f(X2)=f(Xl),
因为XiX2是I上任意两点.所以上面的等式表明:
f(x)在I上的函数值总是相等的.这就是说f(x)在区间I上是--个常数,
例2.证明当x0时
:
:
:
ln(1x):
:
:
x
证设f(x)=ln(1x).显然f(x)在区间[0.x]上满足拉格朗日中值定理的条件就有
f(x)—f(0)=f(勺(x-0).0<®x。
f(x)1
由于f(0)=0.(X^1X.因此上式即为
x
ln(1x)=1—
又由0:
:
:
:
:
x.有
:
:
ln(1x)x
、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
:
x=F(X)丫=f(x)(a空鱼)
表示.其中x为参数,如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线.那么在曲线C
上必有一点X』..:
使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB.曲线C上点X」:
处的
切线的斜率为
dY_f()
dX=F()
弦AB的斜率为
f(b)-f(a)
F(b)-F⑻
于是
f(b)—f(a)=f()
F(b)—F(a)^F()
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a.b]上连续.在开区间(a.b)内可导.且
F(x)在(ab)内的每一点处均不为零.那么在(ab)内至少有一点.使等式
f(b)—f(a)
F(b)-F(a).
成立,
显然.如果取F(x)扌.那么F(b)-F(a)F(x)T.因而柯西中值公式就可以写成
f(b)—f(a)斗,(©(bv)(a<^b).
这样就变成了拉格朗日中值公式了,
§3.3泰勒公式
对于一些较复杂的函数.为了便于研究.往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于
用多项式表示的函数.只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算.便能求出它的函数值.
因此我们经常用多项式来近似表达函数
在微分的应用中已经知道.当|x|很小时.有如下的近似等式:
x
e+x.In(1+x)sx.
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子,但是这种近似表达式还存在着不足之处:
首
先是精确度不高.这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小•其次是用它来作近似计算时.
不能具体估算出误差大小,因此.对于精确度要求较高且需要估计误差时候.就必须用高次
多项式来近似表达函数.同时给出误差公式,
设函数f(x)在含有xo的开区间内具有直到(n1)阶导数.现在我们希望做的是:
找出一个关于(x-xo)的n次多项式
2丄n
pn(x)=aoai(x-xo)a2(x-xo)an(x-xo)
来近似表达f(x).要求pn(x)与f(x)之差是比(X-X0)n高阶的无穷小.并给出误差If(X)-Pn(X)|的具体表达式.
我们自然希望pn(x)与f(x)在X0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等.这样就有
pn(x)p0a1(X-X0)亠a2(X-X0)2an(X-X0)n.
pn(x)二a12a2(x-X0)nan(x-X0)n°.
pn(x)=2a232a3(x刁0)亠亠n(n-1)an(^^0)n_2.
pn(x)=3!
a3432a4(x-x°)亠亠n(n-1)(n-2)an(x-X0)n°pn⑴(x)=n!
an.
于是
pn(X0)=a0pn(X0)=a1pn(X0)=2!
a2pn(x)=3!
a3,.:
:
p/n)(x)=n!
an,
按要求有
f(X0)=pn(X0)=a0.f(X0)=pn(X0)=a1.f(X0)=pn(X0)=2!
a2.f(X0)=pn(X0)=3!
a3.
f(n)(xo)=pn⑺(X。
)=n!
an,
从而有
1a3二—《3!
fix。
)^評愉)
1”
ao=f(x。
)a1f(x。
).22!
(冷)
ak1f(k)(x。
)
k!
(k=。
.1.2,』),
2El
于是就有
+-f"(x。
)Pn(x)-f(x。
)f(X。
)(x-x。
)2!
(x-x。
)爲n!
(x-x。
)
泰勒中值定理如果函数f(x)在含有X0的某个开区间(a.b)内具有直到(n1)的阶导数.
则当x在(ab)内时f(x)可以表示为(x_x。
)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和
f(x)=f(X。
)f(Sx-X。
)1f(Sx-X。
)2Vf(n)(Xo)(X-Xo)nRn(x)
2!
n!
(x-x°)n1(•介于X0与X之间).
fX(©
Rn(x)=
其中(n1)!
这里
多项式
Pn(X)=f(X。
)f(X°)(X-X。
)扌f(X°)(X-X。
)2
称为函数f(x)按(X*。
)的幕展开的n次近似多项式.公式
f(X)=f(X。
)f(Xo)(x-X。
)2if(Xo)(x-x。
)
2•1^(x。
*-X。
)"Rn(x)
n!
称为f(x)按(x—x。
)的幕展开的n阶泰勒公式.而Rn(x)的表达式
f(n卅)(©」
FUx)丿H(x-初1
其中(n1)!
(介于X与X0之间).
称为拉格朗日型余项.
当n=。
时.泰勒公式变成拉格朗日中值公式:
f(x)=f(x。
)f()(x-x。
)(在X0与X之间).
因此.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广
如果对于某个固定的n.当x在区间(a.b)内变动时.|f(n41)(x)|总不超过一个常数M.则有
估计式:
lim^-=。
及Xfo(x-Xj)n_
可见.妆XrX。
时.误差|Rn(x)|是比(X-X°)n高阶的无穷小.即Rn(X)P[(X-Xo)n].
2十f(n)(Xo)(X-x0)no[(x-Xo)n]
在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成
f(X)=f(X。
)f(X3)(X-X。
)ffg)(X-x。
)
当X。
R时的泰勒公式称为麦克劳林公式.就是
n!
XnRn(X)
f(x)f(0)f(o)xx2
-2Bx「0(xn)
n!
或f(x>f(O)f(0)x■f^!
0)x2-
f(n1)()
R(x)=f口xn1其中(n1)!
f(x)、f(0)仁叽守好-n!
f(n)(O)xn
由此得近似公式:
误差估计式变为:
|Rn(x)U(nMi)!
|xn1
例1.写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式解:
因为f(x)=f(x)f(x)f(n)(x)=ex.
所以f(0)f(0)=f(0)f(n)(0)=1.
”亠eXad+x」x2+…+1xn
并有2n!
Ix|n1
当x=1时.可得e的近似式
这时所产性的误差为
|Rn(X)|=|(n1)!
Xn1|<(n1)!
亠<丄
其误差为|Rn|<(n1)!
(n1)!
.
例2.求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式,
解:
因为
f(x)=cosx.f(x)--sinxf(x)--cosx.
f(4)(x)二sinx...f叫x)=sin(xnR
f(0)=0f(0)=1f(0^0f(0^-1f(4)(0^0.
曰sinx=x2x?
专x5+"^21)1!
x2m^+R2m(x)
'丁•^是3.5(2m1)■”
当mH、2、3时.有近似公式
13131»5
siix:
Xx3siix:
xx3x5
sinxx3!
3!
5!
§3.4函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
如果函数y斗(x)在[ab]上单调增加(单调减少).那么它的图形是一条沿x轴正向上升
(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的).即yV(x)0(/4(x)乞0).由此可见.函数的单调性与导数的符号有着密切的关系
反过来.能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a.b]上连续.在(ab)内可导
(1)如果在(a.b)内f(x)・0.那么函数y=f(x)在[ab]上单调增加-
⑵如果在(a.b)内f(x):
:
:
0.那么函数y=f(x)在[ab]上单调减少.
证明只证
(1),在[ab]上任取两点xiX2(xi:
:
X2).应用拉格朗日中值定理.得到
f(X2)-f(Xl)=f〔2)(x2点1)(Xi£^由于在上式中.X2莎0.因此.如果在(a.b)内导数f(x)保持正号.即f(x).0.那么也有f()0.于是
f(X2)」(X1)=f"(©(X2_X1)>0.
即f(x1):
:
:
f(X2).
这函数y=f(x)在[ab]上单调增加,
注:
判定法中的闭区间可换成其他各种区间
例1判定函数y承-sinx在[0.2罚上的单调性,
解因为在(0.2H)内
yV-cosx0.
所以由判定法可知函数y=x_cosx在[0.2二]上的单调增加,例2讨论函数y=ex-x-1的单调性,(没指明在什么区间怎么办?
)
解y£X-1.
函数y=ex$_1的定义域为(-二;),因为在(;.0)内y.所以函数y=ex-x-1在(二.0]上单调减少•因为在(0.;)内y0.所以函数y二eX_x_1在[0.匚)上单调增加,
例3.讨论函数y=3x2的单调性,
解:
函数的定义域为(-:
:
.;),当时.函数的导数为
*2
y3一
3/x(x勿).函数在x=0处不可导,
当x=0时.函数的导数不存在,
因为x:
:
0时y:
:
0.所以函数在(-:
:
,0]上单调减少•因为x0时y0.所以函数在[0,:
:
)上单调增加.如果函数在定义区间上连续.除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续.那么只要
用方程f(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间.就能保证「(x)在各个部分
区间内保持固定的符号.因而函数f(x)在每个部分区间上单调.
例4.确定函数f(x)=2x3-9x212^3的单调区间.
解这个函数的定义域为:
(;、;),
函数的导数为:
f(x)=6x2-18x12二6(x-1)(x~2).导数为零的点有两个:
X1=1、X2=2
列表分析:
(71]
[1:
2]
[2H)
「(X)
+
—
+
f(x)
/
/
函数f(x)在区间(严1]和[2.,七c)内单调增加.在区间[1.2]上单调减少
例5■讨论函数y^x3的单调性.
解函数的定义域为:
(严宓),
函数的导数为:
y=X2.除当x=0时.yN外.在其余各点处均有y—0.因此函数
y次3在区间(-岂0]及[0.;)内都是单调增加的,从而在整个定义域:
(巴"号内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.
一般地.如果f(x)在某区间内的有限个点处为零.在其余各点处均为正(或负)时.那
么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的
2奴>3」
例6•证明:
当x1时.x.
证明:
令^""-(记).则
吶订十宅以*1'
因为当X1时.f(x)o.因此f(x)在[1,■:
:
)上f(X)单调增加.从而当X1时f(x)f
(1).由于f
(1)P.故f(x).f
(1)P.即
2.x-(3-1)0
X
、2/x》3_丄
也就是x(x1),
二、曲线的凹凸与拐点
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)•如果恒有
f(为X2)f(X1)f(X2)
(2)2
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
定义.设函数y二f(x)在区间I上连续.如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称该曲线在区间I上是凸的,
凹凸性的判定:
定理设f(x)在[a.b]上连续.在(ab)内具有一阶和二阶导数.那么
(1)若在(ab)内f“(x)>0.则f(x)在[ab]上的图形是凹的•
⑵若在(a.b)内f“(x)<0.则f(x)在[ab]上的图形是凸的,
x1x2Xo=
简要证明只证
(1).设X1,X2X1.X2[a.b].且X1:
:
:
X2.记2.
由拉格朗日中值公式.得
Xi:
:
:
1:
:
:
Xo
Xo:
:
:
2:
:
:
X
f(Xd-f(Xo)=f
(1)(X1-Xo)=f(f(X2)-f(Xo)=f
(2)(X2-Xo^f(
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
f(xi)f(X2)-2f(xo)4f
(2)-f
(1)]X22Xl
f()(2-1)宁。
—
■■
f(为)f区)f(X1X2)
即2
(2).所以f(x)在[ab]上的图形是凹的.
拐点:
连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数y=f(x)的定义域-
⑵求出在二阶导数厂(x)-
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
(4)判断或列表判断.确定出曲线凹凸区间和拐点注:
根据具体情况
(1)(3)步有时省略,
y」
例1.判断曲线y=lnx的凹凸性,
因为在函数y=lnx的定义域(0.;)内.y<0.所以曲线y=lnx是凸的例2.判断曲线y=x3的凹凸性.
2
解:
y=3xy=6x,
由y£.得x=0.
因为当x<0时.y“<0.所以曲线在(-:
:
.0]内为凸的•
因为当x>0时y、0.所以曲线在[0.;)内为凹的,
32
例3.求曲线y=2x3x-2x14的拐点
2
解:
y=6x6x-12
y:
J12x6T2(x{)
x=—1
令厂£.得2.
—丄_1_120丄
因为当X"方时y:
:
0.当X时y..0所以点(-空2)是曲线的拐点例4.求曲线y=3x^4x31的拐点及凹、凸的区间
43
解:
⑴函数y=3x-4x+1的定义域为(严讼);
2
⑵y=12x3—12x2y£6x2—24x=36x(x-2)
=2
⑶解方程厂£.得x1=°.X2乜.
(4)列表判断:
例5问曲线y决4是否有拐点?
解yNx3yT2x2.
当xP时.y“>0.在区间(;.;)内曲线是凹的.因此曲线无拐点.例6.求曲线y=3x的拐点.
解
(1)函数的定义域为(7佻=)-
卜1■■_2
⑵y%3x2.丫》9X3X2•
(3)无二阶导数为零的点•二阶导数不存在的点为x=0
⑷判断:
当x<0当.y">0;当x>0时.y"<0,因此.点(0:
0)曲线的拐点
§3,5函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法极值的定义:
定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义.xo三(a,b),如果在xo的某一去心邻域内有f(x):
:
:
f(xo).则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值•如果在xo的某一去心邻域内有f(x).f(Xo).则
称f(xo)是函数f(x)的一个极小值,
设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义.如果在去心邻域U(xo)内有f(x)f(x)f(xo)).
则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值(或极小值),
函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点,
函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(xo)是函数f(x)的一个极大值.那只是就
xo附近的一个局部范围来说.f(xo)是f(x)的一个最大值•如果就f(x)的整个定义域来说.f(xo)不一定是最大值,关于极小值也类似,
极值与水平切线的关系:
在函数取得极值处.曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平
切线的地方.函数不一定取得极值.
定理1(必要条件)设函数f(x)在点xo处可导.且在xo处取得极值.那么这函数在xo处的导数为零.即f(xo)£.
证为确定起见.假定f(xo)是极大值(极小值的情形可类似地证明).根据极大值的定义.在Xo的某个去心邻域内.对于任何点xf(x):
:
:
f(xo)均成立,于是
当x:
:
:
xo时
f(x)—f(xo)>o
X-Xo
=limf(x)-f(xo)知因此f(xo)x旳一X-Xo
当X>xo时
f(x)—f(Xo)oX-Xo
‘f(x)-f(x)/
因此X%X-Xo
.在Xo的某个去心邻域内有f(x):
:
:
从而得到f"(Xo)=o,
简要证明:
假定f(xo)是极大值,根据极大值的定义
f(xo)=fglim
f(X)-f(Xo)
-x_Xo
o
f(xo),于是
、tf(x)-f(xo)”
同时
f(Xo)"(Xo)=lim-_o
xjxoX—Xo
从而得到f(X。
)=o,
驻点:
使导数为零的点(即方程f(x)=o的实根)叫函数f(x)的驻点,定理1就是说:
可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点,但的过来.函数f(x)的驻点却不一定是极值点,
考察函数f(x)=x3在x=o处的情况•
定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点xo的一个邻域内连续.在Xo的左右邻域内可导
(1)如果在xo的某一左邻域内f"(x)>o.在Xo的某一右邻域内f"(x)处取得极大值-
(2)如果在xo的某一左邻域内f"(x)€.那么函数f(x)在Xo处取得极小值•
⑶如果在xo的某一邻域内f"(X)不改变符号.那么函数f(x)在Xo处没有极值.
定理2•(第一种充分条件)设函数f(x)在含xo的区间(a,b)内连续.在(a,Xo)及(xo,b)内可导•
(1)如果在(a,xo)内f(x)o.在(xo,b)内f(x):
:
:
o.那么函数f(x)在xo处取得极大值
(2)如果在(a,xo)内f(x).在(xo,b)内f(x)o.那么函数f(x)在xo处取得极小值-
(3)如果在(a,xo)及(xo,b)内f(x)的符号相同.那么函数f(x)在xo处没有极值,定理2(第一充分条件)设函数f(x)在xo连续.且在xo的某去心邻域(xo「.xo)一(xo.xo,.)
内可导.
(1)如果在(xo-xo)内f(x)o.在(xo.xo•、:
)内f(x):
:
:
0.那么函数f(x)在xo处取得极大值⑵如果在(Xo_「.Xo)内f(x