O、Bi共圆,但P、Ai、O、Bi共圆,
所以P、H、Ai、O、Bi共圆。
所以∠PHO=∠PAiO=900。
即P在过H且与OK垂直的直线上。
(另证:
Pi为AiBi的极点,而AiBi以过K,从而Pi在K的极线上。
)
9.设K是⊙O直径MN上异于O的一点,过K任作一弦AiBi,连AiM、BiN交于Pi,则所有Pi共线。
证明:
过PiH⊥MN于H连MBi、BiH。
∵MN是直径,
∴Bi、H、Pi、M共圆。
∴∠HBiPi=∠HMPi=∠NBiK,
即BiN是∠KBiH的内角平分线。
由MBi⊥BiN知MBi是∠KBiH的外角平分线。
∴
即
=常数,从而H是一个定点。
∴Pi在过H且垂直于MN的一条定直线上。
(另证:
设MBi与NAi交于Qi,由四边形MAiNBi的调和性可知,
PiQi为K的极线。
所以Pi共线。
)
10.设K是圆内异于圆心的任一点,过K作两条不等的弦AiBi,CiDi,连AiCi、BiDi交于Pi,则所有Pi共线。
证明:
作过K的直径MN,连MAi与NBi交于点Ei,
连MCi与NDi交于Fi,过Ei作MN的垂线,垂足为H,那么
由第6题的结论知,Ei,Fi,H在一条定直线上。
考察ΔMAiCi与ΔNBiDi应用,其对应顶点M、N;Ai、Bi;
Ci、Di的连线共点于K,那么由笛沙格定理知,它们的对应边
MAi与NBi的交点Ei,MCi与NDi的交点Fi,BiDi与AiCi的交点Pi
三点共线。
所以Pi在一条定直线上。
(另证:
设AiDi与BiCi的交点Qi,由四边形AiCiBiDi的调和性可知,
PiQi为K的极线。
所以Pi共线。
)
11.设AB是圆O的直径,直线m过K且与AB垂直,Qi为m上任一点,连AQi、BQi分别交圆于Di、Ci,则CiDi共点。
证明:
如图,Hi为ΔABQi的垂心。
∵ΔBKQi∽ΔBCiA,
∴
(1)
同理,可得
(2)
(3)
(4)
(3)×(4)×
(1)÷
(2),得
因为AK、BK、AB都是固定的,所以X也固定。
所以CiDi共点。
(由四边形ABCiDi的调和性可知,(AB,KX)=–1,但A、B、K固定,所以X是定点。
即CiDi共点。
)
12.设P是圆外定点,过P任作两条不相等的割线PDiAi、PCiBi。
设AiBi、CiDi交于
Qi,则所有Qi共线。
证明:
设PMN是圆心的割线,m为P的切点弦,m交MN于K点。
由第11题题可知,Qi在P的切点弦m上。
MBi与NCi的交点Ei,MAi与NDi的交点Fi都在m上,而ΔMAiBi与ΔNDiCi的对应顶点的连线共点于P,故由笛沙格定理知,
AiBi与DiCi的交点Qi也在m上。
(另证:
由四边形AiBiCiDi的调和性可知,Qi在P的极线m上。
)
13.四边形ABCD内接于圆,其边AB和CD的延长线交于点P,AD与BC的延长线
交于点Q,由Q作圆的两条切线QE、QF,切点为E、F,求证P、E、F三点共线。
证明:
由第12题知,P在Q的切点弦上,但EF为Q的切点弦,所以E、F、P共线。
第12题图第13题图
14.过圆外一点H作割线HBA(直径除外),试问OH上是否存在一点K,使∠BKH=
∠AKO。
证明:
这样的点K存在。
过H作切线HC,C为切点,再过C作CK⊥OH于K。
连OA、OB。
∵CK⊥OH,OC⊥CH
∴HC2=HK•HO
又∵HB•HA=HC2,
∴HK•HO=HB•HA
∴A、O、K、B四点共圆。
∴∠BKH=∠BAO=∠OBA=∠OKA。
15.如图,已知A为平面上两半径不等的⊙O1和⊙O2的一个交点,两外公切线P1P2,
Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2;M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点,求证:
∠O1AO2=∠M1AM2。
证明:
如图,连HA。
∵∠AO1M1=∠HO1A
O1A2=O1P12=O1M1•O1H
即
∴ΔAO1M1∽ΔHO1A。
∴∠O1AM1=∠O1HA。
同理,∠O2AM2=∠O2HA。
∴∠O1AM1=∠O2AM2。
∴∠O1AO2=∠M1AM2。
16.设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC、BD为直径的
两圆相交于X和Y,直线XY交BC于Z。
若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N。
证明:
AM、DN、XY三线共点。
证明:
如图,设AM交XY于S。
∵AC是直径,
∴CM⊥AS。
又∵SZ⊥AC
∴ΔCZP∽ΔSZA
,即CZ•ZA=SZ•PZ。
但A、X、C、Y共圆,故CZ•ZA=ZZ•ZY=XZ2。
∴PZ•SZ=XZ2,故S是P关于XY为直径的圆的调和共轭点。
同理,DN也过S点。
17.如图,设PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,割线PEC交AB于D,若PE=2,CD=1,求DE的长。
证明:
根据切点弦的性质知
,
即PE•DC=ED•PC。
所以PE•DC=ED•PC=ED(CD+DE+EP)。
将已知代入,得2=ED(3+ED),解得
。
18.直线AB与圆相切于B,弦CD经过AB的中点M,直线AC交圆于E,AD交圆于F,证明:
EF//AB。
证明:
设CD与EF交于点S,连SB交FD于T。
因为S、B都在A生成的直线上,故BT是A生成的直线。
所以T是A生成的点,所以
(DF,TA)=–1
设EF与AB的交点为P,通过以S为中心的中心投影知
(MP,BA)=–1。
因为M是AB的中点,所以P是无穷远点,所以EF//AB。
19.在直角ΔABC中AB为斜边,CH为斜边上的高,以AC为半径作⊙A。
过B作⊙A的任一割线交⊙A于D、E,交CH于F(D在B、F之间),又作∠ABG=∠ABD,G在⊙A上,G与D在AB异侧,求证:
E、H、G共线。
证明:
如图,设BG交圆于另一点J。
连
AJ、AG、AE、AD、DHHG、HE。
∵∠ABG=∠ABD
∴BDE和BGJ关于AB对称,从而ΔAGJ≌ΔADE。
∵AC⊥CB
∴BC是切线。
∴BG•BJ=BC2。
∵CH⊥AB
∴BC2=BH•BA
∴BG•BJ=BH•BA,从而A、H、G、J四点共圆。
同理,A、H、D、E共圆。
∴∠GHB=∠AJG=∠AGJ=∠ADE=∠AHE。
∴E、H、G共线。
20.设直线l被⊙O截出的弦的中点为M,过M任作二弦AB、CD,AD、BC分别交l于P、Q,则M是PQ的中点。
证明:
延长AD、BC交于L,延长AC、BD交于K,
则ΔKLM是自极三角形,从而O是ΔKLM的垂心,
故OM⊥LK。
但OM⊥l,所以l//KL,从而与KL的交点R
是无穷远点。
由完全四边形ACBD的调和性知D、B、E、K是调和点列,
以L为中心将其投射到l上,得P、Q、M、R。
故P、Q、M、R也是调和点列。
由R是无穷远点知M是PQ的中点。
(当与⊙O相离时,设O在上的射影为M,则结论仍成立。
)
习题6
1.过ΔABC的顶点A、B、C各作一直线,使交于一点P,而分别交ΔABC的外接圆于A′、B′、C′。
又在外接圆上任取一点Q,则QA′、QB′、QC′与BC、CA、
AB对应的交点为X、Y、Z三点共线。
证明:
如图,考察圆接六边形QA′ACBB′,由巴斯卡定理知
QA′与BC的交点X,A′A与BB′的交点,AC与B′Q的交点Y,
三点共线。
同理,由圆内接六边形可证P、Y、Z共线。
所以X、Y、Z三点共线。
2.已知A1、B1、C1分别为ΔABC的边BC、CA、AB上的中点,P为ΔABC外接圆上的动点,PA1、PB1、PC1分别与ΔABC的外接圆交于另外的点A′、B′、C′。
若A、B、C、A′、B′、C′是不同的点,则直线AA′、BB′、CC′交出一个三角形。
证明:
此三角形的面积不依赖于点P。
证明:
设A0、B0、C0是AA′、BB′、CC′交出的三角形的三个顶点。
考察圆内接六边形ABCC′PA′,根据巴斯卡定理知AB与C′P,BC与PA′,C′C与AA′
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