泛函分析总结.docx
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泛函分析总结
泛函分析总结
泛函分析知识点小结及应用
第七章度量空间
§1度量空间的进一步例子
一度量空间的定义
设X是任一非空集合,若对于-x,y.X,都有唯一确定的实数
dx,y与之对应,且满足
1.非负性:
dx,y_0,dx,y=0=x=y;
2.对称性:
d(x,y)=d(y,x);
3.三角不等式:
对-x,y,z•工,都有dx,y (乂,d)为度量空间,工中的元素称为点。 欧氏空间Rn对Rn中任意两点x=ex? ,…,Xn和y=yi,y2,…,yn,规定距离为 1 d(x,y)=£%—yi2 ki=1丿 ca,bi空间ca,b]表示闭区间a,bi上实值(或复值)连续函数的 全体.对ca,b1中任意两点 x<(t)-y(t). rm oO' lp(1乞p<+立)空间记lph X=°k匕 z Xk p <0> k=1 J x,y,定义d(x,y)=鹦耳 d(x,y)=送Xi—% 2 i 设x=%a,y=M二j,定义 二度量空间的进一步例子 例1序列空间S 令S表示实数列(或复数列)的全体,对-X二: 匚,y二;、y匸, 风-yk 1Xk-yk 例2有界函数空间BA 设A是一个给定的集合,令BA表示A上有界实值(或复值)函数的全 体.-x,yBA,定义dx,y=supxt-yt. teA 例3可测函数空间MX 设MX为X上实值(或复值)的可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若mX: : : : : 对任意两个可测函数ft及gt,由于 fft)-g(tj 诃W1,故不等式左边为X上可积函数■令 §2度量空间中的极限 设"xn二是X,d中点列,若-x■X,s.t. limdxn,x=0 n» 则称\n和是收敛点列,x是点列*鳥的极限. 收敛点列的极限是唯一的.若设Xn既牧敛于x又收敛y,则因为 0-dx,y-dx,xn'dy,xn>0n「: ,而有dx,y=0.所以 x=y. 注()式换一个表达方式: limdxn,x=dlimxn,x.即当点列 0苇样nyfj 极限存在时,距离运算与极限运算可以换序.更一般地有 距离dx,y是x和y的连续函数. 证明dx,y_dx,xo+dx°,yo+dy°,y= dx,y-dxo,yo dxo,yo-dx°,x+dx,y+dy,y°-■dx°,yo-dx,y _dx,xo+dyo,y.所以|dx,y-dx°,y°|—dx,x°+dy°,y 具体空间中点列收敛的具体意义: 1.欧氏空间RnXm=x「,X2m,…,Xnm,m=1,2,…,为Rn中的点列,X=Xi,X2,,Xn-Rn, dXm,x=: jX! -X! x2_X2Xn-Xn.Xm“X (mt临)二对每个1兰i兰n,有xjm匚Xj(mt比). 2.Ca,b1设乂魚Ca,b1,xCa,b】,贝U dXn,X=maXXnt-Xt>0n•': : =火‘心在1一致收敛于 X. 3.序列空间S设Xm=/,「「,「,…,m=1,2,,及X=! 「2,…「n,…分别是S中的点列及点,贝U -1|缎)7| d(Xm,^^——TO(mTd)uXm依坐标收敛于X. “21平• 4.可测函数空间MX设CfnMX,fMX,则 因dfn, fn(t)一f(t) II Vfnt-ft §3度量空间中的稠密集可分空间 定义设X是度量空间,N和M是X的两个子集,令M表示M的闭包,若NM,则称集M在集N中稠密,当N=X时,称M为X的一个稠密子集•若X有一个可数的稠密子集,则称X是可分空间. 例1n维欧氏空间Rn是可分空间.事实上,坐标为有理数的点的全体是Rn的可数稠密子集. 例2离散距离空间X可分二X是可数集. 例3I: : 是不可分空间. §4连续映照 定义设X=X,d,Y=Y,d是两个度量空间,T是X到Y中的 T〜 映射: X=X,d>Y=Y,d.X。 X,若-;0,: 0,s.t. -x•X且dx,x。 : : : : ,都有〜Tx,Tx0: : : ;,则称T在X。 连续: 定理1设T是度量空间X,d到度量空间Y,〜中的映射: T X,d: rY,d,则T在xo连续=当xn>xo时,必有TXn>Txo. 定理2度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映射=任意开集MY,T’M是X中的开集. 定理2度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映照=任 意闭集MY,TJM是X中的闭集. §5柯西点列和完备度量空间 定义1设X=(X,d)是度量空间,2爲是X中的点列.若 V名>0,三N=N(e卢N,s.t.当m,naN时,有d(xn,xme,则称 汶n: 需是X中的柯西点列或基本点列•若度量空间(X,d)中每个柯西点列都收敛,则称(X,d)是完备的度量空间. 在一般空间中,柯西点列不一定收敛,如点列1,1.4,1,41,1.412, 在R1中收敛于2,在有理数集中不收敛. 但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列. 定理1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间=M是X中的闭子空间. 常见例子: (1)C(收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间 (2)ca,b1是完备的度量空间 (3)pa,b】(实系数多项式全体)是不完备的度量空间 §6度量空间的完备化 定义1设(X,d),(只,~)是两个度量空间,若存在X到久上的 保距映射T(-X1,X2•X,有d(TX1,TX2)=d(x「x? )),则称(X,d) 和(乂,~)等距同构,此时称T为X到文上的等距同构映照。 等距同构映照是1-1映射.因设-x1,x^X,且x^x2,则因 d(X1,X2)0及d(TX1,TX2)=d(X1,X2)0,知Tx^TX2. 定理1(度量空间的完备化定理)设X=(X,d)是度量空间,那么一定存在一完备度量空间文=(文,~),使X与乂的其个稠密子空间W等 距同构,并且文在等距同构意义下是唯一的,即若(X,d? )也是一完备 度量空间,且X与X的其个稠密子空间w等距同构,则(只,3)与 (X,(? )等距同构. §7压缩映照原理及其应用 定义设X是度量空间,T是X到X中的压映照,若存在一个数: •: 0: : : : 1,s.t.-x、yX,成立 dTx,Ty乞: dx,y 则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照). 定理1.(压缩映射定理)设X是完备度量空间,T是X上的压缩映照,则T有且只有一个不动点(即方程Tx=x有且只有一个解). 补充定义: 若TX=X,则称X是T的不动点,即X是T的不动点二X是方程TX=X的解。 定理2.设函数fx,y在带状域a一x一b,-二: : : y: : : ■二中处处连续,且处处有关于y的偏导数fyx,y,若存在常数m和M,满足m: : M,0m fx,「x三0,la,bl §8赋范线性空间和Banach空间 线性空间+范数=线性赋范空间线性赋范空间+完备性=巴拿赫空间定义1设X是任一非空集合,若K是一个数域(R或C),如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭,且-x,y,zX,■,…LK,满足: 1) (加法交换律) (加法结合律) (零元素存在性) (逆元存在性) x+y=y+x 2)(x+y)+z+x+(x+y) 3)X,使x+=x 4)3x'X,使x+x'=8 称X为线性空间或 则称x+y为x与y的和,■x为数■与x的数乘,向量空间(实或复),X中的元素称为向量。 定义(范数,赋范线性空间)设X为是实 (或复)数域F的线性空间,若对*X,存 在一个实数x于之对应,且满足下列条件: ⑵|ax|=|c(|||x||,弋F;(正齐(次) 性) ⑶Xy|.|xy,x,yx;(三角不等 式) 则称x为x的范数(norm),称(X,•)(或: X)为赋范线性空间 定义完备的赋范线性空间称为巴拿赫(Banach)空间。 例子: C[a,b],空间|p,n维Euclidean空间Rn,L[a,b], 都是Banach空间。 度量空间与赋范线性空间区别: 度量空间是定义了度量的线性空间,也就是两个元素之间的长度”满足非负性、对称性、三角不等式。 赋范线性空间就是定义了范数的线性空间,其满足范数公理(非负性,齐次性,三角不等式) 联系: 都是在线性空间的前提下讨论的。 赋范线性空间是一种特殊的度量空间
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