《一元二次方程》专题练习含答案解析.docx
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《一元二次方程》专题练习含答案解析
一元二次方程
一、选择题
1.方程2x(x﹣3)=5(x﹣3)的解是( )
A.x=3B.x=C.x1=3,x2=D.x=﹣3
2.方程(x+)2+(x+)(2x﹣1)=0的较大根为( )
A.﹣B.C.D.
3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
4.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是( )
A.m=0,n=0B.m=0,n≠0C.m≠0,n=0D.m≠0,n≠0
5.某厂改进工艺降低了某种产品的成本,两个月内从每件产品250元,降低到了每件160元,平均每月降低率为( )
A.15%B.20%C.5%D.25%
6.已知x=2是关于x的方程的一个解,则2a﹣1的值是( )
A.3B.4C.5D.6
7.下列方程适合用因式方程解法解的是( )
A.x2﹣3x+2=0B.2x2=x+4C.(x﹣1)(x+2)=70D.x2﹣11x﹣10=0
8.已知x=1是二次方程(m2﹣1)x2﹣mx+m2=0的一个根,那么m的值是( )
A.或﹣1B.﹣C.或1D.
9.方程x2﹣(+)x+=0的根是( )
A.x1=,x2=B.x1=1,x2=C.x1=﹣,x2=﹣D.x=±
10.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售.那么每台实际售价为( )
A.(1+25%)(1+70%)a元B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1﹣70%)a元D.(1+25%+70%)a元
二、填空题
11.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2,则另一个根是 .
12.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 .
13.已知两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根,那么这两个圆的位置关系是 .
14.若方程x2﹣cx+2=0有两个相等的实数根,则c= .
15.已知:
m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则代数式2m﹣m2= .
三、解答题:
16.解方程
(1)x2+3=3(x+1);
(2)3x2﹣x﹣1=0.
17.某公司一月份营业额为100万元,第一季度总营业额为331万元,问:
该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少?
18.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足:
y=﹣0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),求当y=59时所用的时间.
19.某企业1998年初投资100万元生产适销对路的产品,1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资,到1999年底,两年共获利润56万元,已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点(即:
1999年的年获利率是1998年的年获利率与10%的和).求1998年和1999年的年获利率各是多少?
20.为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣1=y,则
(x2﹣1)2=y2,原方程化为y2﹣5y+4=0.①
解得y1=1,y2=4
当y=1时,x2﹣1=1.∴x2=2.∴x=±;
当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±.
∴原方程的解为x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣
解答问题:
(1)填空:
在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想.
(2)解方程:
x4﹣x2﹣6=0.
21.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?
四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?
点P和点Q的距离是10cm.
一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1.方程2x(x﹣3)=5(x﹣3)的解是( )
A.x=3B.x=C.x1=3,x2=D.x=﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】计算题.
【分析】本题应对方程进行移项,提取公因式x﹣3,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.
【解答】解:
原方程变形为:
2x(x﹣3)﹣5(x﹣3)=0
∴(2x﹣5)(x﹣3)=0
∴x1=3,x2=.故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.
2.方程(x+)2+(x+)(2x﹣1)=0的较大根为( )
A.﹣B.C.D.
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】利用因式分解法得到(x+)2+(x+)(2x﹣1)=(x+)[(x+)+(2x﹣1)]=0,推出(x+)=0,[(x+)+(2x﹣1)]=0,求出方程的解即可.
【解答】解:
∵(x+)2+(x+)(2x﹣1)=0,
∴(x+)[(x+)+(2x﹣1)]=0,
∴(x+)=0,[(x+)+(2x﹣1)]=0,
x1=﹣,x2=,
故较大根为,
故选:
B.
【点评】此题主要考查了因式分解解一元二次方程等知识点的理解和掌握,能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键.
3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;三角形三边关系.
【分析】易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,排除不合题意的边,进而求得三角形周长即可.
【解答】解:
解方程x2﹣12x+35=0得:
x=5或x=7.
当x=7时,3+4=7,不能组成三角形;
当x=5时,3+4>5,三边能够组成三角形.
∴该三角形的周长为3+4+5=12,故选B.
【点评】本题主要考查三角形三边关系,注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.
4.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是( )
A.m=0,n=0B.m=0,n≠0C.m≠0,n=0D.m≠0,n≠0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;一元二次方程的解.
【分析】代入方程的解求出n的值,再用因式分解法确定m的取值范围.
【解答】解:
方程有一个根是0,即把x=0代入方程,方程成立.
得到n=0;
则方程变成x2+mx=0,即x(x+m)=0
则方程的根是0或﹣m,
因为两根中只有一根等于0,
则得到﹣m≠0即m≠0
方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,正确的条件是m≠0,n=0.
故选C.
【点评】本题主要考查了方程的解的定义,以及因式分解法解一元二次方程.
5.某厂改进工艺降低了某种产品的成本,两个月内从每件产品250元,降低到了每件160元,平均每月降低率为( )
A.15%B.20%C.5%D.25%
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率),如果设平均每次降价的百分率是x,则第一次降低后的价格是250(1﹣x),那么第二次后的价格是250(1﹣x)2,即可列出方程求解.
【解答】解:
如果设平均每月降低率为x,根据题意可得
250(1﹣x)2=160,
∴x1=0.2,x2=1.8(不合题意,舍去).
故选B.
【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“﹣”)
6.已知x=2是关于x的方程的一个解,则2a﹣1的值是( )
A.3B.4C.5D.6
【考点】一元二次方程的解.
【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6,然后将其整体代入所求的代数式进行解答.
【解答】解:
∵x=2是关于x的方程的一个解,
∴×22﹣2a=0,即6﹣2a=0,
则2a=6,
∴2a﹣1=6﹣1=5.
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
7.下列方程适合用因式方程解法解的是( )
A.x2﹣3x+2=0B.2x2=x+4C.(x﹣1)(x+2)=70D.x2﹣11x﹣10=0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】计算题.
【分析】本题可将选项先化简成ax2+bx+c=0,看是否可以配成两个相乘的因式,满足则方程适用因式分解.
【解答】解:
根据分析可知A、B、D适用公式法.
而C可化简为x2+x﹣72=0,即(x+9)(x﹣8)=0,
所以C适合用因式分解法来解题.故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
8.已知x=1是二次方程(m2﹣1)x2﹣mx+m2=0的一个根,那么m的值是( )
A.或﹣1B.﹣C.或1D.
【考点】一元二次方程的解.
【分析】把x=1代入方程(m2﹣1)x2﹣mx+m2=0,得出关于m的方程,求出方程的解即可.
【解答】解:
把x=1代入方程(m2﹣1)x2﹣mx+m2=0得:
(m2﹣1)﹣m+m2=0,
即2m2﹣m﹣1=0,
(2m+1)(m﹣1)=0,
解得:
m=﹣或1,
当m=1时,原方程不是二次方程,所以舍去.
故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用,解此题的关键是得出关于m的方程.
9.方程x2﹣(+)x+=0的根是( )
A.x1=,x2=B.x1=1,x2=C.x1=﹣,x2=﹣D.x=±
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【专题】因式分解.
【分析】本题运用的是因式分解法来解题,将方程化为因式的乘积,然后根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.
【解答】解:
原方程变形为:
(x﹣)(x﹣)=0,
解得x=或x=.
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
10.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售.那么每台实际售价为( )
A.(1+25%)(1+70%)a元B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1﹣70%)a元D.(1+25%+70%)a元
【考点】列代数式.
【专题】应用题.
【分析】每台实际售价=销售价×70%.
【解答】解:
可先求销售价(1+25%)a元,再求实际售价70%(1+25%)a元.故选B.
【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.
用字母表示数时,要注意写法:
①在代数式中出现的乘号,通常简写做“•”或者省略不写,数字与数字相乘一般仍用“×”号;
②在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写;
③数字通常写在字母的前面;
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