安徽省合肥市届高三第三次教学质量检测数学(文)试题Word版含答案.docx
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合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(文科)
(考试时间:
120分钟满分:
150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2
(1)设复数z=1+(其中i为虚数单位),则z=i
A.5
B.3
C.5
D.3
ì1ü
(2)已知集合A={xÎRx2-2x³0},B=í-,1ý,则(CRA)B=î2þ
A.Æ
ì1ü
B.í-ýî2þ
C.{1}
ì1ü
D.í-,1ýî2þ
11üì+¥)上单调递增,则
(3)已知aÎí-1,,2,,3ý,若f(x)=xa为奇函数,且在(0,23þî
实数a的值是
A.-1,3
B.,3
13
C.-1,,3
13
11
D.,,323
(4)若正项等比数列{an}满足an+2=an+1+2an,则其公比为
A.
12
B.2或-1
C.2
D.-1
(5)运行如图所示的程序框图,则输出的s等于
A.-10
B.-3
C.3
D.1
(6)若l,m是两条不同的直线,a为平面,直线l⊥平面a,则“m//a”是“m^l”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(7)右图是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率的值:
随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为N个,落在圆内的豆子个数为M个,则估计圆周率p的值为
A.
23MN
B.
3MN
C.
3MN
D.
23MN
(9)若DABC的三个内角A若nis,B,C所对的边分别是a,b,c,则c2-a2=
A.10
B.8
C.7
D.4
A)ni=s(C-
1B2,且b=4,(10)已知双曲线C:
y2x2-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,M是双曲线虚轴的一个端a2b2
点,过F,M的直线交双曲线的下支于A点.若M为AF的中点,且AF=6,则双曲线C的方程为
A.
y2x2-=128
B.
y2x2-=182
C.y2-
x2=14
D.
y2-x2=14
(11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为
A.125
B.40
ax
C.16+123
D.16+125
(12)若函数f(x)=x+-alnx在区间[1,2]上是非单调函数,则实数a的取值范围是
æ14ö
A.ç,÷è23ø
é14ù
D.ê,úë23û
æ4ö
B.ç,+¥÷3èø
é4ö
C.ê,+¥÷3ëø
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第
(13)题—第
(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
(22)题、第
(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13)已知2x=3,log2
4=y,则x+y的值等于_________.3
ìx+y-1³0ï
(14)若实数x,y满足条件íx-y-1£0,则z=2x+y的最大值为______.ïx-3y+3³0î
(15)已知OA=(2,0),OB=(0,2),AC=tAB,tÎR.当OC最小时,t=
(16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且数列í则S2018=..
ìSnüý为等差数列.若S2=1,S2018-S2016=5,înþ
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)
(本小题满分12分)将函数y=f(x)的图象向左平移
p
12
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到
原来的2倍,可以得到函数y=cos2x的图象.(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)比较f
(1)与f(p)的大小.
(18)
(本小题满分12分)2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
收看男生女生6020没收看2020
(Ⅰ)根据上表说明,能否有99%的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人?
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率
P.附:
K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2³k0)
k0
n(ad-bc)
2,其中n=a+b+c+d.
0.05
3.841
0.025
5.024
0.01
6.635
0.005
7.879
0.10
2.706
(19)
(本小题满分12分)如图,侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,ABCD,AB^AD,AA1=4,DC=2AB,AB=AD=3,点M在
1棱A1B1上,且A1M=A1B1.点E是直线CD的一点,AM平面BC1E.3
(Ⅰ)试确定点E的位置,并说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥M-BC1E的体积.
(20)
(本小题满分12分)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知
x2y2椭圆E:
+=1,以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.1612
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆E交于A,B两点,且与椭圆M仅有一个公共点,试判断DABO的面积是否为定值(O为坐标原点)?
若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
(21)
(本小题满分12分)已知函数f(x)=aex+x2+a(e为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=0处的切线为l,当实数a变化时,求证:
直线l经过定点;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.
请考生在第
(22)、(23)题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.
(22)
(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
ìïx=-1+ï在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为íïy=1+ïî2t2(t为参数),圆C的方程为2t2
(x-2)+(y-1)
2
2
=5.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l及圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与圆C交于A,B两点,求cosÐAOB的值.
(23)
(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)=x-1+x-3.(Ⅰ)解不等式f(x)£x+1;
a2b2b>0,a+b=c,(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为c,实数a,b满足a>0,求证:
+³1.a+1b+1合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分.题号答案1A2C3B4C5B6A7D8D9B10C11D12A
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.(13)2(14)8
(15)
12
(16)3027
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)
(本小题满分12分)
1(Ⅰ)将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=cos4x的图2
象,再将所得图象向右平移
pöpöææ个单位长度,得到函数y=cos4çx-÷=cosç4x-÷的图象,123øè12øè
p
………………………6
pöæ即f(x)=cosç4x-÷.3øè
分
pöpææpö(Ⅱ)f(p)=cosç4p-÷=cos,而f
(1)=cosç4-÷.3ø33øèè
∵
p
2
<4-
p
3
(1)<0 ……………………12分 (18) (本小题满分12分)(Ⅰ)因为K2= 120´(60´20-20´20)80´40´80´40 2 = 7.5> 6.635,所以有99%的把握认为,收看开幕式与性别有关. ………………………5分 31(Ⅱ) (ⅰ)根据分层抽样方法得,男生´8=6人,女生´8=2人,44 所以选取的8人中,男生有6人,女生有2人.………………………8分 (ⅱ)从8人中,选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种,其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种,所以,所求概率P= 123=.287 ………………………12分 (19) (本小题满分12分)(Ⅰ)如图,在棱C1D1上取点N,使得D1N=A1M=1.又∵D1N//A1M,∴MN//A1D1//AD.∴四边形AMND为平行四边形,∴AM//DN.过C1作C1E//DN交CD于E,连结BE,∴DN//平面BC1E,AM//平面BC1E,∴平面BC1E即为所求,此时CE=1.分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AM//平面BC1E,1æ1ö∴VM-BC1E=VA-BC1E=VC1-ABE=´ç´3´3÷´4=6.………………12分3è2ø ………………6 (20) (本小题满分12分)(Ⅰ)由条件知,椭圆M的离心率e=∴椭圆M的方程为 x2y2+=143 1,且长轴的顶点为(-2,0),(2,0),2 ……………………4分 (Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l: y=kx+b. ìy=kx+bï由íx2y2得,(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.+=1ï3î4 令D=64k2b2-4(3+4k2)(4b2-12)=0得,b2=3+4k2.联立y=kx+b与 x2y2+=1,化简得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-48=0.1612 8kb-8kìx1+x2=-=,2ïbï3+4k设A(x1,y1),B(x2,y2),则í22ïx×x=4b-48=4b-48.12ï3+4k2b2î ∴AB=1+k2x1-x2=∴SDABO= 1AB×d=6.2 b121+k2,而原点O到直线l的距离d=b1+k2 当直线l的斜率不存在时,l: x=2或x=-2,则AB=6,原点O到直线l的距离d=2,∴SDABO=6.综上所述,DABO的面积为定值 6.……………………12分 (21) (本小题满分12分)(Ⅰ)∵f(x)=aex+x2+a,∴f¢(x)=aex+2x,f¢(0)=a.又∵f(0)=2a,∴直线l的方程为y=ax+2a,∴直线l经过定点(-2,0).(Ⅱ)∵f(x)=aex+x2+a,∴f¢(x)=aex+2x.设g(x)=aex+2x,则g¢(x)=aex+2.当a³0时,g¢(x)>0,即g(x)在R上单调递增,则f¢(x)=aex+2x最多有一个零点,函数f(x)至多有一个极值点,与条件不符; æ2ö当a<0时,由g¢(x)=aex+2=0,得x=lnç-÷.èaø lnç-÷÷时,g¢(x)>0;当xÎçlnç-÷,+¥÷时,g¢(x)<0.当xÎç-¥,aaèèø lnç-÷÷上单调递增,在çlnç-÷,+¥÷上单调递减,∴g(x)在ç-¥,aaèèøææ2ööèøøææ2öèøö ……………………………4分 æ æ2ööèøø æ æ2öèø ö ∴g(x)£gçlnç-÷÷,即g(x)max=gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷.aaa èèèøææ2ööæ2ö令2çlnç-÷-1÷>0,解得aÎç-,0÷.aèøèeøèø æ æ2ööèøø æ æ2ööèøø æ æ2öèø ö ææ2ööææ2ööæ2ö∵g(0)=a<0,aÎç-,0÷,∴gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷>0,èeøèèaøøèèaøølnç-÷÷上单调递增,∴g(x)=f¢(x)在ç-¥,lnç-÷÷上有唯一零∵g(x)=f¢(x)在ç-¥,aaèèææ2ööèøøææ2ööèøø 点x1,lnç-÷÷时,f¢(x)>0.当xÎ(-¥,x1)时,f¢(x)<0;当xÎçx1,aè lnç-÷÷上有唯一极值点.∴f(x)在ç-¥,aèæé1æ2ööæ2öùæ2ö又∵当aÎç-,0÷时,gç2lnç-÷÷=4ê+lnç-÷ú.èaøøèaøûèeøèëaææ2ööèøø æ æ2ööèøø x2112-x设h(x)=lnx-,其中x=-Î(e,+¥),则h¢(x)=-=<0,2ax22xé1æeæ2öùæ2öö∴h(x) æé1æ2ööæ2öùæ2ö即当aÎç-,0÷时,gç2lnç-÷÷=4ê+lnç-÷ú<0,aaeèøøèaøûèøèë 而gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷>0,aa èèø+¥÷上单调递减,∴g(x)=f¢(x)在çlnç-÷,+¥÷上有唯一零∵g(x)=f¢(x)在çlnç-÷,aaèøèøææ2öèøöææ2öèøö æ æ2ööèøø æ æ2öèø ö 点x2,+¥)时,f¢(x)<0.当xÎçlnç-÷,x2÷时,f¢(x)>0;当xÎ(x2,a èø+¥÷上有唯一极值点.∴f(x)在çlnç-÷,aèøææ2öèøöææ2öèøö æ2ö综上所述,当f(x)有两个极值点时,aÎç-,0÷.……………………12分èeø (21) (本小题满分12分) 1(Ⅰ)∵f(x)=ex-x2-ax,∴f¢(x)=ex-x-a.2 设g(x)=ex-x-a,则g¢(x)=ex-1.令g¢(x)=ex-1=0,解得x=0. 0)时,g¢(x)<0;当xÎ(0,+¥)时,g¢(x)>0.∴当xÎ(-¥,∴g(x)min=g(0)=1-a.当a£1时,g(x)=f¢(x)³0,∴函数f(x)单调递增,没有极值点;当a>1时,g(0)=1-a<0,且当x®-¥时,g(x)®+¥;当x®+¥时,g(x)®+¥.∴当a>1时,g(x)=f¢(x)=ex-x-a有两个零点x1,x2.不妨设x1 2 设h(x)=e-x-ex+2x,x>0,则h¢(x)=- 1+¥)上单调递减,-ex+2<0,∴h(x)在(0,ex∴h(x) 0)上也单调递减,∴f(x1)>f(-x2).∵函数f(x)在(x1,2∴要证f(x1)+f(x2)>2,只需证f(-x2)+f(x2)>2,即证ex+e-x-x2-2> 0. 22 +¥),则k¢(x)=ex-e-x-2x.设函数k(x)=ex+e-x-x2-2,xÎ(0,设j(x)=k¢(x)=ex-e-x-2x,则j¢(x)=ex+e-x-2>0,+¥)上单调递增,∴j(x)>j(0)=0,即k¢(x)>0.∴j(x)在(0,+¥)上单调递增,∴k(x)>k(0)=0.∴k(x)在(0,2+¥)时,ex+e-x-x2-2>0,则ex+e-x-x2∴当xÎ(0,-2>0,22 ∴f(-x2)+f(x2)>2,∴f(x1)+f(x2)>2.………………………12分 (22) (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 ìïx=-1+ï(Ⅰ)由直线l的参数方程íïy=1+ïî2t2得,其普通方程为y=x+2,2t2 ∴直线l的极坐标方程为rsinq=rcosq+2.又∵圆C的方程为(x-2)+(y-1)=5,22 将í ìx=rcosq代入并化简得r=4cosq+2sinq,îy=rsinq ∴圆C的极坐标方程为r=4cosq+2sinq.(Ⅱ)将直线l: rsinq=rcosq+2,……………………5分 与圆C: r=4cosq+2sinq联立,得(4cosq+2sinq)(sinq-cosq)=2,p整理得sinqcosq=3cos2q,∴q=,或tanq=3.2 不妨记点A对应的极角为于是,cosÐAOB=cosç p,点B对应的极角为q,且tanq=3.2 ……………………10分 310æpö-q÷=sinq=.10è2ø (23) (本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲(Ⅰ)f(x)£x+1,即x-1+x-3£x+1.,x³1. (1)当x<1时,不等式可化为4-2x£x+1 又∵x<1,∴xÎÆ;,x³ 1. (2)当1£x£3时,不等式可化为2£x+1 又∵1£x£3,∴1£x£3.,x£5. (3)当x>3时,不等式可化为2x-4£x+1 又∵x>3,∴3 5.综上所得,1£x£3,或3 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得,x-1+x-3³(1-x)+(x-3)=2,∴c=2,即a+b=2.令a+1=m,b+1=n,则m>1,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,(m-1)(n-1)a2b21144+=+=m+n++-4=³=1,a+1b+1mnmnmnæm+nö2ç÷è2ø 22 原不等式得证. …………………10分
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