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习题课最优化
课程结构
第一章线性规划的基本概念及基本原理
第二章线性规划求解的基本方法
第六章非线性规划问题及其数学基础
第七章单变量函数的寻优方法
第八章无约束条件下多变量函数的寻优方法
第十一章动态规划方法简介
线性规划
解:
设生产两种型号机器A、B分别为x1、x2台,则限制条件为
2x1+3x2100(原材料限制)
4x1+2x2120(工时限制)
x1,x20(变量非负限制)
要求:
总产值最大,maxf(x1,x2)=6x1+4x2
求解
X=(2020)
fVal=-200
线性规划
目标取逆(—)
求解
X=(15.000003.33330)
fVal=-113.333
进行如下操作,转化为标准型:
1)目标函数改为最小化,
2)
3)将
拆成
和
4)引入松弛变量
和
,将3)中的2个不等式变为
,
5)
(单纯形求解)
线段
设
,是满足n维欧氏空间En中的任意两点,则所有满足条件:
的点
的集合,称为以
,
为端点的线段。
其它的点称为内点。
斐波那契
用斐波那契法,求解
,初始区间为[2,4],允许误差ε=0.5。
0.5/(4-2)f(n+1)>=4
用黄金分割法,求解
,初始区间为[2,4],允许误差ε=0.5。
☆试用牛顿法求下列函数的极小点。
,初始点为(0,0,0)T,并分析计算结果。
解答:
g=(2x1-2,8x2,10x3+10)T
G={2,0,0;0,8,0;0,0,10}
G-1={1/2,0,0;0,1/8,0;0,0,1/10}
x0=(0,0,0)T
g0=(-2,0,10)T
x1=x0-G-1g=(1,0,-1)T
1.0000
0.0000
-1.0000
fval=
-6.0000
因此,对于2次函数,牛顿法可以一步求得最优解。
☆用FR共轭梯度法求解无约束优化问题
,取初始点
迭代2次,并分析求解结果。
解答:
梯度g=(10(x1-7),6(x2-7))T
迭代1:
g0=(-20,12)T,p0=-g0=(20,-12)T
x1=x0+a1p0=(5+20a1,9-12a1)T
f(x1)=f(a1)=5(20a1-2).^2+3(2-12a1).^2=5(400a1.^2-80a1+4)+3(144a1.^2-48a1+4)=2432a1.^2-544a1+32
f(a1)’=0;a1=0.1118;x1=(7.236,7.6584)
迭代2:
g1=(2.36,3.9504)
b0=0.038925
p1=-g1+b0p0=-(2.36,3.9504)+0.038925*(20,-12)=(-1.5815,-4.4175)
x2=x1+a2p1=(7.236-a2*1.5815,7.6584-a2*4.4175);
f(x2)=f(a2)=5(0.236-a2*1.5815).^2+3(0.6584-a2*4.4175).^2=
5*(2.50114225a2.^2+0.055696–a2*0.746468)+3(0.43349056+19.51430625a2.^2-5.816964a2)
=71.04863a2.^2-21.183232a2+1.57895168
f(a2)’=0
a2=0.14908
x2=(7.00022998,6.9998391)
根据最有性条件,最优解为(7,7),
因此,2次迭代,即可求得最优解。
C1->D1=6
阐述3种一维搜索采用的主要方法。
阐述3种用于无约束最优化问题中的主要方法。
迭代寻优算法的基本思想及常用终止迭代的准则。
证明:
设
为一阶连续可微的凸函数,
且
,则
为
的全局极小点。
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