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文献探讨
第二章文獻探討
本章共分三節就兒童分數學習的主題提出探討,同時對於本研究之研究對象-92學年度三年級學生及93學年度三年級學生使用的數學教科書中二、三年級分數教材安排進行分析,各節內容分別為:
第一節探討分數意義與兒童分數概念的相關研究;第二節分析三年級教科書分數概念教材之安排;第三節探討問題情境與單位量的概念。
第一節分數意義與分數概念的相關研究
壹、分數的重要性
在國小數學課程中,數的教材分為整數、分數、小數三類,其中分數與小數概念均由整數概念延伸而來,最近電算器的使用普及,測量上亦大多採用十進結構的公制系統,在紀錄、在生活上的應用小數似乎都比分數更為廣泛,因而,常有人質疑分數教材學習的必要性。
分數的教材在數字概念與解題上到底有何重要性?
以下從分數的發展到有理數概念及代數的數學知識等不同層面加以分析:
1.從數概念發展來看,數是以點數物件之整數(1,2,3…)為基礎,當用整數已無法描述一物件或情境時,不同於整數的數概念─分數、小數、有理數、無理數、實數、虛數等數概念逐漸於數系中產生,就抽象數系而言,分數在數系中始終占有非常重要的部份(李端明,民86)。
分數的概念和小數、比、比例(ratio)、機率(probability)、百分率(percent)等數學概念有密切的關係,自從數系中發現了無理數之後,為了與其他數有所區別,以p/q(p,q皆為整數,q≠0)形式出現的分數從此亦被稱有理數,兒童需具備基本的分數概念後,才能進一步發展有理數概念。
分數是基本代數運算的基礎,早期的分數概念不完備,在代數的學習就會產生困難(Behr,Harel,Lesh&Post,1992;Behr&Post,1988)。
2.就生活情境而言,在日常生活中除了以自然數之單位可度量或計數之量外,更有許多自然數無法計數的量,面臨要度量一個與基準單位量不相等或被切割出來的量時,就必須產生自然數以外的計數單位,將原用來計數之基準單位量等分割成更小的單位量,以測量用非自然數之單位可度量或計數之量。
以p/q(p,q皆為整數,q≠0)形式呈現的「分數」,就是非自然數表徵系統其中的一種(呂玉琴,民84;劉秋木,民89)。
分數用以表徵非整數的物件或情境,其概念的有效處理,可以增進學童了解及掌握真實世界問題的能力(楊瑞智,民89)。
3.就兒童心理發展而言,分數被用來解決不滿一個單位量的數值問題、度量自然數無法計數的量,在不同的生活情境及應用上,許多分析分數意義的研究中就指出依其不同之情境應用,分數則具有其多重的意義。
它可以是兩個量之間的關係,亦可看成是一個單位或是一個數值(呂玉琴,民80b;李端明,民86;Behretal.,1988;Kerslake,1986)。
分數之多重及抽象化意義提供發展兒童智力及擴展心智結構,分數概念之完備,有助兒童建構基礎科學知識(楊瑞智,民89)。
根據以上的分析可以了解,在國小階段分數的學習,有其必要性而且是非常重要的。
貳、分數的意義
國內外許多學者分析分數在不同問題情境中認知意義的研究,都主張分數具有多重的意義(楊瑞智,民89;Behr,Lesh,Post&Silver,1983;Behretal.,1992;Kieren,1976,1980,1988;Ohlsson,1988),在國小階段並沒有將全部的分數意義納入數學教材中,但依教育部頒布的九年一貫數學領域課程綱要(教育部,民92)之規定,在國小階段分數的意義仍是不少,國小階段分數有以下幾種意義:
一、部份/全部(連續量):
在「整體1(單位量)是連續量」的問題情境中,將一個整體等分後,以分數來表示N個子分割單位的部分量和整體量之間關係,是「部份/全部」的分數意義。
數學領域課程綱要的分段能力指標,將「部份/全部」意義的引入列在第一階段(1~3年級)。
二、子集合/集合(離散量):
在「整體1(單位量)是離散量」的問題情境中,由一個以上的物體所組成的整體中,以分數來表示N個物體合起來的部分量和整體量之間關係,是「子集合/集合」的分數意義。
數學領域課程綱要的分段能力指標,亦安排在第一階段(1~3年級)時引入「子集合/集合」意義。
三、等值分數:
在存在一個整體中,等值分數用來表示不論在連續量或離散量情境中,兩個量的「部分-整體」相對關係不變。
數學領域課程綱要的能力指標中,將「等值分數」意義安排在第二階段(4~5年級)引入。
四、分數是一個數/數線上的一點:
在數學領域課程綱要第二階段,將簡單的整數數線,延伸至分數數線,分數的意義擴展為數線上的一個點。
位於數線上這個點的分數數值所表示的是當原點與單位長確定之後,這個點與原點和單位長與原點形成的相對關係。
五、整數除法的結果:
當兩數相除無法用整數除盡時,其相除的結果用分數來表示,例如3÷9=3/9,此時分數意義是整數除法的結果。
六、平均(含速率):
用分數來表示兩種度量單位以其中一種為基準量相比較的結果,例如:
速率是長度和時間比較的結果。
七、比例中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量:
當兩個集合或兩個度量相比的結果、比例尺的表示及比值用p/q來表示時,分數的意義是兩量比較的結果。
其中整數除法的結果、平均(含速率)、比/比例尺/比值的意義,均被安排在數學領域課程綱要分段能力指標中第三階段(6年級)引入。
由以上之分析可以發現,「部份/全部」、「子集合/集合」二種意義是國小教材中最先出現的分數意義,國小分數概念的了解是影響未來學習數學的重要關卡,但是由於在國小階段分數就已有多種複雜的意義,顯見其學習的困難度,學生在分數概念的學習上有諸多的困難(呂玉琴,民80b)。
分數雖然在不同問題情境中的意義不同,但從分析中可以發現國小階段的分數都可以看到兩量關係,各種意義中都存在有「基準單位量」,因此,在分數啟蒙教學階段「部分-整體」關係的意義中,若未能建立良好的「單位量」概念,學童在其他分數意義的「基準單位量」發展也會因此產生困難。
參、分數概念的相關研究
過去分數概念的研究多引用國外文獻,在國內學者對分數教材之學習逐漸重視下,近年探討分數概念的學習的文獻逐漸豐富,國內外文獻的豐富更能了解台灣地區學童的分數概念問題,因此,研究群將國內外各相關研究整理如下:
研究主題:
探討國小低年級學童分數概念的整體表現,以及在等分概念、單位量概念、簡單分數、等量概念…等,分數子概念的表現。
研究者:
吳宏毅(民90)
研究對象:
1、2年級
研究方法:
紙筆測驗、個別訪談
研究結果:
一年級學童具備一半的概念,二年級學童以1/2取代一半後,一半的概念反而模糊;低年級學童在等分的表現偶數比奇數的好、判斷公平的表現比平分好;國字的分數名稱比分數符號容易讓學童接受;連續量情境比離散量情境容易混淆單位量和部分量的單位詞;以全部內容物為單位量,二年級的表現比一年級好。
研究主題:
探討國小低年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量三個子概念的表現,及學童在分數概念連結的表現。
研究者:
陳瑞發(民91)
研究對象:
1、2年級
研究方法:
問卷調查法
研究結果:
低年級學童在連續量等分問題的表現較離散量問題為佳;部分二年級學童在處理簡單分數問題時,離散量情境問題易受分數符號中分子或分母的影響發生錯誤;低年級學童會有忽略單位量的錯誤情形;部分學童傾向自行假設單位量進行解題。
研究主題:
國小二年級兒童分數概念之研究。
研究者:
李曉莉(民87)
研究對象:
2年級
研究方法:
個案晤談
研究結果:
二年級學童在處理離散量及連續量的分割問題採用的策略不同。
在連續量情境中用來描述單位量、單位分量的分數詞,會有單位詞混淆的情形。
研究主題:
探討學生在正式學習分數之前的先備知識,並進行分數啟蒙的教學。
研究者:
林福來、黃敏晃、呂玉琴(民85b)
研究對象:
2年級
研究方法:
個案晤談、教學實驗
研究結果:
研究得知90%以上學生已具備的先備知識包括:
數數;將偶數個離散物二等份;使用一半、公平、平分等語詞的生活經驗。
實驗結果約90%的學生能操作連續量實物的二、三、四等分與離散量實物的二、三、四、五等分;能以二分之一、四分之一描述連續量分配的結果,奇數個物用二分之一表達仍有困難。
研究主題:
探討台灣北部地區國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等量及等值分數等子概念的表現情形。
研究者:
游政雄(民90)
研究對象:
3、4年級
研究方法:
紙筆測驗、個別訪談
研究結果:
學童普遍運用整數知識來處理分數問題,將分子、分母視為獨立的二個數;判斷是否等分問題時,只注意到被分割數量,忽略分割後的每一塊是否相等;連續量情境問題出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形;用一半的語言敘述問題比二分之一符號簡單;面對餘量再分的問題時會自行增加或減少內容物。
研究主題:
探討國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等值分數概念的表現及直觀規律的運用,最後分析犯錯誤類型的學童在分數概念的表現。
研究者:
黃靖瑩(民91)
研究對象:
3、4年級
研究方法:
問卷調查法
研究結果:
學童處理一半問題優於等分問題,解自行等分問題優於判斷問題,判斷是否等分問題連續量情境表現優於離散量、直接敘述平分問題表現優於分數符號問題。
解單位分數問題表現優於解真分數問題。
用一半的語言敘述問題表現優於用二分之一符號。
習慣用全部內容物當單位量,面對餘量再分問題時會自行增減內容物改變單位量。
研究主題:
由分數詞的評量探討國小學生分數概念的發展上的差異。
研究者:
張日齊(民91)
研究對象:
3至6年級
研究方法:
紙筆測驗
研究結果:
三年級學生分數概念發展在起始單位分數階段。
四年級的分數概念發展已達到加法性分數概念。
五年級的分數概念以加法性分數概念為主,在概念的發展上,未超越四年級進入下一個階段,顯示由加法性分數發展至巢狀分數需較長的時間。
研究主題:
探討三至六年級的兒童其分數部分的發展情形。
研究者:
林大錦(民91)
研究對象:
3至6年級
研究方法:
紙筆測驗、個別訪談
研究結論:
三年級兒童的分數發展起於並置類型的活動,並獲得加法性分數活動的經驗。
四年級兒童的分數發展已察覺加法性分數的活動,獲得巢狀分數的初步經驗。
五年級兒童的分數發展是以巢狀分數活動為基礎,初步經驗有理數的共測單位分數。
六年級起於察覺巢狀分數活動,並獲得共測單位分數活動經驗。
研究主題:
研究學生對於自然數的運思方式,探究其可能在分數概念上的應用。
研究者:
Saenz-Ludiow(1994)
研究對象:
3年級
研究方法:
個別晤談、教學實驗
研究結果:
兒童若以自然數運思的方式,且具有彈性的單位化概念,則能成功的解決分數問題。
而單位化概念的發展順序分成整數的複合單位、測量的部分整體基模-連續量情境、測量的部分整體基模-離散量情境、多重等分的協調及部分等分的協調基模。
研究主題:
探討學生以非正式知識建立分數意義時,先前整數意義的影響。
研究者:
Mack(1995)
研究對象:
3、4年級
研究方法:
個別教學實驗
研究結果:
學生建構分數符號表徵意義時,常會受整數符號的過分概括,也常將分數符號意義過分概括至整數。
具有分數的非正式知識,但與分數符號知識無法連結。
整體而言分數概念研究有以下之發現:
一、學生運用整數知識來處理分數問題,將分子、分母視為獨立的二個數,比較分數大小時會直接將分子和分母分開來比。
二、學童在判斷是否等分問題時,只注意到被分割數,忽略分割後的每一塊是否相等。
三、面對餘量再分問題時,學童會自行增加或減少內容物。
四、學童單位量概念的錯誤類型包括:
未注意單位量不一定相等、將總量視為單位量、受題目訊息的影響、單位量錯誤或改變單位量。
肆、分數詞意義的概念發展
在討論學生的分數概念時,分割(partitioning)活動是被認為是分數概念學習的基礎及理解分數意義的關鍵(Behr,etal.,1983﹔Hunting,1996;Kieren,1976,19
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