课时作业47直线平面平行的判定及其性质.docx
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课时作业47直线平面平行的判定及其性质
课时作业47 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面
解析:
充分性:
A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
答案:
D
2.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
解析:
l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等;l与α斜交时,也只能有两个点到α距离相等.故选D.
答案:
D
3.已知不重合的两条直线l,m和不重合的两个平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥m,l∥β,则m∥β
B.α∩β=m,l⊂α,则l∥β
C.α⊥β,l⊥α,则l∥β
D.l⊥m,m⊥β,l⊥α,则α⊥β
解析:
对于选项A,m可能在β内,故A错;对于选项B,l可能与β相交,故B错;对于选项C,l可能在β内,故C错,所以选D.
答案:
D
4.已知l、m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l∥α,m∥α,则l∥m
B.若l⊥m,m∥α,则l⊥α
C.若l⊥m,m⊥α,则l∥α
D.若l∥α,m⊥α,则l⊥m
解析:
A选项,l与m可能平行,异面或相交,A错;B选项,l与α可能平行,相交或l在α内,B错;C选项,l有可能在α内,C错,故选D.
答案:
D
5.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.
其中正确的命题是( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析:
由面面垂直的判定定理得①正确,若m∥n时,α,β有可能相交,所以②错误.对③来说,n可能与α平行,则③错.α∩β=m,∴m⊂α,m⊂β,n⊄α,n∥m,则n∥α,同理n∥β,选D.
答案:
D
6.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.有无数条
B.有2条
C.有1条
D.不存在
解析:
因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1,所以两平面有一条过D1的交线l,在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行,这样的直线有无数条.
答案:
A
二、填空题
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
解析:
如图,连接AC,BD交于O点,连接OE,因为OE∥BD1,而OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.
答案:
平行
8.α、β、γ是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上).
解析:
①中,a∥γ,a⊂β,b⊂β,β∩γ=b⇒a∥b(线面平行的性质).③中,b∥β,b⊂γ,a⊂γ,β∩γ=a⇒a∥b(线面平行的性质).
答案:
①③
9.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.
解析:
假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
答案:
Q为CC1的中点
三、解答题
10.如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=
AB=1,M是PB的中点.
(1)求证:
AM=CM;
(2)若N是PC的中点,求证:
DN∥平面AMC.
证明:
(1)∵在直角梯形ABCD中,AD=DC=
AB=1,
∴AC=
,BC=
,
∴BC⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥PA,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC.
在Rt△PAB中,M为PB的中点,则AM=
PB,
在Rt△PBC中,M为PB的中点,则CM=
PB,
∴AM=CM.
(2)如图,连接DB交AC于点F,
∵DC綊
AB,∴DF=
FB.
取PM的中点G,连接DG,FM,则DG∥FM,
∴又DG⊄平面AMC,FM⊂平面AMC,
∴DG∥平面AMC.
连接GN,则GN∥MC,GN⊄平面AMC,MC⊂平面AMC.
∴GN∥平面AMC,又GN∩DG=G,
∴平面DNG∥平面AMC,
又DN⊂平面DNG,
∴DN∥平面AMC.
11.如右图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.
(1)求证:
AC⊥平面BDEF;
(2)求证:
平面BDGH∥平面AEF.
解:
(1)因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面BDEF.
(2)在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GH∥EF,
又因为GH⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,
在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,
又因为OH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H,OH,GH⊂平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
1.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.②③
C.①④D.②④
解析:
对于图形①:
平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP,对于图形④:
AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP,图形②,③都不可以,故选C.
答案:
C
2.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
解析:
如图,连接FH,HN,FN,
由题意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1.
且HN∩FH=H,
∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.
答案:
M∈线段HF
3.如图1,已知⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为弧BC的中点,将⊙O沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(1)求证:
OF∥AC;
(2)在弧BD上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?
若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.
解:
解法1:
(1)证明:
如右图,连接CO,
∵∠CAB=45°,∴CO⊥AB,
又∵F为弧BC的中点,∴∠FOB=45°,∴OF∥AC.
(2)取弧BD的中点G,连接OG,FG,
则∠BOG=∠BAD=60°,故OG∥AD
由
(1)OF∥AC,知OF∥平面ACD,故平面OFG∥平面ACD,则FG∥平面ACD,因此,在弧BD上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为弧BD的中点.
解法2:
证明:
(1)如下图,以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系O—xyz,则A(0,-2,0),C(0,0,2)
=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),
∵点F为弧BC的中点,∴点F的坐标为(0,
,
),
=(0,
,
),
∴
=
,即OF∥AC.
(2)设在弧BD上存在点G,使得FG∥平面ACD,
由
(1)OF∥AC,知OF∥平面ACD,∴平面OFG∥平面ACD,则有OG∥AD.
设
=λ
(λ>0),∵
=(
,1,0),∴
=(3λ,λ,0).又∵|
|=2,∴
=2,解得λ=±1(舍去-1),∴
=(
,1,0),则G为弧BD的中点.
因此,在弧BD上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为弧BD的中点.
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- 课时 作业 47 直线 平面 平行 判定 及其 性质