2.填充题(本题满分18分,每小题6分)
⑴在△ABC中,sinA=35,cosB=513,那么cosC的值等于.
解:
cosA=±45,sinB=1213,但若cosA=-45,则A>135°,cosB=51360°,矛盾.故cosA=45.
∴cosC=cos(π-A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=-513?
45+35?
1213=1665.
⑵三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有个.
解:
设另两边为x,y,且x≤y.则得x≤y≤11,x+y>11,在直角坐标系内作直线y=x,y=11,x=11,x+y=11,则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数.(含y=11,y=x上的整点,不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个.即填36.
⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数mn,那么积m?
n是.
解:
此六面体可看成是由两个正四面体粘成.每个正四面体的高h1=63a,于是,利用体积可得Sh1=3Sr1,r1=69a.
同样,正八面体可看成两个四棱锥粘成,每个四棱锥的高h2=22a,又可得a2h2=4×34a2r2,r2=66a.
∴r1r2=23,∴m?
n=6.
第二试
1.(本题满分8分)求证:
arcsinx+arccosx=π2,其中x∈[-1,1]
证明:
由于x∈[-1,1],故arcsinx与arccosx有意义,
sin(π2-arccosx)=cos(arccosx)=x,由于arccosx∈[0,π],∴π2-arccosx∈[-π2,π2].
故根据反正弦定义,有arcsinx=π2-arccosx.故证.
2.(本题满分16分)函数f(x)在[0,1]上有定义,f(0)=f
(1).如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:
|f(x1)-f(x2)|<12.
证明:
不妨取0≤x11-x2|≤12,则必有|f(x1)-f(x2)|<|x?
1-x2|<12.
若|x?
1-x2|>12,则x2-x1>12,于是1-(x2-x1)<12,即1-x2+x1-0<12.
而|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)-f
(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f
(1)-f(x2)|<|x1-0|+|1-x2|
=1-x2+x1-0<12.故证.
3.(本题满分16分)在四边形ABCD中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1,点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD,并且B、M、N三点共线.求证:
M与N分别是AC与CD的中点.
证明设AC、BD交于点E.由AM∶AC=CN∶CD,故AM∶MC=CN∶ND,令CN∶ND=r(r>0),则AM∶MC=r.
由SABD=3SABC,SBCD=4SABC,即SABD∶SBCD=3∶4.
从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7.
SACD∶SABC=6∶1,故DE∶EB=6∶1,∴DB∶BE=7∶1.
AM∶AC=r∶(r+1),即AM=rr+1AC,AE=37AC,
∴EM=(rr+1-37)AC=4r-37(r+1)AC.MC=1r+1AC,
∴EM∶MC=4r-37.由Menelaus定理,知CNND?
DBBE?
EMMC=1,代入得
r?
7?
4r-37=1,即4r2-3r-1=0,这个方程有惟一的正根r=1.故CN∶ND=1,就是N为CN中点,M为AC中点.
4.(本题满分16分)在在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大体积是多少?
证明你的结论.
解:
边长为2的三角形,其余两边可能是:
⑴3,3;⑵3,4;⑶4,5;⑷5,5.
按这几条棱的组合情况,以2为公共棱的两个侧面可能是:
①⑴,⑷;②⑴,⑶;③⑵,⑷.
先考虑较特殊的情况①:
由于32+42=52,即图中AD⊥平面BCD,
∴V1=13?
12?
232-12?
4=832;
情况②:
由于此情况的底面与情况②相同,但AC不与底垂直,故高<4,于是得V2情况③:
高<2,底面积=12?
532-(52)2=5411.
∴V3<13?
5411=5611<832.
∴最大体积为832.
5.(本题满分18分)函数
F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B|
在0≤x≤32π上的最大值M与参数A、B有关,问A、B取什么值时,M为最小?
证明你的结论.
解:
F(x)=|2sin(2x+?
4)+Ax+B|.取g(x)=2sin(2x+?
4),则g(?
8)=g(9?
8)=2.g(5?
8)=-2.
取h(x)=Ax+B,若A=0,B≠0,则当B>0时,F(?
8)>2,当B<0时,F(5?
8)<2.从而M>2.
若A≠0,则当h(5?
8)<0时,F(5?
8)>2,当h(5?
8)≥0时,由于h(x)是一次函数,当A>0时h(x)递增,h(9?
8)>h(5?
8)>0,此时F(9?
8)>2;当A<0时h(x)递减,h(?
8)>h(5?
8)>0,此时F(?
8)>2.故此时M>2.
若A=B=0,显然有M=2.
从而M的最小值为2,这个最小值在A=B=0时取得.