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互斥事件有一个发生的概率
互斥事件有一个发生的概率
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人教版高中数学必修系列:
11.2
一、参考例题
[例1]判断下列事件是否是互斥事件.
将一枚硬币连抛2次,设事件A:
“两次出现正面”,事件B:
“只有一次正面”;
对敌机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A:
“两次都击中敌机”,
事件B:
“至少有一次击中敌机”.
分析:
中两事件不可能同时发生;
因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”,所以事件A、B有可能同时发生.
解:
事件A与B是互斥事件.
事件A与B不是互斥事件.
评述:
关键在于判断事件的结果是否有包容关系.
[例2]在一个袋内装有均匀红球5只,黑球4只,白球2只,绿球1只,今从袋中任意摸取一球,计算:
摸出红球或黑球的概率.
摸出红球或黑球或白球的概率.
分析:
设事件A:
“摸出一球是红球”,事件B:
“摸出一球是黑球”.
因为事件A与B不可能同时发生,所以它们是互斥的.
设事件c:
“摸出一球是白球”,则A、B、c彼此互斥.
解:
设事件A:
“摸出一球是红球”,设事件B:
“摸出一球是黑球”,设事件c:
“摸出一球是白球”.
∵A与B、B与c、c与A两两互斥,
且P=,P=,P=,
∴由互斥事件的概率加法公式,可知“摸出红球或黑球”的概率为
P=P+P=.
由互斥事件的概率加法公式,可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为
P=P+P+P=.
[例3]某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下.
医生人数
0
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.4
0.2
0.04
求:
派出医生至多2人的概率;
派出医生至少2人的概率.
分析:
设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件c,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名以上医生”为事件F,则有P=0.1,P=0.16,P=0.3,P=0.4,P=0.2,P=0.04.由于事件A、B、c、D、E、F彼此互斥,因此,、中的概率可求.
解:
设事件A:
“不派出医生”,事件B:
“派出1名医生”,事件c:
“派出2名医生”,事件D:
“派出3名医生”,事件E:
“派出4名医生”,事件F:
“派出5名以上医生”.
∵事件A、B、c、D、E、F彼此互斥,且=0.1,P=0.16,P=0.3,P=0.4,
P=0.2,P=0.04,
∴“派出医生至多2人”的概率为
P=P+P+P=0.1+0.16+0.3=0.56,
“派出医生至少2人”的概率为
P=P+P+P+P=0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.
[例4]一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽取2件,求其中出现次品的概率.
分析:
由于从这批产品中任意取2件,出现次品可看成是两个互斥事件A:
“出现一个次品”和事件B:
“出现两个次品”中,有一个发生,故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.
解:
设事件A:
“出现一个次品”,
事件B:
“出现两个次品”,
∴事件A与B互斥.
∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,
∴P==,
P=.
∴所求的“出现次品”的概率为
P=P+P=.
评述:
注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.
二、参考练习
.选择题
有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为
A.
B.
c.
D.
答案:
D
一个口袋内装有大小相同的7个白球,3个黑球,5个红球,从中任取1球是白球或黑球的概率为
A.
B.
c.
D.
答案:
B
某工厂的产品分一、二、三等品三种,在一般的情况下,出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%,其余均为三等品,那么这批产品中出现非三等品的概率为
A.0.50
B.0.98
c.0.97
D.0.2
答案:
B
从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取两个数,分别有下列事件,其中为互斥事件的是
①恰有一个奇数和恰有一个偶数
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数
A.①
B.②④
c.③
D.①③
答案:
c
2.填空题
若事件A与B________,则称事件A与B是互斥的;若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P=________.
答案:
不可能同时发生P+P+…+P
甲、乙两人下棋,两个下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙输的概率是________.
答案:
口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中红球有45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.
答案:
0.32
3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个,则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.
答案:
3.解答题
某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:
年降水量
[100,150]
[150,200]
[200,250]
[250,300]
概率
0.10
0.25
0.20
0.12
求:
①降水量在[200,300]范围内的概率;
②降水量在[100,250]范围内的概率.
解:
①P=0.20+0.12=0.32,
∴降水量在[200,300]范围内的概率为0.32.
②P=0.10+0.25+0.20=0.55,
∴降水量在[100,250]范围内的概率为0.55.
从装有大小相同的4个红球,3个白球,3个黄球的袋中,任意取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率.
分析:
“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.
解:
记“取出2个球为红球”为事件A,
“取出2个球为白球”为事件B,
“取出2个球为黄球”为事件c,
则A、B、c彼此互斥,
且P=,
P=,
P=.
“2个球颜色相同”则可记为A+B+c,
∴P=P+P+P=.
有币按面值分类如下:
壹分5枚,贰分3枚,伍分2枚,从中随机抽取3枚,试计算:
①至少有2枚币值相同的概率;
②3枚币值的和为7分的概率.
分析:
①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;
②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分,2枚壹分”1种情况.
解:
①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A,则“至少有2枚币值相同”为事件.
又∵P=,
∴P=1-.
②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P=.
评述:
要注意认真分析题意,灵活应用对立事件的概率公式.
●备课资料
一、参考例题
[例1]抛掷一个均匀的正方体玩具,记事件A“落地时向上的数是奇数”,B为事件“落地时向上的数是偶数”,c为事件“落地时向上的数是3的倍数”,问下列事件是不是互斥事件,是不是对立事件?
A与B;A与c;B与c.
分析:
利用互斥事件与对立事件的概念.
解:
∵事件A与事件B不可能同时发生,而且在试验中必有一个发生,
∴事件A与B是互斥事件,也是对立事件.
∵事件A与c都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”,故A与c可能同时发生.
∴A与c不是互斥事件,因而也不是对立事件.
∵事件B与c都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”,故B与c可能同时发生.
∴B与c不是互斥事件.故也不是对立事件.
[例2]某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19,计算这一射手在一次射击中,不够8环的概率.
分析:
由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件,而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求,因此利用对立事件的概率公式可求解.
解:
设事件A:
“一次射击击中的不够8环”,事件B:
“一次射击击中8环或8环以上”,
∴事件A与B是互斥事件.
∵事件A与B中必有一个发生,
∴事件A与B又是对立事件.
∴P=1-P.
∴P=0.24+0.28+0.19=0.71.
∴P=1-0.71=0.29.
∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.
评述:
注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.
[例3]有三个人,每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间,试求:
三人都分配到同一个房间的概率;
至少有两人分配到同一房间的概率.
分析:
因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间,所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现,而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果,故根据等可能性的概率公式可求.
设事件A“至少有两人分配到同一房间”,
事件B“三人都分配到不同的房间”,
故事件A与B是对立事件.而P=,
因此,利用对立事件的概率关系可求P.
解:
根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为
P=.
∴三人都分配到同一房间的概率为.
设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”.
∵事件A与B是对立事件,且P=,
∴P=1-.
∴至少有两人分配到同一房间的概率为.
[例4]某电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任意取3个,试求至少有一个二级品的概率.
分析:
设事件A:
“至少有一个二级品”,则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生,因而,可用互斥事件的概率加法公式计算.另外,事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件,故利用对立事件的概率公式也可求解,且比较简便.
解法一:
设事件A:
“至少有一个二级品”,它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生,由于上述三个事件是互斥的,
∴P=≈0.276.
解法二:
事件A与“没有一个二级品”是对立事件,而事件“没有一个二级品”的概率为,
∴P=1-≈0.276.
∴至少有一个二级品的概率约为0.276.
[例5]某小组有男生6人,女生4人,现从中选出2人去校院开会,其中至少有1名女生的概率为多少?
分析:
设事件“至少有1名女生”为A,则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的,所以P可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件,而事件“没有女生”的概率P=.
解法一:
P=.
解法二:
P=1-P=1-=,
∴至少有1名女生的概率是.
二、参考练习
.选择题
下列命题中,真命题的个数是
①将一枚硬币抛两次,设事件A:
“两次出现正面”,事件B:
“只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事件
②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件
③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件
④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件
A.1
B.2
c.3
D.4
答案:
B
袋中装白球和黑球各3个,从中任取2球,则至多有1黑球的概率是
A.
B.
c.
D.
答案:
B
2.填空题
在10件产品中有8件一级品,2件二级品,现从中任选3件,设事件A:
“所取的都是一级品”,则事件表示为________.
答案:
所取的不都是一级品
口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一球,摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5,那么摸出白球的概率是________.
答案:
0.2
3.解答题
某班有学生50名,其中班干部5名,现从中选出2名作为学生代表,求:
①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;
②选出的2名学生中没有班干部的概率.
解:
①P=1-.
②P=.
有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面,按不同次序排列可组成不同的信号,并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号,求:
①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;
②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.
解:
①P==;
②P=1-.
某班共有学生n个人,若一年以365天计算,列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.
解:
记“至少有2人在同一天生日”为事件A,则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件,即.
∵P=,
∴P=1-.
某单位的36人的血型分别是:
A型的有12人,B型的有10人,AB型的有8人,o型的有6人,如果从这个单位随机地找出两个人,那么这两个人具有不同的血型的概率是多少?
解:
记“两个人具有不同血型”为事件A,则“两个人血型相同”为事件A的对立事件,即,且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为o型血”为彼此互斥事件,这些互斥事件只要有一个发生,则发生,而
P=,
∴P=1-P=1-.
一个袋内装有3个红球,n个白球,从中任取2个,已知取出的球至少有一个是白球的概率是,求n的值.
解:
记“至少有一个是白球”为事件A,则“任取2球,全是红球”是事件A的对立事件,即.
又∵P=,
由对立事件的概率公式P+P=1,得P=1-=,
即n2+5n-204=0.
解得n=12.
评述:
对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题,利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率.
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- 事件 一个 发生 概率