届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学文试题.docx
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届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学文试题
2018届甘肃省兰州市高三一诊模拟
数学(文)试题
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集
,集合
,集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
(
是虚数单位),则下列说法正确的是()
A.复数
的实部为
B.复数
的虚部为
C.复数
的共轭复数为
D.复数
的模为
3.已知数列
为等比数列,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
4.若双曲线
的两条渐近线分别与抛物线
的准线交于
,
两点,
为坐标原点.若
的面积为
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
5.已知圆
:
,直线
:
,则圆
上任取一点
到直线
的距离大于
的概率是()
A.
B.
C.
D.
6.已知直线
与直线
平行,则它们之间的距离是()
A.
B.
C.
D.
7.某程序框图如图所示,则程序运行后输出的
的值是()
A.
B.
C.
D.
8.刘徽《九章算术注》记载:
“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫做堑堵,沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积之比为定值
,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为()
A.
B.
C.
D.
9.设
:
实数
,
满足
,
:
实数
,
满足
,则
是
的()
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要的条件
10.若等比数列
的前
项和为
,其中
,
是常数,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
11.抛物线
的焦点为
,
,
是抛物线上两动点,若
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
是定义在
上的偶函数,且当
时,不等式
成立,若
,
,
,则
,
,
之间的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若
,则
.
14.已知样本数据
,
,……
的方差是
,如果有
,那么数据
,
,……
的均方差为.
15.设函数
向左平移
个单位长度后得到的函数是一个奇函数,则
.
16.若向量
,
,且
,则
的最小值为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.已知向量
,
,函数
.
(1)求
的最小正周期;
(2)当
时,
的最小值为
,求
的值.
18.如图所示,矩形
中,
,
平面
,
,
为
上的点,且
平面
.
(1)求证:
平面
;
(2)求三棱锥
的体积.
19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市
岁的人群抽样了
人,回答问题统计结果如图表所示:
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第
组
第
组
第
组
第
组
第
组
(1)分别求出
,
,
,
的值;
(2)从第
,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在
(2)的前提下,决定在所抽取的
人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:
所抽取的
人中至少有一个第
组的人的概率.
20.已知圆
:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(1)求点
的轨迹
的方程;
(2)设过点
的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设
,证明:
;
②求四边形
的面积的最小值.
21.已知函数
.
(1)若
图象上
处的切线的斜率为
,求
的极大值;
(2)
在区间
上是单调递减函数,求
的最小值.
(二)选考题:
共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系
中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
的参数方程是
(
是参数),圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆心
的直角坐标;
(2)由直线
上的点向圆
引切线,并切线长的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
设函数
,其中
.
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若
时,恒有
,求
的取值范围.
兰州市2018年高三诊断考试
数学(文科)试题参考答案及评分参考
一、选择题
1-5:
DDCBB6-10:
AABCD11、12:
AC
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(1)由题意知:
,
所以
的最小正周期为
.
(2)由
(1)知:
,
当
时,
.
所以当
时,
的最小值为
.
又∵
的最小值为
,∴
,即
.
18.解:
(1)因为
面
,所以
,
又
,所以
.
因为
面
,所以
.
又
,所以
面
,即
平面
.
(2)因为
,所以
,
,
,
又因为
为
中点,所以
.
因为
面
,所以
面
.
所以
.
19.解:
(1)第
组人数
,所以
,
第
组人数
,所以
,
第
组人数
,所以
,
第
组人数
,所以
,
第
组人数
,所以
.
(2)第
,
,
组回答正确的人的比为
,
所以第
,
,
组每组应各依次抽取
人,
人,
人.
(3)记抽取的
人中,第
组的记为
,
,第
组的记为
,
,
,第
组的记为
,则从
名幸运者中任取
名的所有可能的情况有
种,他们是:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
其中第
组至少有
人的情况有
种,他们是:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
故所求概率为
.
20.解:
(1)设动圆半径为
,
则
,
,
,
由椭圆定义可知,点
的轨迹
是椭圆,
其方程为
.
(2)①证明:
由已知条件可知,垂足
在以
为直径的圆周上,
则有
,
又因
,
,
,
为不同的四个点,
.
②解:
若
或
的斜率不存在,四边形
的面积为
.
若两条直线的斜率存在,设
的斜率为
,
则
的方程为
,
解方程组
,得
,
则
,
同理得
,
∴
,
当且仅当
,即
时等号成立.
综上所述,当
时,四边形
的面积取得最小值为
.
21.解:
(1)∵
,∴
,
由题意得
且
,
即
,解之得
,
.
∴
,
,
令
得
,
,
列表可得
+
-
+
极大值
极小值
∴当
时,
取极大值
.
(2)∵
在
上是减函数,
∴
在
上恒成立,
∴
,即
,
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线
经过点
时,
取最小值
.
22.解:
(1)∵
,
∴
,
∴圆
的直角坐标方程为
,
即
,∴圆心直角坐标为
.
(2)方法1:
直线
上的点向圆
引切线长是
,
∴直线
上的点向圆
引的切线长的最小值是
.
方法2:
直线
的普通方程为
,
∴圆心
到直线
距离是
,
∴直线
上的点向圆
引的切线长的最小值是
.
23.解:
(1)当
时,
,
所以
,所以
或
,
解集为
.
(2)
,因为
,∴
时,
恒成立,
又
时,当
时,
,∴只需
即可,
所以
.
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