傅里叶级数部分难题解答.docx

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傅里叶级数部分难题解答

傅里叶级数部分难题解答

微积分（下）傅里叶级数部分难题解答

傅里叶级数部分难题解答

1（（书中,第1题）三角多项式P301

n,0，，，，Tx,，,coskx，,sinkx,nkk2,1k

的傅里叶级数还是它自己吗,

，，Tx,,解:

是以为周期的函数，不妨在,,,,上展开成傅里叶级数.由于2,n

n,,,a1110，，，,coskx，,sinkxdx,dx，，a,Txdx,kk0n,,,,,,,,,,2,,1,k

,.（由于三角函数系的正交性）0

1对于由,m,1,m,n,，，a,Txcosmxdxmn,,,,

n,,,,110，，,，，.cosmxdx,coskx.cosmxdx,sinkx.cosmxdx,kk,,,,,,,,,,,，，2,,,1k

由于三角函数系的正交性，仅当时，k,m

cosmx.cosmxdx,,..,,,,

,其余而且，，，，coskx.cosmxdx,0k,m.sinkx.cosmxdx,01,k,m.,,,,,,

a,,.故mm

a,0.对于,m,m,n，同样由三角函数系的正交性知m

0,m,n,,,m即a,,m0,其他.,

1,m,n,,,m，，Tx同理，有所以，的傅里叶级数为b,,nm0,其他.,

n,a00，，，，，acosmx，bsinmx,，,cosmx，,sinmx（换记为）,,mmmm22m1,1,m

nn,,00，，，，，，,，,coskx，,sinkx.Tx,，,coskx，,sinkx三角多项式,,kknkk22,1,1kk的傅里叶级数还是它自己.

1

微积分（下）傅里叶级数部分难题解答

4，，fx,sinx,x,,,,,,2（（书中,第2题）将函数展开成傅里叶级数P301

,,11244解:

，，a,fxdx,sinxdx,sinxdx0,,,,,0,,,,,

,,，，2443!

!

3444222（第二个积分令,sinxdx，costdt,sinxdx,.,.,,,,,0004!

!

24,,,，，

t,x,）2

,114，，a,fxcosnxdx,sinxcosnxdxn,,,,,,,,

131,,2cos2xcos4xcosnxdx,,，,,,,,,422,,

a,0,由于三角函数系的正交性，仅当或时，此时n,2,n,4n

,1111a,,cos2x.cos2xdx,,;a,cos4x.cos4xdx,.24,,,,,,,,2288

4，，fx,sinx,x,,,,,,b,0（n,1,2,....）又由于是偶函数，故.n

311所以，，，,,fx,,cos2x，cos4x,x,,,,,.828

注意:

其实，聪明的同学还有更简单的做法:

21,cos2x311,,4，，fx,sinx,,...,,cos2x，cos4x,x,,,,,,,.既然,,2828,,

利用第1题的结论，它的傅里叶级数就是它自己，即:

311，，,,fx,,cos2x，cos4x,x,,,,,.828

，，,,,,3（（书中,第3题）关于区间展开函数P302

1,x,0,,n1,,,1，，,,sgnx,0,x,0,为傅里叶级数，并由此证明,.,,n2,14n1,,,1,x,0.,

sgnx解:

注意到为奇函数，故显然

,11，a,sgnxdx,0;a,sgnx.cosnxdx,0;0n,,,,,,,,

,,122b,sgnx.sinnxdx,.sinnxdx,,cosnx|n,,0,0,,,,n

4,,n,1,3,5,...,2,,,.,,cosn,,1,n,,n,,0,n,2,4,6,..,

2

微积分（下）傅里叶级数部分难题解答

4111，，sgnx,bsinnx,sinx，sin3x，sin5x，sin7x，...,n,,,357，，n1,

41，，，，,sin2n,1x.,,,x,,.（*）,2n,1,n1,

（*）中，令得:

x,,2

n1n1,,,,,414,1,,1，，，，,，，1,sin2n,1,所以,.,,,212n,,2n,1n2,14,n1,n1n1,,

，，4（（书中,第4题）关于区间,,,,展开下列函数为傅里叶级数P302

（?

），，fx,x;

，，（?

）fx,cosax（为常数）;a

，，（?

）fx,xsinx;

0,,,,0,x,（?

）,fx，，,x,,x,,.,

，，fx解:

（?

）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此的傅

，，fx.里叶级数处处收敛于

，，b,0;n,1,2,？

.，，fx注意到为偶函数，故显然而n

,22，，a,fx.dx,x.dx,,;0,,00,,

,22，，a,fx.cosnxdx,x.cosnxdxn,,00,,

,,,2122，，，，,0，cosnx,,,，，.xdsinnxxsinnxsinnxdx||,,,,00,,00，，,nn,,nn，，

4,n,,1,3,5,...,2,2,,,cosn,,1,.n,,2n,,n,0,2,4,6,..,

，，fx所以，的傅里叶级数展开式为

,a4111，，0x,，acosnx,,cosx，cos3x，cos5x，cos7x，...,n222,,,22357，，n1,

3

微积分（下）傅里叶级数部分难题解答

,41,,cos2n,，，，，1x.,,,x,,.,22,，，2n,1n,1

（?

）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此，，的傅里fx，，叶级数处处收敛于fx.

，，b,0;n,1,2,？

.，，注意到fx为偶函数，故显然而n

,,2222，，a,fx.dx,cosax.dx,sinax,sina,;|0,,000,,aa,,

,22，，a,fx.cosnxdx,cosax.cosnxdxn,,00,,

21,,，，，，,cosn,ax，cosn，axdx,0,2

,11,sin,,n,ax，sin,,n，ax，，，，||00，，，，,,n,an，a

n,，，111,,，，,a,,sin,,n，an,a,,,

1nn，,，，a,，，a，，,,12a2sin1，，,,..sina,，，n,1,2,？

2222,n,a,na,

，，fx所以，的傅里叶级数展开式为

,aanx2sin，1cos，，，1n，，，,,,x,,.ax,，,，，cos1,,,,22,a2na,1，，n,

，，fx（?

）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此的傅里

，，b,0;n,1,2,？

.，，，，fx.fx叶级数处处收敛于注意到为偶函数，故显然而n

,,222，，，，a,fx.dx,xsinx.dx,,x.dcosx0,,,000,,,

,2，，,,,,2;xcosxcosxdx|,0,,0，，,

,,122，，a,fxcosx.dx,xsinx.cosxdx,xsin2xdx1,,,000,,,

,,111，，，，,,x.dcos2x,,xcos2x,cos2xdx,,;|,,00,0,，，,,222

,22，，a,fx.cosnxdx,xsinx.cosnxdxn,,00,,

4

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21,,，，，，,x.sinn，1x,sinn,1xdx,0,2

,,11,xd,,cosn，1x，xd,,cosn,1x，，，，,,00，，，，,,n，1n,1

,,1,,，，,xcos,,n，1x,cos,,n，1xdx，，|,00，，,n，1

,1,,，，，xcos,,n,1x,cos,,n,1xdx，，|,00，，,n,1

11,22，，n1nn，，，,,1,，，n,2,3,？

,1,,，，，，1.22,,n，1n,1n,1n,1，，

，，所以，fx的傅里叶级数展开式为

n1，,1,1，，，，xsinx,1,cosx，2cosnx.,,,x,,.,22n,1n2,

,,111,（?

），，，，a,fx.dx,fx.dx,x.dx,;0,,,,00,,,2,

,11，，a,fx.cosnxdx,x.cosnxdxn,,,0,,,

,,,1111，，，，,0，cosnx,,,，，.xdsinnxxsinnxsinnxdx||,,,,00,,00，，,nn,,nn，，

2,n,,1,3,5,...,1,2,,,cosn,,1,.n,,2n,,n,0,2,4,6,..,

,11，，b,fx.sinnxdx,x.sinnxdxn,,,0,,,

,,11，，,,,,,，，.xdcosnxxcosnxcosnxdx|,,0,,00，，,,nn

n，1,11，，,11，，,,,cosn,,sinnx,.，，n,1,2,？

,cosn,,|,,0nnn,n，，

n1，,,,2cos2n,1x,1，，，，所以，，，，，fx,,，sinnx.,,,x,,.,,24n,，，2n,1n1n1,,

，，，，，，fx,x,,x0,x,,5（（书中,第1题）将函数分别展开成正弦级数与P307

余弦级数.

，，fx解:

（一）对作奇延拓及周期延拓.

5

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a,0（n,0,1,2,...）.n

,,222,，，b,x,xsinnxdx,2xsinnxdx,xsinnxdxn,,,000,,

,2其中，，,,xdcosnx2xsinnxdx,,00n

,,212，，，，,,,cosn,,sinnx,,,xcosnxcosnxdx||,,,00,,0，，nnn，，,22,n，1，，,,cosn,,,1.nn

,,,222222，，,,，，,xsinnxdx,xdcosnxxcosnx2xcosnxdx|,,,0,,000，，,,,nn

,241，，n，，,,1,0，cosnx|2,,0nn,n，，

,2424nnnn,,，,,,,,,，，，，，，，，,,1,,1,1111.33nnn,n,

242,n，1nnb111故,,，，，，，，,,1，,，,,n3nnn,

8,n,,1,3,5,...,4,n311,,,，，.,,,n,,3n,,n,0,2,4,6,..,

81，，，，fx,sin2n，1x，，0,x,,所以，.,3,，，2n，1n,1

，，fx

（二）对作偶延拓及周期延拓.

b,0（n,1,2,...）;n

2,,,1,22,x.dx,;，，，，a,fx.dx,x,,x.dx0,,,0003,,,

,,222,，，a,x,xcosnxdx,2xcosnxdx,xcosnxdxn,,,000,,

,,,22，，,,其中，，,xdsinnxxsinnxsinnxdx2xcosnxdx|,,,0,,000，，nn

2122，，n,0，cosnx，，,,，，,cosn,,1,,1,1.|22,,0nnnn，，

,2222，，,xcosnxdx,,xdsinnx,,00,,n

6

微积分（下）傅里叶级数部分难题解答

,22，，,,,xsinnx2xsinnxdx|,0,,0，，,n

,444n，，,,,,,,,,，，xcosnxcosnxdx,,,cosn,，01.|222,0,,0，，,nnn,

2424nnnn，1，，故a11n,1,2,？

,1,,，，，，，，，，,,1,1,,,,,,，,1.n2222nnnn

2,,,11n1n，，，,,，，fx,,21,,1cosnx，，，4,1cosnx所以，,,226nnn1,n1,2,,11,n1，，，，4,1cosnx，，0,x,,,,4cos2n，，,1x,,22n6，，2n,1n1,n1,

，，,,6（（书中,第2题）设ft是周期为，高为的锯齿形波，它在0,2,的P3072,h

h函数表示式为，试把它展开成傅里叶级数.,，，ftt2,

2,22,2,1hht1.,tdt,,h，，解:

;n,1,2,？

，，a,ftdt|0,2,00022,,2,,

2,2,2,1h1h，，，，a,ftcosntdt,t.cosntdt,tdsinntn,,,2000,,,,22n

2,2,hh，，,,,,tsinntsinntdt,,0,0,0.|2,2,,00，，,n,2n22,2,2,1h1h，，，，b,ftsinntdt,t.sinntdt,,tdcosntn,,,2000,,,,22n

2,2,h，，,,,tcosntcosntdt|,2,,00，，,2n

hh，，n,1,2,？

,,,,,2,cos2n,,0.2n,2n,

hh1，，ft,,sinnt.，，x,2k,,k,0,,1,,2,？

所以,,2nn1,

x,，，0,2,fx,7（（书中,第3题）在展开函数为傅里叶级数.，，P3072，，fx解:

对作周期延拓.

2,2,2,,1,x11112;，，，，a,fxdx,dx,,..,,x,0|0,,000,222,,

2,2,11x,,，，a,fxcosnxdxcosnxdx,n,,00,2,

2,1，，，，,,,xdsinnx,02n,

2,2,1，，,,，，，,xsinnxsinnxdx|,,,00，，2n,

7

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1;,,,0,0,0n,2

2,2,11x,,，，b,fxsinnxdxsinnxdx,n,,00,2,

2,1，，，，,,,,xdcosnx,02n,

2,2,1，，,,,，，，,xcosnxcosnxdx|,,,00，，2n,

11，，,,,cos2n,,;n,1,2,？

,,,,2nn,

1，，fx,sinnx.，，所以，0,x,2,,n,n1

TT,,,,，，，，8（（书中,第4题）设ft是周期为TT,0的周期函数，它在内P307,,22,,

的函数表示式为

T2,,Esint,0,t,,,,,,m,2T,ft,，，，试把它展开成傅里叶级数.,T0,,,t,0.,2,,

TTT2E121,,m222,,cos,t,Esin,tdt解:

，，a,ftdt,,|m0T,,00,TTT,,,2

2

2,,,.T,,2E2E2ET,,,mmTm,,,1,cos;,,1,cos,,2T2,2,,,,,,T.,,T,,

TT1nt22,nt,22,Etdt.cossin.cos，，a,ftdt,mnT,,0,TTTT2

22

TE，，nn2,2,,,,,m2,，，,ttdtsinsin,,,,,,,,,0TTT,,,,，，

，，，，TT,,,,EEnn12,12,,,,,mm22，,,,,，ttcoscos,,,,,,,,,,||00nn22,,TTTT,,,,,,,,，,,,,,,,，，，，TT

8

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，，，，EE,,,,2nT2nT,,,,,,mm,1,cos,，.,，1,cos,,.,,,,,,,,,,,,,,,2n2nT2T2,,,,,,,,,,,,,,，，，，，T,T,,,,,,TT,,,,

，，E,,22nT,,,,m,1,cos,，.,,,,,,,22nTT2,,,,,,,,，，，T,,TT,,

，，E,,2,2n,T,,m，1,cos,,.,,,,,,,22nTT2,,,,,,,,，，,T,,TT,,

EEmm,,,1，cosn,,,，1，cosn,，，，，2n，121,n,,

E1,mn,.,2,4,6,...,EE112,，，nmm2,,,1，cosn,，,1，,1,,,，，.,,n1,2,,2n，11,n,,21,n，，,n,0,1,3,5,..,

TT1t22,t,22,Etdt.sinsin.sin，，b,ftdt,m1T,,0,TTTT2

22

4t,1cosTTtt22,2,2T22,Edt,Edtsin.sinmm,,00T2TTT

TEEE4,TtTT，，，，mmm2,,sin,t,,sin2,,;|,,,,0T4T242T,,，，，，

TT1nt12,nt,22,Etdt.sinsin.sin，，b,ftdt,mnT,,0,TTTT2

22

TE，，nn2,2,,,,,m2,,，，ttdtcoscos,,,,,,,,,0TTT,,,,，，

，，，，TT,,,,EEnn12,12,,,,,mm22,,，，ttsinsin,,,,,,,,,,||00nn22,,TTTT,,,,,,,,,，,,,,,,，，，，TT

，，，，EE,,,,2nT,2n,T,,,,mm,sin,,.,,0，sin,，.,,1,,,,,,,,,,,,,,2n2nT2T2,,,,,,,,,,,,,,，，，，，T,T,,,,,,TT,,,,

9

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，，E,,22nT,,,,m,sin,,.,,0,,,,,,22nTT2,,,,,,,,，，,T,,TT,,

，，E,,2,2n,T,,m，sin,，.,,0,,,,,,22nTT2,,,,,,,,，，，T,,TT,,

EEmm，sinn,,0.,sinn,n,2,3,？

.，，，，21,n21，n,,

，，所以，ft的傅里叶级数展开式为

EEtnt2,14,mm，，fx,，sin，cos.,2TT2n,41,n1,

，，,,,,9（（书中fx,,,,0,,,第5题）设在上为可积的奇函数且在上有P307

，，b，，fx,0.fx求证:

（其中为的傅里叶系数）.b,kbkk1

提示:

，，sinkx,ksinx0,x,,.

，证明:

（一）先用数学归纳法证明:

对于，有（*），，k,Nsinkx,ksinx0,x,,.

成立。

事实上:

当时，（*）式显然以等式形式成立;k,1

假设当时，（*）式成立，则当时，k,nk,n，1

，，sink，1x,sinkx.cosx，coskx.sinx

所以（由归纳假设），，sink，1x,sinkx.cosx，coskx.sinx

，，,ksinx.1，1.sinx,k，1sinx.

（二）由公式

2，，b,fxsinkxdxk,0,

,22所以（由（*）式），，，，b,fxsinkxdx,fxsinkxdxk,,00,,

,22，，，，,k.fxsinxdx,kb.，，,fx.ksinxdx1,,,,00,,，，

b,0.，，,,，，fx0,2,k,1,2,？

10（（书中,第6题）设在上单调减少，求证:

P308k

b，，fx（其中为的傅里叶系数）.k

10

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2,1证明:

（令），，b,fxsinkxdxkx,tk,0,

k22k,n,1t1t,,,,fsintdt,fsintdt,,,,,,,,，，2,10n,k,k,kk,,,,,1n

，，）（再令u,t,2n,1,

k2,,，，12n,1，u,,，，,fsin,,2n,1,，udu,,,,0kk,,,,1n

k2,，，12n,1,，u,,fsinudu,,,,,0kk,,,,1n

k22,,，，,，,，12n1u2n1u，，，，,,,,,,,，fsinudufsinudu,,,,,,,,,0,kkk,,,,,,1n，，

2,，，2n,1,，u,,fsinudu其中（令）x,u,,,,,,k,,

,,，，2n,1，x，,,，，,fsinx，,dx,,,0k,,

,2n,，x,2n，u,,,,fsinxdxfsinudu,,,,,,,,,,00kk,,,,

k,,,，，,，，12，，n1u2nu,,,,,,b,,所以ffsinudu,,,,,,k,,,,0kkk,,,,,,1n，，,,

，，,,fx0,2,注意到，在上单调减少，故

，，，，2n,1,，u2n,，u,,,,f,f,0，,,,,kk,,,,

b,0.，，k,1,2,？

所以，k

11