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第一章

一、数学的起源:

古埃及人在建造神奇的金字塔、狮身人面像以及神庙的同时，也创立了相当发达的数学，保存至今有关数学的纸草书有两种：

一是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书；二是收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书。

二、1、古埃及人的计数制：

使用的是十进制，并且有数字的专门符号，当一个数出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复若干次，这说明，技术系统是叠加制而不是位值制。

以有分数概念。

2、古埃及代数：

纸草书中出现“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。

有关数列问题记载。

3古埃及几何：

古埃及人通过具体问题说明了正四棱台的体积公式（如：

）著名数学史家贝尔形象地将这一古埃及数学杰作称为“最伟大的埃及金字塔”。

三4、古埃及的几何学：

古埃及人用具体问题说明了正四棱台的体积公式

（

三、1、古巴比伦的计数制：

他们用的是楔形文字，计数系统是60进制。

2、古巴比伦的代数：

已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。

还发现了级数问题，勾股数表。

3古巴比伦的几何：

实际中的几何问题都可以转化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。

4、古巴比伦的天文学;公元前5000年到公元前4000年，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们年历是从春分开始的，一年有12个月，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月，一星期有7天。

第二章

1、希腊数学初创期主要数学发现和发展：

公元前6世纪—公元前3世纪期间出现许多数学学派

（1）享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯创立了古希腊历史上的第一个数学学派——爱奥尼亚学派。

内接于半圆的角必为直角这一定理被人们称为“泰勒斯定理”。

泰勒斯将逻辑学中演绎推理引入数学，奠定了演绎数学的基础，这使他获得第一位数学家和论证几何学鼻祖的美誉。

曾经利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影子长求出金字塔的高度，又用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，被西方称为“测量学的鼻祖”。

（2）毕达哥拉斯学派与“万物皆数”。

毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数’信条受到冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。

（3）芝诺悖论与巧辩学派（4）柏拉图学派柏拉图提出，数学证明是以某些自明的假设即公理作为出发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，称之为”j假设法“他的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。

简述亚里士多德对数学的贡献？

柏拉图学派的亚里士多德对数学最大的贡献是建立了形式逻辑学，虽然以前已有不少学者奠定了逻辑的基础但他把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学。

他提出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问：

从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎；他还研究三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据。

亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理，如多边形的外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小等。

由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰富的素材，也为希腊数学后来的进一步发展

打下了坚实的基础。

巧辩学派及其他希腊学者要求作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学怎样的认识？

巧辩学派及其他希腊学者要求作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学这样一个认识：

即他们强调在研究一个概念之前，必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。

在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。

2希腊数学初黄金时代主要数学发现和发展：

阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。

欧几里得《几何原本》3希腊数学初后期主要数学发现和发展

4阿基米德的数学成就：

阿基米德的数学著作《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》这些论著无一不是数学创造的杰出之作；阿基米德是力学的创始人。

托勒密写成三角学最早系统性论著《数学汇编》，该书中有著名的托勒密定理：

在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对边乘积之和。

丢番图：

第一次系统地提出代数符号，其主要著作《算术》，堪称古代数学的典籍。

在代数中采用未知数以及一整套符号。

海伦：

最主要的著作是《测量学》集合论的创立应该归功于康托尔

第一个真正意义上对于透视法所产生问题从数学上直接给予解答的人是德沙格。

哈密顿在数学上最大的贡献是发现了四元数。

5、三大几何难题：

（1）只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等；

（2）给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积。

（3）三等分任一已知角。

6、《几何原本》的历史贡献

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。

自它问世之日起，在长达两千多年的时间里一直盛行不衰，除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比，但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。

7、希腊数学的特色和局限性。

亚历山大时期大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系载入史册，在这一时期，定量研究有了很大的进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转。

算术和代数中，演绎式逻辑结构始终没有建立起来；三角学的研究尚未摆脱天文学，这就决定了对与数的研究仍然是直观的、经验的、其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难。

8、芝诺悖论的意义

芝诺针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动，其中关于运动的三个悖论尤为引人注目：

（1）二分说

（2）阿基里斯追龟说（3）飞箭静止说。

芝诺这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还是很模糊的无限与连续的概念，更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。

毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个

重要原因。

第三章

1、印度的杰出数学家及主要的数学贡献阿耶波多：

《阿耶波多文集》得出了圆周率为3.1416的较为精确的近似值。

婆罗门笈多：

《婆罗门修正体系》摩罗：

《算术九章》婆什伽罗：

《丽罗娃提》和《算法本原》

2、印度中时期数学发展：

印度数码和10进位值制计数法，人们所说的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的。

3、阿拉伯的杰出数学家及主要的数学贡献

花拉子米：

《代数学》在书中给出符号“0”以及0在十进位值数制中作用以及其运算规则。

第四章1、《九章算术》的主要内容。

《九章算术》全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术，全书内容丰富，且密切联系实际。

《九章算术》全书共有246个应用题，基本上多是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。

这些问题分别隶属于方田、-----米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

“方田”是《九章算术》的开卷章，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。

“----米”章主要论述了20种粮食及成品如稻、米、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法。

“衰分”主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。

“少广”主要成就包括开平方、开立方的算法。

“商功”主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题。

“j均输”章主要论述较为复杂的配分比例问题。

“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。

“方程”主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。

“勾股”主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。

2、《九章算术》的特点和对数学发展的影响，以及对世界数学的贡献。

《九章算术》注重实际问题和长于计算特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映成辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。

《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学是经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书’最重要的一部，成为后来数学家们学习、研究和著述的依据。

在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论，他的分数的意义，表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。

他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在率的基础上提出算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯、欧洲，对这些地区数学的发展产生较大的影响。

在代数方面，《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。

前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年。

3赵爽主要的数学贡献（在中国关于勾股定理的证明最早是谁给出的？

该人首次对《周

髀》进行研究和注释，他的工作包括哪些方面？

中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期数学家赵爽给出的，赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者，他的工作主要包括三个方面的内容：

一为文字解释；二为较详细的数学理论推演，三是补图。

刘徽主要的数学贡献：

《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系做出杰出的贡献。

在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论，他的分数的意义，表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。

他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在率的基础上提出算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯、欧洲，对这些地区数学的发展产生较大的影响。

在代数方面，《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。

前者比欧洲早1500年，后者也早了1200多年。

而给这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽。

在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。

他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“圆形割补法”、“代数法”“极限法”以及“无穷小分割法”等等。

祖冲之父子主要的数学贡献父子俩都对在代数方面，《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为教科书。

祖冲之最突出的的成就是对圆周率的推算秦九昭主要的数学贡献:

《数学九章》著作继承了中国古代传统数学特色，受《九章算术》的影响，采用问题集的形式。

他推广传统的“开方法”,创立了“正负开方术”

马蒂生高度评价了秦九昭的“大衍求一术”指出它实质上与高斯定理是等价的。

宋元四杰主要的数学贡献李治的《测园海镜》和益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。

“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。

朱世杰推广了“天元术”，提出用“四元术”来解四元方程，可以说是中国筹算代数学的顶峰。

美国科学史家萨顿称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。

沈括，接近下层，注重实际，掌握了大量的第一手科技资料，晚年写成的名著《梦溪笔谈》，被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。

徐光启主要高斯的数学贡献：

1606年，利玛窦口授，徐光启笔述，翻译了欧几里得《几何原本》前六卷，这是翻译西方数学书籍的开始。

4、中国传统数学的特点

1、追求实用与古希腊数学追求纯粹的“理念”形成强烈的对比，传统数学有浓厚的应用色彩。

2、注重算法：

中国传统数学实用性的特点，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目的。

3、寓理于算：

刘徽《九章算术注》堪称中国传统数学理论的典范，主张“析理以辞。

解体以图。

第五章

欧洲中世纪数学家以及他们的成就

培根：

号称“万能博士“他提倡科学，重视现实，反抗权威。

他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。

文艺复兴时期的数学家及他们的成就

1、布鲁内利斯，他第一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画，但尝试从数学角度去研究这一方法的却是阿尔贝蒂。

第一个真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答是德沙格。

2、穆勒完成了《三角全书》，使三角学脱离了天文学而成为一个独立的数学分支。

3、韦达写了许多著作《三角学的数学基础》、《分析方法引论》、《几何补编》、<<有效的数值解法》、和《论方程的整理与修正》，他在符号代数方面的贡献最为突出。

他在《分析方法引论》一书中有意识地、系统地实用了字母。

“符号代数之父”

4、解析几何的创始人、近代著名的法国哲学家笛卡尔对韦达使用字母的方法作了重要的改进，他用排在英文字母前面的字母如abc等表示已知量，表末字母如xyz表示未知量。

5、欧洲数学家为什么要引入对数概念？

对数的发明是计算技术的一次重大进步。

16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。

特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到繁杂的数值计算，人们由衷地希望简化计算，比如说把乘除运算归结为加减运算。

对数的发明功绩归于苏格兰贵族纳皮尔，他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他对对数方法。

第六到十二章

1、微积分解决问题的思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确。

关于微积分，牛顿和莱布尼茨的工作各有什么缺陷？

（1）牛顿回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。

（2）莱布尼茨看不清楚怎样从一组矩形得到曲线下的面积。

2、概率论的产生和发展的阶段。

概率率论的发生与发展过程大致可分为四个阶段：

方法积累、理论概括、系统整理和公理体系的完成。

（1）概率论起源于对赌博问题的研究，帕斯卡和费马二人他们在估计赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比。

他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等基本概念的雏形，并得到了相应的性质和计算方法，《关于赌博中的推断》一书，公认的有关或然数学的奠基之作。

（2）由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用，概率论随之进入了一个崭新的阶段，雅格布．伯努利出版《推想的艺术》他的工作使得建立在经验分析基础上的频率稳定性的轨迹理论化，概率论也从由对特殊问题的求解发展为对一般理论的概括阶段。

（3）到了19世纪初，概率论的研究开始朝系统化方向发展，其中贡献较大的数学家有：

法国的拉普拉斯、泊松、德国的高斯，俄国的契比雪夫、马尔科夫等。

（4）1917年，前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系，1933年，科尔莫哥洛夫以其莫斯科学派所擅长的实变函数论和测度论为基础，又给出了概率论的一个公理体系。

2、非欧几何、群论、和集合论的出现，是19世纪数学的三大革命。

3、巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”。

4、诺特开始走上自己独立创建的“抽象代数学”的道路。

在这一年，她引入了“左模、右模”的概念，在公理化的基础上建立了一般的理想论，成为交换代数发展的里程碑。

5、1874年，高斯的学生李斯廷发表了《拓扑学初步》首先引用了拓扑学这一术语，这是第一本拓扑学的著作。

6、应用数学

（1）运筹学

（2）控制论，该学科的创始人是美国数学家维纳。

（3）密码学，莫尔斯发明了有线电报，对保密的迫切需要，推动了密码学的研究。

（4）模糊数学美国加利福尼亚大学的控制论专家L．A查德创立了一门新的学科——模糊数学。

（5）计算机与计算数学《方法论》

1、数学方法论主要研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。

2、在欧氏空间概念的基础上逐步引出内积空间、距离空间、拓扑空间等概念，所运用的抽象方法是弱抽象。

3、根据波利亚的《怎样解题》，整个解题过程有几个怎样的步骤？

（1）你必须弄清问题。

（2）找出已知数与未知数之间的联系，如果找不到直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。

（3）实行你的计划。

（4）演算所得到的解。