5第五讲微分与不等式.docx
- 文档编号:12826704
- 上传时间:2023-04-22
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:81.34KB
5第五讲微分与不等式.docx
《5第五讲微分与不等式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《5第五讲微分与不等式.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
5第五讲微分与不等式
关于泰勒中值定理的不等式
将f(α)在β处展开
α,β是区间端点a,b或区间中点a+b或极值点(包括最值点)c或任意点x
2
条件结论特殊点
设函数f
(x)在[0,1]上二阶可导,且满足
f'(x)
≤1,f
(x)在区间(0,1)内取得最大值1
4
证明:
f(0)+
f
(1)<1
将区间端点的值在最值点展开
设f(c)=maxf
0 (x),c∈(0,1) ⇒f'(c)=0 f(0)=f (c) - cf '(c)+c 2 2 f'(ξ1) 0<ξ1 f (1)=f (c)+(1-c)f'(c)+ (1-c)2 2 f'(ξ2) c<ξ2<1 f(0)= 1+c2 42 f'(ξ1) ≤1+c 42 f'(ξ1) ≤1+c 42 f (1)= 1(1-c)2 + 42 f'(ξ2) ≤1+ 4 (1-c)2 2 f'(ξ2) ≤1+ 4 (1-c)2 2 f(0)+ f (1) ≤1+c +(1-c)2 =1+ (c+1-c)2 -2c(1-c)< 1+1 222222 f(x)二次可微,f (0) =f (1) =0,maxf 0≤x≤1 (x)= 2,证明: minf'(x)≤ 0≤x≤1 -16 设f(c)=maxf(x),c∈[0,1] 0≤x≤1 ⇒c∈(0,1)⇒f'(c)=0 将区间端点的值在最值点展开 f(0)= f(c) - cf '(c) + c2 2 f'(ξ1) 0<ξ1 f (1)=f(c)+(1-c)f'(c)+ (1-c)2 2 f'(ξ2) c<ξ2<1 ⇒f'(ξ1 )=-4 c2 f'(ξ2 )=- 4 (1-c)2 c与1-c当中必有一个≤1 -4与- 4当中必有一个≤-4 f'(ξ1 )与f'(ξ2 2c2 )当中必有一个≤-16 (1-c)2 ç⎛1⎫⎪ ⎝2⎭ 设f(x)在[a,b]上二阶可导,f'(a)=f'(b)=0,证明: ∃ξ∈(a,b),使得 f'(ξ) ≥4 (b-a)2 f(a)-f (b) 在区间端点展开 f(x)=f (a)+(x-a)f'(a)+ 1(x-a)2 2 f'(ξ1) a<ξ1 f(? )待定xf(x) f(x)=f (b)+(x-b)f'(b)+ 1(x-b)2 2 f'(ξ2) x<ξ1 0=f (a)-f (b)+ 1(x-a)2 2 f'(ξ1 )-1(x-b)2 2 f'(ξ2) f(a)-f (b)= 1(x-a)2 2 f'(ξ1 )-1(x-b)2 2 f'(ξ2) ≤1(x-a)2 2 f'(ξ1) +1(x-b)2 2 f'(ξ2) (x-a)2 ≤ +(x-b)2 2 f'(ξ) f'(ξ) =max{ f'(ξ1 ),f'(ξ2 )},ξ∈{ξ1,ξ2} f'(ξ) ≥ (x-a)2 2 +(x-b)2 f(a)-f(b) 取x= a+b2 f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f (1),f'(x)≤2,证明: 当0 f(0)= f(x)-xf '(x)+x 2 2 f'(ξ1) 0<ξ1 将区间端点的值在任意点展开 f (1)=f(x)+(1-x)f'(x)+ (1-x)2 (1-x)2 2 x2 f'(ξ2) x<ξ2<1 0=f'(x)+ 2f'(ξ2)- 2f'(ξ1) f'(x)= (1-x)2 2 2 f'(ξ2)-2 f'(ξ1) (1-x)2 ≤ 2 f'(ξ2) + x2 2 f'(ξ1) ≤(1-x)2+x2 =(1-x+x)2-2x(1-x)<1 设函数f (x)在(+∞,-∞)内二阶可导,并且 f(x) ≤M0 ,f'(x) ≤M2 证明: f'(x)≤ (y-x)2 将任意点的值在任意点展开 f(y)=f(x)+(y-x)f'(x)+ 2f'(ξ1) ξ1介于x、y之间 f(x+h) =f(x)+hf '(x)+h 2 2 f'(ξ1) ξ1介于x、x + h之间 f'(x)= f(x+ h)- f(x) h - h2 2 f'(ξ1) f'(x)= f(x+h)-f(x)-h 2 f'(ξ1) f(x+h)+ ≤ f(x) + h2 2 f'(ξ1) 2 2M0+M2 ≤2 hhh h2h2 2M0+ 2M2 22M0⋅ M2h2M ≥2=2 hh M0M2 当2M0= 2M2 时取等号即当h=±2 0时取等号 M 2 设函数f (x)在(+∞,-∞)内二阶可导,并且 f(x) ≤M0 ,f'(x) ≤M2 证明: f'(x)≤ 2 f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h 2 f'(ξ1) ξ1介于x、x+h之间 h>0 f(x-h) =f(x)-hf '(x)+h 2 2 f'(ξ2) ξ2介于x、x - h之间 f(x+ h)- f(x -h)= 2hf '(x)+h 2 2 (f' (ξ1 )-f '(ξ2)) f'(x)= f(x+ h)- f(x - h) - h2 2 2h (f' (ξ1 )-f '(ξ2)) f'(x)= f(x+ h)- f(x - h) - h2 2 (f' (ξ1 )-f '(ξ2)) f(x+h)+ ≤ f(x-h) +h2( 2 f'(ξ1)+ f'(ξ2)) 2h ≤2M0 2h +h2M2h 设函数f (x)在(+∞,-∞)内二阶可导,并且 f(x) ≤M0 ,f'(x) ≤M2 证明: f'(x)≤ 2M+h2M 22M⋅h2M2M 02 2h ≥02= 2h 当2M0 =h2M 2时取等号即当h= 0时取等号 M 2 2M+h2M f'(x) ≤02 2h 设函数f(x)在(+∞,-∞)内二阶可导,并且 f(x) ≤M0 ,f''(x) ≤M3 证明: f'(x)≤ f(x + h) =f(x)+hf '(x)+h 2 f'(x)+h 6 f''( ξ1) x<ξ1 h>0 f(x-h) =f(x)-hf '(x)+h 2 2 f'(x) - h3 6 f''(ξ2) x-h <ξ2 f(x+ h)- f(x -h)= 2hf '(x)+h 3 6 (f''( ξ1)+f ''(ξ2)) f'(x)= f(x+ h)- f(x - h) - h3 6 2h (f''( ξ1)+f ''(ξ2)) f'(x)= f(x+ h)- f(x - h) - h3 6 (f''( ξ1)+f ''(ξ2)) f(x+h)+ ≤ f(x-h) +h3( 6 f''(ξ1)+ f''(ξ2)) 2h2h 2M0+M3 ≤3 2h夜雨教你数学竞赛 设函数f(x)在(+∞,-∞)内二阶可导,并且 f(x) ≤M0 ,f''(x) ≤M3 证明: f'(x)≤ 2M0 h3 M 33 =M0 h2M +3 =M0 +M0 h2M +3 ≥33 M0 ⋅M0 h2M ⋅3= 2hh6 MMh2M 2h2h6 3M 2h2h6 当0 2h =0 2h =3 6 h3 时取等号即当h=3 0时取等号 M3 f'(x) 2M0+ ≤ 3M3 2h 下凸函数的加权琴生不等式 设f'(x)≥0,λ1 +λ2 +⋅⋅⋅+λn =1且λk >0,k =1,2,⋅⋅⋅,n 则f(λ1x1 +λ2x2 +⋅⋅⋅+λnxn )≤λ1f (x1 )+λ2f (x2 )+⋅⋅⋅+λnf (xn) 设x0=λ1x1 +λ2x2+⋅⋅⋅+λnxn (x-x)2 i若xk ≠x0 f(xk)=f (x0 )+(xk - x0 )f'(x0 )+k0f'(ξ) 2k ξk介于x k、x 0之间 ⇒f(xk )≥f (x0 )+(xk - x0 )f'(x0) ⇒λkf (xk )≥λkf (x0 )+λk (xk - x0 )f'(x0) ii若xk =x0 f(xk )=f (x0 )+(xk - x0 )f'(x0) ⇒λkf (xk )=λkf (x0 )+λk (xk - x0 )f'(x0) 故总有λkf (xk )≥λkf (x0 )+λk (xk - x0 )f'(x0) ∑λkf k=1 n (xk )≥f (x0 )∑λkk=1 +f'(x0 )∑λkk=1 n (xk -x0) nn ⇒∑λkf k=1 (xk )≥f (x0) ∑λkk=1 (xk - x0 )=∑λkxk k=1 -∑λkx0k=1 =x0 -x0=0 下凸函数的加权琴生不等式 设f'(x)≥0,λ1 +λ2 +⋅⋅⋅+λn =1且λk >0,k =1,2,⋅⋅⋅,n 则f(λ1x1 +λ2x2 +⋅⋅⋅+λnxn )≤λ1f (x1 )+λ2f (x2 )+⋅⋅⋅+λnf (xn) 上凸函数的加权琴生不等式 设f'(x)≤0,λ1 +λ2 +⋅⋅⋅+λn =1且λk >0,k =1,2,⋅⋅⋅,n 则f(λ1x1 +λ2x2 +⋅⋅⋅+λnxn )≥λ1f (x1 )+λ2f (x2 )+⋅⋅⋅+λnf (xn) 下凸函数的琴生不等式 设f'(x)≥0则f(x1 +x2 +⋅⋅⋅+xn )≤f(x1 )+f(x2 )+⋅⋅⋅+f(xn) nn 上凸函数的琴生不等式 设f'(x)≤0则f(x1 +x2 +⋅⋅⋅+xn)≥f(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn) nn x+x+⋅⋅⋅+xn 均值不等式: xk >0,则 ≥12n≥ n ≥ 1+1 x1x2 +⋅⋅⋅+1 xn x+x+⋅⋅⋅+x x2+x2+⋅⋅⋅+x2 ⎛x+x+⋅⋅⋅+x⎫ ≥12n ⇔12n≥ç12n⎪ 设f(x)= n x2,f'(x)=2>0 n⎝n⎭ x1+x2 +⋅⋅⋅+xn≥ n ⇔lnx1 +x2 +⋅⋅⋅+xn n ≥lnx1 +lnx2 n + ⋅⋅⋅+lnxn 设f(x)=lnx,f'(x)=-1<0 x2 1+1 +⋅⋅⋅+1 ≥ 1+1 x1x2 n⇔ +⋅⋅⋅+1 xn ≤x1x2xn n x+x+⋅⋅⋅+x nsinx ⎛sinx⎫n 0 <πk =1,2,⋅⋅⋅,n记x =12n ,证明: ∏k ≤ç0⎪ k0n k=1xk ⎝x0⎭ nsinx ⎛sinx⎫n nsinx sinx 1nsinx sinx ∏k ≤ç0⎪ ⇔∑lnk ≤nln0⇔∑lnk ≤ln0 k=1xk ⎝x0⎭ k=1xk x0n k=1xkx0 设f(x)=lnsinx x f'(x)= xcosx-sinxxsinx =cotx-1 x f'(x)=-csc2 x+1 x2 =1- x2 1<0 sin2x 1111ab a,b>0,p,q >1,+ pq =1,证明: apbq≤+ pq 11ab11⎛11⎫ apbq ≤+⇔ pq lna+ p lnb≤lnçq⎝ ⋅a+ p ⋅b⎪ q⎭ 设f(x)=lnx,f'(x)=-1<0 x2 pq+r 正数p,q,r满足2p=q+r,证明: ≤1 qqrr pq+r qqrr ≤1⇔ pq+r ≤qqrr ⇔⎛ç ⎝ q+r2 q+r ⎪ ⎭ ≤qqrr ⇔(q+r)ln q+r2 ≤qlnq+rlnr ⇔q+rlnq+r≤qlnq+rlnr 设f(x)= xlnx,f'(x)=1>0 x 222
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 微分 不等式