三角函数辅助角公式化简.docx
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三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1.已知函数
f
xsin2x
cos2
x
,xR
3
(1)求fx
的对称中心;
(2)讨论f
x在区间
上的单调性.
3
4
2.已知函数fx4sinxcosx3.
3
(1)将fx化简为fxAsinx的形式,并求fx最小正周期;
(2)求fx在区间,上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
46
3.已知函数fx4tanxsinxcosx3.
23
(1)求fx的最小正周期;
(2)求fx在区间,上的单调递增区间及最大值与最小值.
44
4.设函数fx3cos2xsinxcosx
3
.
2
(1)求函数fx的最小正周期T及最大值;
(2)求函数fx的单调递增区间.
πππ
5.已知函数fxcos2x2sinxsinx
344
(Ⅰ)求函数fx的最小正周期和图象的对称轴方程;
ππ
(Ⅱ)求函数fx在区间,上的值域.
122
6.已知函数
fx
3sinxcosxcos2x
1
.
2
(Ⅰ)求函数f
x的对称中心;
(Ⅱ)求fx
在0,
上的单调区间.
第1页共8页◎第2页共8页
7.已知函数fx4cosxsinx
1,求
6
(1)求fx的最小正周期;
(2)求函数fx的单调递增区间
(3)求fx在区间,上的最大值和最小值.
64
sinx3cosx?
cos
x
8.设函数fx
2
.
tanx
(1)求f
x的最小正周期;
(2)讨论fx在区间0,上的单调性.
2
9.已知函数fx23sinxcosx2cos2x1,
(I)求fx的最大值和对称中心坐标;
(Ⅱ)讨论fx在0,上的单调性。
10.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若关于的方程在上有两个不同的实根,求实数的取值范围.
11.设fxsinxcosxcos2x.
4
(1)
求f
x的单调递增区间;
(2)
锐角
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f
A
0,
a
1,bc
3,求b
c的值.
2
12.已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
第3页共8页◎第4页共8页
(2)的内角,,所对的边分别是,,,若,,且的面积为,求的值.
13.设函数
.
16.已知向量a=(2cos
x,
3sin
x),b=(cos
x,2cos
x),(ω>0),设函数f(x)=a?
b,
2
2
2
2
(1)求
的最大值,并写出使
取最大值时
的集合;
且f(x)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)已知
中,角
的边分别为
,若
,求的最小值.
(2)求f(x)的单调递增区间.
1
17.已知函数f
x
Asin
x(A0,0,
)的部分图象如图所示.
14.已知fx
3sinx
cos
xcosx
0,若f
x的最小正周期为4.
2
,其中
2
(1)求函数f
x
的解析式;
(1)求函数f
x的单调递增区间;
(2)如何由函数y
2sinx的通过适当图象的变换得到函数
fx的图象,写出变换过程;
(2)锐角三角形
ABC中,
2a
ccosB
bcosC,求f
A的取值范围.
(3)若f
1,求sin
的值.
4
2
6
15.已知a
=(
sinx
,
),b=(
cos
φ,
sin
φ)(|φ|<).函数
18.已知函数
cosx
f(x)=a?
b
且f(-x)=f(x).
(1)求函数
在
上的单调递增区间;
3
(2)若
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调递增区间;
且
,求
的值。
(Ⅱ)将
f(x)的图象向右平移
单位得(
)的图象,若(
)+1≤
+
在
x
∈[0,]
gx
gx
axcosx
4
a的取值范围.
3
上恒成立,求实数
第5页共8页◎第6页共8页
2
19.已知fx2cosxsinx3sinxcosxsinx,
(1)求函数yfx的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A满足fA2,而ABAC3,求边BC的最小值.
20.已知函数fx
cos
x
3cos
cos
x
x
2
(1)求fx的最小正周期和最大值;
(2)讨论fx在,3上的单调性.
44
21.已知fx23cos2xsin2x31xR,求:
(1)fx的单调增区间;
(2)当x,时,求fx的值域.
44
22.已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,
得到函数的图象,求的单调递减区间.
23.已知函数fxcos4xsin2xsin4x.
(1)求函数fx的递减区间;
(2)当x0,时,求函数fx的最小值以及取最小值时x的值.
2
24.已知函数fx23sinxcosx2sin2x1.
(1)求函数fx的对称中心和单调递减区间;
(2)若将函数fx图象上每一点的横坐标都缩短到原来的1(纵坐标不变),然后把所得图象向左平移个
26
单位长度,得到函数gx的图象,求函数gx的表达式.
第7页共8页◎第8页共8页
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参考答案
1.
(1)对称中心为
k
0
,k
Z;
(2)增区间为
,减区间为
.
2
12
3
6
4
6
【解析】试题分析:
利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数,
根据
正弦函数的性质来求对称中心
其对称中心能使函数值为
0,从而角的终边在
x轴上;
(2)
首先求出函数的单调区间,再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间.
试
题
解
析
:
1
)
由
已
知
1
cos2x
1
cos2x
2
3
1
1
3
f
x
sin2x
cos2x
2
2
4
4
sin2x
6
2
令
2x
k
,得x
k
k
Z,对称中心为
k
0
,k
Z.
6
2
12
2
12
(2)令
k
2
x
2
k
,
k
Z
2
2
6
2
得k
6
x
k
3
,
k
Z,增区间为
k
k
3
k
Z
6
令
2k
2x
2k
3
,kZ
2
6
2
得k
x
k
5
,
k
Z,增区间为
k
k
5
k
Z
3
6
3
6
上的增区间为,,减区间为,.
346436
2
.()
f
x
2sin2x
,T
;
(2)x
时,
f
xmin
1
,x
1
3
4
12
时,
f
xmax2.
【解析】试题分析:
(1)由三角函数的公式化简可得
fx2sin
2x
,由周期公式
3
可得答案;
(2)由x的范围可得
2x
2
的范围,可得
f(x)的范围,结合三
3
6
3
角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的
x值.
试题解析:
(1)f
x
4sinxcosxcos
sinxsin
3
3
2sinxcosx2
3sin2x
3
3
答案第1页,总21页
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sin2x
3cos2x
2sin
2x
3
2
.
所以T
2
(2)因为
x
,所以
2x
2
4
3
6
6
3
所以
1
sin
2x
1,所以
1
fx
2,
2
3
当2
x
,即x
时,
f
xmin
1,
3
6
4
当2
x
2
,即x
12
时,f
xmin2
.
3
3.
(1)
(2)
fx最大值为-2,最小值为1.
【解析】试题分析:
(
1)化简函数的解析式得
fx2sin2x
,根据T
2
求
3
2
周期;
(2)先求出函数fx的单调递增区间,再求其与区间,的交集即可;根据
44
2x的取值范围确定函数在
4
上的最大值与最小值。
3
4
试题解析:
(1)f
x
4tanxcosxcos
x
3
x
x
3
3
4sincos
3
4sinx
1cosx
3sinx
3
2sinxcosx
23sin2x
3
2
2
sin2x
31
cos2x
3
sin2x
3cos2x
2sin
2x
.
3
所以f
x的最小正周期T
2
.
2
(2)令z
2x
,函数y
2sinz的单调递增区间是
2
2k
2k,k
Z.
3
2
由
2
2
x
2
k
,得
k
x
5
k,
kZ.
2
k
2
12
12
3
设A
,B
{x|
k
x
5
k
kZ},易知A
B
.
4
12
12
4
12
4
答案第2页,总21页
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所以,当x
4
时,fx
在区间
上单调递增。
4
12
4
∵
4
x
,
4
∴
2x
5
6
3
,
6
∴
1
sin
2x
1,
2
3
∴
1
2sin
2x
2
3
∴f
x最大值为
2,最小值为-1.
点睛:
解题的关键是将函数化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后,把ωx+φ看成一个整体去处理,
特别是在求单调区间的时候,要注意复合函数单调性规律“同增异减”,如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
4.
(1)T
,最大值为
5
k,kkZ
1
(2)
12
12
【解析】试题分析:
(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式,
再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值;
(2)根据正弦函数性质列不等式
2k
2x
3
2k
k
Z,解得函数
f
x的单调递增区间.
2
2
试
题
解
析
:
解
:
f
31cos2x
1
3
x
2
sin2x
2
2
1
3
cos2x
sin2x
sin2x
2
3
2
(1)T
当2x
2k
32
即xkkZ时12
fx取最大值为1
(2)令
2
2
x
2
k
k
Z
k
2
2
3
∴fx
的单调增区间为
5
k,
kkZ
12
12
答案第3页,总21页
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3
5.
(1)答案见解析;
(2),1.
2
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式可得f
x
sin
2x
,则函数的最小正周期为T
;对
6
称轴方程为xk
3
kZ
;
(2)结合函数的定义域和
(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为
3,1.
2
试题解析:
(1)
fx
cos
2x
3
2sin
x
4
sinx
4
1cos2x
3sin2x
sinx
cosx
sinx
cosx
2
2
1cos2x
3sin2x
sin2x
cos2x
2
2
1cos2x
3sin2x
cos2x
sin
2x
2
2
6
周期T
2
2
k
由2x
k
kZ,得x
kZ
2
6
2
3
函数图象的对称轴方程为
x
k
kZ
3
(2)
x
12
2x
6
5
2
3
6
因为f
x
sin
2x
在区间
12
上单调递增,在区间,
上单调递
6
3
3
2
减,
所以
当x
3
时,fx
取最大值1
又
f
3
f
1,当x
时,
fx取最小值
3
12
2
2
2
12
2
答案第4页,总21页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
所以函数f
x
在区间
上的值域为
3
12
2
1
2
6.
(1)
k
1,k
Z
(2)
0,
5
2
12
3
6
【解析】试题分析:
(1)
fx
3sinxcosx
cos2x
1
sin2x
1,令
2
6
2x
6
k
解得x
即可(Ⅱ)
求
fx
在
0,
上的单调区间,则令
2k
2
2x
6
2k
解得x,对k赋值得结果.
2
试题解析:
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