概率论与数理统计.docx
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概率论与数理统计
《概率论与数理统计》综合复习资料
一、填空题
1、一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个(有放回)。
则第一次取到次品,
第二次取到正品的概率为;恰有一次取到次品的概率为;两次都取到次品
的概率为。
2、由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(记作事件B)的概率为7/15,刮风又下雨(记作事件C)的概率为1/10。
则:
P(A|B);P(AB)。
3、一批产品共有8个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。
则:
(1)第一次取到正品,第二次取到次品的概率为;
(2)恰有一次取到次品的概率为。
4、设A、B为事件,P(A)0.6,P(AB)0.3,则P(AB)。
5、一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。
则:
(1)两次都取到正品的概率为;
(2)至少取到一个正品的概率为。
6、一个袋子中有5只黑球3只白球,从袋中任取两只球,若以A表示:
“取到的两只球均为白球”;
B表示:
“取到的两只球同色”。
则P(A);P(B)。
7、设X的概率分布为f(X)
X
e,x0,则P{X
0,x0
3};X的分布函数
F(x)。
二、选择题
1、设事件A、B满足P(B|A)
p(B|A),且0
P(A)
1,P(B)0,则有。
(A)P(A|B)P(A|B)
(B)P(AB)
P(A)P(B)
(C)P(A|B)P(A|B)
(D)P(AB)
P(A)P(B)
2、对于随机变量X、丫,若EXYEXEY,则
。
(A)X与Y独立
(B)D(XY)
DX
DY
(C)D(XY)DXDY(D)X与Y不独立
3、设X~N(3,1),丫〜N(2,1),且相互独立,则X2Y7~
(A)N(0,5)(B)N(0,3)
(C)N(0,6)(D)N(0,4)
4、设A和B是任意概率不为零的互斥事件,则结论正确的是。
P2P{Y3},则。
(A)对任何实数都有P1P2;(B)对任何实数都有P1P2;
(C)仅对的个别值有p1p2;(D)对任何实数都有p1p2。
7、某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率
(A)(-)3
32
(B)(匚)2
5
(D)(|)3
5
(C)
(2)23
9、设随机变量X的密度函数为
则常数C=
三、解答题
1、在某城市中发行三种报纸
A、B、C,经调查,订阅A报的有50%,订阅B报的有30%,订阅C
报的有20%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A及C报的有8%,同时订阅B及C报的有
5%,同时订阅A、B、C报的有3%,试求下列事件的概率:
(1)只订阅A及B报;
(2)恰好订阅两种报纸。
0.8,乙击中敌机的概率为0.5,求下
2、甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为
列事件的概率:
(1)敌机被击中;
(2)甲击中乙击不中;
(3)乙击中甲击不中。
3、在电源电压不超过200,200~240和超过240伏的三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为
2
0.1,0.001和0.2,假定电源电压X~N(220,25),试求:
(1)该电子元件被损坏的概率;
(2)电子元件被损坏时,电源电压在200~240伏内的概率。
(提示:
(0.8)0.788)。
4、设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本,且X的概率分布为
P{Xk}(1p)k1p,k1,2,3,ox1?
x2,,xn为来自总体X的一个样本观察值,求p
的极大似然估计值。
5、有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。
求:
(1)此人来迟的概率;
(2)若已知来迟了,此人乘火车来的概率。
6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验,直到发火为止,则
消耗的雷管数X的概率分布。
7、一袋中装有3个球,分别标有号码1、2、3,从这袋中任取一球,不放回袋中,再任取一球。
用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码,试求:
(1)随机向量(X,Y)的概率分布;
(2)(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布;
(3)X和Y是否相互独立?
为什么?
&设X1,X2,,Xn为X的一个样本,
其中1为未知参数,求的极大似然法估计。
9、设X的概率分布为
X
0
1
2
P
1/3
1/6
1/2
求:
(1)X的分布函数;
(2)P{X丄}、P{1X-}、P{1X卫}。
2
22
又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品,现从箱中任取一件产品,求:
(1)取到的是次品的概率;
(2)若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
11、设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
求:
(1)随机变量X的密度函数fx(X);
(2)概率P{XY1}。
x,当0x1
12、设X的分布密度为f(x)
2x,当1x2,求:
数学期望EX和方差DX。
0,其它
25%、35%、40%,如果各
13、某工厂三个车间生产同一规格的产品,其产量依次占全厂总产量的
车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。
现从待出厂的产品中随机地取一件,求:
(1)取到的是次品的概率;
(2)若已知取到的是次品,它是第一车间生产的概率。
14、设相互独立随机变量X、丫的概率分布分别为
求:
E(XY)和E(2X3Y2)。
15、设随机变量X的概率分布为
X
-1
0
1
2
Pk
0.3
0.2
0.4
0.1
求:
(1)EX、DX;
(2)Y2X1的概率分布;
16、设随机变量X的分布函数为
F(x)aArctanx(x)
求:
(1)系数a;
(2)X落在区间(一1,1)中的概率;
(3)随机变量X的概率密度。
(提示:
Arctanx为反正切函数)
《概率论与数理统计》综合复习资料参考答案
一、填空题
1、答案:
5/36
10/361/36
2、答案:
3/14
19/30
3、答案:
8/45
16/45
4、答案:
0.7
5、答案:
15/22
65/66
6、答案:
3/28
13/28
3
1
x
e,x
0
7、答案:
1e;
F(x)
0,x
0
、选择题
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
A
D
C
B
B
C
三、解答题
1、解:
(1)P(ABC)P(ABC)P(ABABC)
P(AB)P(ABC)
0.10.030.07
(2)P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC))
0.070.020.050.14
2、解:
设事件A表示:
“甲击中敌机”;事件B表示:
“乙击中敌机”;事件C表示:
“敌机被击中”
则
(1)
P(C)
P(AB)1
P(AB)1
P(AB)
1
0.10.9
(2)
P(AB)
P(A)P(B)
0.8(10.5)
0.4
(3)
P(AB)
P(A)P(B)
(10.8)0.5
0.1
3、
解:
设
A:
“电源电压不超过
200伏”;A2:
“
电源电压在200—240伏”;
A:
“电源电压超过240伏”;B:
“电子元件被埙坏”。
由于X〜N(220,252),所以
200220P(A1)P{X200}F(200)()
25
(08)1(08)10.7880.212
P(A2)
P{200X240}(24^^?
0)C2^空)
2525
(08)(08)2(08)10576
P(A3)
P{X240}
240220
1(-25-)
1(08)
10.7880.212
由题设P(B|A1)
01,P(B|A2)
0.001,P(B|A3)0.2,所以由全概率公式
由条件概率公式
4、
5、
P(B)
P(A2|B)
(Ai)P(B|Ai)0.0642
i1
P(A2)P(B|A2)
P(B)
0.009
L(P)
n
P(Xi
i1
n
,p)
i1
pn(1
n
Xin
p)i1
InL
nlnp
n
(Xi
i1
dlnL
ni
n
Xin
1
dp
p
1p
解:
构造似然函数
n)ln(1
解得
0,
P
P(1P广
令-
dp
pn/
i
P)
n
Xi,
i1
因此p的极大似然估计值为
Xj。
解:
设事件A表示:
“此人来迟了”
A分别表示:
“此人乘火车、轮船、
、飞机来”
i1,
4
Aj
i1
,且P(A)
0,ApA2、
A3、A两两互不相容
(1)
4
P(A)P(Aj)
i1
P(A|A)
1211
31
104531012585
P(AJP(A|A,)
(2)p(A1〔A)=p1—
P(A)P(A|Aj)
j1
31
104
1/5
6、解:
X的可能取值为1,2,3,。
记Ak表示"第k次试验雷管发火”则Ak表示"第k次试
P1
P{X
1}
P(A)
5
14
P2
P{X
2}
PM)P(A)P(A)
55
P3
P{X
3}
p^Aab)p(Ajp(A2)p(A3)
验雷管不发火”从而得
(1)2
Pk
P{X
k}
依次类推,得消耗的雷管数
1k
P(“A2Ak1Ak)H)k
5
X的概率分布为
41k1
P{Xk}()k1
55
(k
1,2,3,
7、解:
(1)(X,Y)的取值为(1,
2),
(1,3),
(2,
1),(2,3),
(3,1),
、1
1
1
p12
P{X1,Y
2}-
3
2
6
p13
P{X1,Y
3}1
1
1
3
2
6
同理可得P21P23
P31P321/6
此外事件{X1,Y
1},
{X
3,Y3},{X
P11
P33P220,
尸是(X
丫)
的概率分布表为
1
2
3
1
0
1/6
1/6
2
1/6
0
1/6
3
1/6
1/6
0
(2)
(X,Y)关于
X的边缘概率分布
X
1
2
3
Pi
1/3
1/3
1/3
(X,Y)关于Y的边缘概率分布
Y
1
2
3
Pj
1/3
1/3
1/3
(3)
X和Y不相互独立,由于
P
Pjpij。
(3,2),由概率乘法公式可得
2,Y
2}都是不可能事件,所以
&解:
xn为X1,X2,
Xn观测值,则构造似然函数
解得
9、解:
L()
InL
dInL
d
的极大似然估计为
nln(
1)n(
i
Xi)
1)
n
In
i1
Xi
(1)F(x)P{Xx}
P{X
2}
F
(;)-
2
P{1
X
1
P{X
P{1
X
P{1
|}
Inxi
1
n
n
Inxi
i1
0,
3
1
2
1,
P{X1}
Xj}P{X
2}
10、解:
设事件A表示:
“取到的产品是次品”;事件
A表示:
"取到的产品是第
i家工厂生产的”
(i1,2,3)。
则AA2A3,且P(Ai)0,A1、A、A3两两互不相容,
(1)由全概率公式得
3
P(A)P(A)P(A|Ai)
i1
12141513
210041004100400
(2)由贝叶斯公式得
P(A1|A)=3P(A)P(A|A1)
P(Aj)P(A|Aj)
j1
12
21004
1313
11、解:
(1)x0时,fx(X)=0;
x0时,
fx(x)=f(x,y)dy
ydy
故随机变量
X的密度函数
fx(X)=
P{X
Y1}
f(x,y)dxdy
1
1
2dx
0
x
eydy
12、解:
EX=
EX2
DX
13、解:
设事件
2e
xf(x)dx
x2f(x)dx
1
0x
xdx
xdx
1
6
A表示:
“取到的产品是次品”
22
EX(EX)
(2
x)dx
\2(2x)dx
事件a表示:
“取到的产品是第
i车间生产的”
(i1,2,3)。
则AA2A3,且P(A)0,A1、A2、A3两两互斥,由全概率公式得
3
P(A)P(A)P(A|Ai)
i1
25535440269
预硕面面面而2000
p(A1|a)=3P(A)P(A|A)
P(Aj)P(A|Aj)
j1
255
10010025
69
69
2000
14、解:
由于X服从U(1,3),
故知
EX
31
2
2;
DX-
3
又Y服从参数为2的指数分布,
所以
EY
1
、
DY
1
2
4
因此得
E(XY)EXEY
2
1/2
21
22
E(2X3Y)2E(X)3E(Y)
31
43(DY(EY)2)4一2—
22
解:
(1)
EX
1
0.3
0
0.2
1
0.4
2
0.10.3
EX
2(
1)2
0.3
0
0.2
12
0.4
22
0.11
DX
EX
2
(EX)2
1.1
(0.3
)2
1.01
(2)丫
2X
1
的概率分布
丫
-3
-1
1
3
Pk
0.3
0
.2
0.4
0.1
解:
(1)
由F(
)
a
1
(―)
1,
解得
a
1
丄。
故得
2
2
15、
.1
16、
F(x)
(2)P{1X
1
2
1}
1
Arctanx
F
(1)
F(
1)
4)]
(3)所求概率密度为
f(x)F(x)(-1
1
Arctanx)亍
(1x2)
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