四川省绵阳市高中届高三第二次诊断性考试数学理试题扫描版.docx
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四川省绵阳市高中届高三第二次诊断性考试数学理试题扫描版
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.
CDADCBBADC
10.提示:
问题转化为.由,
得,
即在递增,在递减,
当,即时,,
即.
当即时,
,此时.
将,代入检验正确.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.12.-16013.14.15.③
15.提示:
法一:
和是(-1,1)上的“接近函数”,
结合图形,使,
令,,
即时,;时,.
所以.
法二:
数形结合求出直线和半圆相切时切点,当直线和圆在的“竖直距离”为1时,.
若与是上的“远离函数”,
即,
.
令,则在递减,在递增,
∴;
令,,易得在递增,在递减,∴,∴.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.
16.解:
(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A,则为所选取的人中没有1人为“满意观众”,
∴P(A)=1-P()=1-=1-=,
即至少有1人为“满意观众”的概率为.………………………………4分
(Ⅱ)由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为,即从观看此影片的“满意观众”的概率为,同理,不是“满意观众”的概率为.…6分
由题意有ξ=0,1,2,3,则
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
……………………………………………………………10分
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2.………………………12分
17.解:
(Ⅰ)如图,连结AC、BD交于O,连结OE.
由ABCD是正方形,易得O为AC的中点,从而OE为△PAC的中位线,
∴EO//PA.
∵EO面EBD,PA面EBD,
∴PA//面EBD.………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由已知PD⊥底面ABCD,得PD⊥AD,PD⊥CD.
如图,以DA,DC,DP所在直线为坐标轴,D为原点建立空间直角坐标系.
设AD=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),=(2,2,-2),(2,0,0).…………………………………6分
设F(x0,y0,z0),,则由=(x0,y0,z0-2),
得(x0,y0,z0-2)=λ(2,2,-2),即得
于是F(2λ,2λ,2-2λ).
∴=(2λ,2λ-1,1-2λ).
又EF⊥PB,
∴,解得.
∴,.………………………………………8分
设平面DAF的法向量是n1=(x,y,z),
则即令z=1,得n1=(0,-2,1).
又平面PAD的一个法向量为n2=(0,1,0),………………………………10分
设二面角P-AD-F的平面角为θ,
则cosθ=,
即二面角P-AD-F的余弦值为.………………………………………12分
18.解:
(Ⅰ)由余弦定理得,
则.…………………………………………………4分
(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B),
于是由已知sinB+sinC=得,
即,
将,代入整理得.………7分
根据,可得.
代入中,整理得8sin2B-4sinB+5=0,
解得.……………………………………………………………10分
∴由正弦定理有.………………12分
19.解:
(Ⅰ)∵二次函数的对称轴为x=,
∴an≠0,,整理得,………………………2分
左右两边同时乘以,得,即(常数),
∴是以2为首项,2为公差的等差数列,
∴,
∴.……………………………………………………………5分
(Ⅱ)∵,
,
-得:
,
整理得.…………………………………………………………8分
∵=>0,
∴数列{Sn}是单调递增数列.………………………………………………10分
∴要使Sn<3成立,即使<3,整理得n+2>,
∴n=1,2,3.………………………………………………………………12分
20.解:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,焦点坐标为(c,0),
由题知:
结合a2=b2+c2,解得:
a2=3,b2=2,
∴椭圆E的标准方程为.………………………………………4分
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0),
由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4,
联立方程
消去,得,
于是x1+x2=,x1x2=.①………………………7分
又P,M,H,N四点共线,将四点都投影到x轴上,
则可转化为,
整理得:
.…………………………………………10分
将①代入可得,……12分
∴,
消去参数得,即H点恒在直线上.………13分
21.解:
(Ⅰ)∵,x∈(0,+∞),………………………1分
∴a=2时,=0,
∴解得x=,x=-1(舍).
即的极值点为x0=.……………………………………………………3分
(Ⅱ).
(1)时,在上是减函数,在上是增函数;
时,对二次方程ax2+x-1=0,Δ=1+4a,
(2)若1+4a0,即时,ax2+x-1<0,而x>0,故<0,
∴在(0,+∞)上是减函数.
(3)若1+4a>0,即a>时,ax2+x-1=0的根为,
①若a<0,则>>0,
∴当x∈(,)时,ax2+x-1>0,即>0,得是增函数;
当x∈,(,+∞)时,ax2+x-1<0,即<0,得是减函数.
②若a>0,<0<,
∴当x∈(0,)时,ax2+x-1<0,即<0,得是减函数;
当x∈(,+∞)时,ax2+x-1>0,即>0得是增函数.
∴综上所述,时,在上是减函数,在上是增函数
当时,在(0,+∞)上是减函数;
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