学年高中数学人教A版必修四教学案14 三角函数的图象与性质 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版必修四教学案14三角函数的图象与性质Word版含答案
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P30~P33的内容,回答下列问题.
(1)观察教材P31图1.4-3,你认为正弦曲线是如何画出来的?
提示:
利用单位圆中的正弦线可以作出y=sin_x,x∈[0,2π]的图象,将y=sin_x在[0,2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线.
(2)在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
提示:
作正弦函数y=sin_x,x∈[0,2π]的图象时,起关键作用的点有以下五个:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(3)作余弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
提示:
作余弦函数y=cos_x,x∈[0,2π]的图象时,起关键作用的点有以下五个:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.归纳总结,核心必记
(1)正弦曲线
正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②五点法:
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0),用光滑的曲线连接;
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)余弦曲线
余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫余弦曲线.
(4)余弦函数图象的画法
①要得到y=cosx的图象,只需把y=sinx的图象向左平移个单位长度即可,这是由于cosx=sin.
②用“五点法”:
画余弦曲线y=cosx在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,(π,-1),,(2π,1),再用光滑的曲线连接.
[问题思考]
(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗?
提示:
是.
(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗?
提示:
余弦曲线与正弦曲线形状相同,但在同一坐标系下的位置不同.
[课前反思]
(1)正弦曲线的定义:
;
(2)正弦曲线的画法:
;
(3)余弦曲线的定义:
;
(4)余弦曲线的画法:
.
讲一讲
1.用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];
(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].
[尝试解答]
(1)列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
描点、连线,如图.
(2)列表:
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
2+cosx
3
2
1
2
3
描点、连线,如图.
用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:
x
0
π
2π
sinx或cosx
0或1
1或0
0或-1
-1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点:
在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5).
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
练一练
1.用“五点法”作出函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的图象.
解:
列表如下:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2-sinx
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
讲一讲
2.利用正弦曲线,求满足<sinx≤的x的集合.
[尝试解答] 首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象.如图所示,作直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为和;
作直线y=,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知,在[0,2π]上,当<x≤,或≤x<时,不等式<sinx≤成立.
所以<sinx≤的解集为或.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据公式一写出定义域内的解集.
练一练
2.使不等式-2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C 不等式可化为sinx≤.
法一:
作图,正弦曲线及直线y=如图
(1)所示.
由图
(1)知,不等式的解集为.故选C.
法二:
如图
(2)所示不等式的解集为.故选C.
讲一讲
3.判断方程sinx=lgx的解的个数.
[尝试解答] 建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移,得到y=sinx的图象.在同一坐标系内描出,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图.
(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解.
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便的解决问题,这正是数形结合思想方法的应用.
练一练
3.已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
解:
由题意知f(x)=sinx+2|sinx|=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1.本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象,难点是图象的应用.
2.本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法,见讲1;
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式,见讲2;
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题,见讲3.
3.本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y=sinx,x∈[0,2π]与y=cosx,x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类:
①图象与x轴的交点;②图象上的最高点和最低点.其中,y=sinx,x∈[0,2π]与x轴有三个交点:
(0,0),(π,0),(2π,0),图象上有一个最高点,一个最低点;y=cosx,x∈[0,2π]与x轴有两个交点:
,,图象上有两个最高点:
(0,1),(2π,1),一个最低点(π,-1).
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 用“五点法”作简图
1.用“五点法”作y=sin2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是( )
A.0,,π,,2πB.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,
解析:
选B 分别令2x=0,,π,,2π,可得x=0,,,,π.
2.函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是( )
答案:
D
3.函数y=sin|x|的图象是( )
解析:
选B y=sin|x|=作出y=sin|x|的简图知选B.
4.用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象.
解:
列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+2sinx
1
3
1
-1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1),,(π,1),(2π,1),然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象.
题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式
5.不等式cosx<0,x∈[0,2π]的解集为( )
A.B.C.D.
解析:
选A 由y=cosx的图象知,
在[0,2π]内使cosx<0的x的范围是.
6.函数y=的定义域是________.
解析:
要使函数有意义,只需2cosx-≥0,
即cosx≥.由余弦函数图象知(如图).
所求定义域为,k∈Z.
答案:
,k∈Z
7.求函数y=+的定义域.
解:
由得
∴2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,即函数y=+的定义域为(k∈Z).
题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
8.y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=交点的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析:
选C 画出y=与y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象,由图象可得有2个交点.
9.方程cosx=lgx的实根的个数是( )
A.1B.2C.3D.无数
解析:
选C 如图所示,作出函数y=cosx和y=lgx的图象.两曲线有3个交点,故方程有3个实根.
10.判断方程sinx=的根的个数.
解:
因为当x=3π时,y==<1;
当x=4π时,y==>1.
所以直线y=在y轴右侧与曲线y=sinx有且只有3个交点(如图所示),又由对称性可知,在y轴左侧也有3个交点,加上原点(0,0),一共有7个交点.
所以方程sinx=有7个根.
[能力提升综合练]
1.对余弦函数y=cosx的图象,有以下描述:
①向左向右无限延伸;②与y=sinx的图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数多个交点;④关于y轴对称.
其中正确的描述有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
选D 由余弦函数的图象知①②③④均正确.
2.方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内( )
A.没有根B.有且只有一个根
C.有且仅有两个根D.有无穷多个根
解析:
选C 在同一坐标系内画出函数y=|x|与y=cosx的图象,易得两个图象在第一、二象限各有一个交点,故原方程有两个根,选C.
3.函数y=cosx的图象是( )
解析:
选C y=结合选项知C正确.
4.在(0,2π)上使cosx>sinx成立的x的取值范围是( )
A.∪B.∪
C.D.
解析:
选A 以第一、三象限角平分线为分界线,终边在下方的角满足cosx>sinx.
∵x∈(0,2π),∴cosx>sinx的x的范围不能用一个区间表示,必须是两个区间的并集.
5.在(0,2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是________.
解析:
三角函数线法,由题意知sinx>0,即x∈(0,π),由三角函数线知满足sinx>
|cosx|的角x在如图所示的阴影部分内,所以不等式的解集为.
答案:
6.函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是________.
解析:
如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π.
答案:
4π
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