高考数学解答题假期专题训练.docx
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高考数学解答题假期专题训练
数列
1.已知n∈N*,数列{dn}满足dn=
,数列{an}满足an=d1+d2+d3+……+d2n;数列{bn}为公比大于1的等比数列,且b2,b4为方程x2-20x+64=0的两个不相等的实根.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)将数列{bn}中的第a1项,第a2项,第a3项,……,第an项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前2015项和.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(1)求an,bn;
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
3.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9.
(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
(n∈N*),求证:
cn+1<cn≤
.
4.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a5和a7的等差中项为11,且a2·a5=a1·a14,令bn=
,数列{bn}的前n项和为Tn.
(1)求an及Tn;
(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?
若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.
三角函数及解三角形
1.已知向量m=(sinx,1),n=
(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象左平移
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在
上的值域.
2.已知函数f(x)=sin
+2cos2x-1.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且a=1,b+c=2,f(A)=
,求△ABC的面积.
3.已知函数f(x)=cosx(sinx-
cosx)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f
=-
,a=3,b+c=2
,求△ABC的面积.
4.已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,acosC+
csinA-b-c=0.
(1)求角A的值;
(2)若a=
,求
S+
cosBcosC取最大值时S的值.
概率统计
1.甲,乙,丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲,乙,丙三人各有优势,甲,乙,丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.
(1)求甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料的概率;
(2)求甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率.
2.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数,求ξ的分布列及其数学期望.
3.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第一名至第五名的名次,比赛之后甲、乙两位参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”,对乙说“你当然不会是最差的”.
(1)从上述回答分析,5人的名次排列可能有多少种不同的情况;
(2)比赛组委会规定,第一名获奖金1000元,第二名获奖金800元,第三名获奖金600元,第四及第五名没有奖金.求丙获奖金数的期望.
4.学校设计了一个实验学科的考查方案:
考生从6道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:
在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为
,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;
(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?
.
立体几何
1.如图,在四棱锥E-ABCD中,EA⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=BC=
AB,∠ABC=
.
(1)求证:
△BCE为直角三角形;
(2)若AE=AB,求CE与平面ADE所成角的正弦值.
2.平行四边形ABCD中,AB=1,AD=
,且∠BAD=45°,以BD为折线,把△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC.
(1)求证:
AB⊥DC;
(2)求二面角B-AC-D的大小.
3.如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,且AD=DE=2BF=2.
(1)求证:
AC⊥EF;
(2)求二面角C-EF-D的大小;
(3)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG∥平面CEF,并证明你的结论.
4.如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2.
(1)若点E为AB的中点,求证:
BD1∥平面A1DE;
(2)在线段AB上是否存在点E,使二面角D1-EC-D的大小为
?
若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
圆锥曲线
1.如图,已知点A(1,
)是离心率为
的椭圆C:
+
=1(a>b>0)上的一点,斜率为
的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:
直线AB、AD的斜率之和为定值.
2.椭圆M:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点P
.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上,l1与椭圆M交于A,C两点,l2与椭圆M交于B,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD面积的最小值.
3.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且
=2
.
(1)求椭圆方程;
(2)求m的取值范围.
4.已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程;
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D,当点A在以线段CD为直径的圆上时,求直线BC的方程.
函数与导数
1.设f(x)=ex(ax2+x+1).
(1)若a>0,讨论f(x)的单调性;
(2)x=1时,f(x)有极值,证明:
当θ∈
时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.
2.已知m∈R,f(x)=2x3+3x2+6(m-m2)x.
(1)当m=1时,求f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若m∈[
,2]且关于x的不等式(m-1)2(1-4m)≤f(x)≤20在区间[k,0]上恒成立,求k的最小值k(m).
3.已知函数f(x)=
-ax,
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a(a>0成立),求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)=kex-x2(其中k∈R,e是自然对数的底数.
(1)若k<0,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)若k=2,当x∈(0,+∞)时,试比较f(x)与2的大小;
(3)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求k的取值范围,并证明0<f(x1)<1.
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