概率论与数理统计教案课程性质数学研究内容概率论研究随机.docx
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概率论与数理统计教案课程性质数学研究内容概率论研究随机
概率论与数理统计教案
一、课程性质
数学
研究内容:
概率论研究随机现象的数量规律,数理统计以概率论为基础,研究如何有效收集、整理和分析随机性的数据。
二、学科构成
基础部分---概率论:
古典概率、随机变量及其分布、分布函数、数字特征等
应用部分---数理统计:
统计量构造、参数估计、假设检验、回归分析等
三、应用
广泛地应用于工农业、军事、科技、经济等领域,例如:
气象预报、产品验收、可靠性研究等等。
与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。
例如:
信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、数量经济等。
第一章概率论的基本概念
§1样本空间、随机事件、概率的定义和性质
一、基本概念
1、随机现象:
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。
例如抛硬币可能出现正面,也可能反面。
注:
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性。
2、随机试验:
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验..可以在相同的条件下重复地进行;每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
3、样本空间:
称随机试验所有可能的结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即随机试验的每一个结果,称为样本点.
例1、抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
4、随机事件:
样本空间Ω的子集成为随机事件,一般以大写字母表示。
特别的,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。
上例中,分别表示结果为“一点”至“六点”,都是基本事件。
,表示结果为“偶数点”,非基本事件。
注:
Ω—必然事件。
--不可能事件
二、事件的关系及运算
关系
1.包含关系:
“发生必导致发生”记为
且
2.和事件:
表示与事件至少发生一个。
3.积事件:
表示与事件同时发生。
4.互斥事件:
若事件的出现必然导致事件不出现,出现也必然导致不出现,则称事件与互不相容或互斥,即
5、对立事件:
称为的对立事件或者逆事件,记作
注:
,反之不然
6、差事件:
由事件出现而事件不出现所组成的事件称为事件与的差.记作
II.运算(与集合运算法则相同)
(1)交换律
(2)结合律,
(4)德.摩根律
例2、设为三个随机事件,用运算关系表示下列各事件
(1)发生,而不发生---
(2)都发生,而不发生---
(3)至少一个发生---
(4)不多于一个发生---
(5)至少两个发生---或者
三、概率的定义
1、频率及频率的性质
(1)定义1:
在相同的条件下,重复进行了次试验,若事件发生了次,则称比值为事件在次试验中出现的频率,记为。
(2)频率的性质:
⑴非负性:
对任意,有
⑵规范性:
⑶可加性:
若、互斥,则
(3)频率的稳定性:
在大量的重复试验中,频率常常稳定于某个常数,称为频率的稳定性。
通过大量的实践,我们还容易看到,若随机事件出现的可能性越大,一般来讲,其频率也越大。
由于事件发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系,加之频率又有稳定性,故而可通过频率来定义概率。
2.概率的定义和性质
(1)定义2若对随机试验所对应的样本空间中的每一事件,均赋予一实数,满足条件:
[1]非负性:
对任一事件,有
[2]规范性:
[3]可列可加性:
设是一列两两互不相容的事件,即(ij),
有,则称为事件的概率。
(2)概率的性质
[1]不可能事件概率零:
[2]有限可加性:
设是个两两互不相容的事件,即,,则有
[3]单调不减性:
若事件,则,且
[4]互补性:
且1;
[5]加法公式:
对任意两事件、,有=
公式可推广到任意个事件的情形;
[6]可分性:
对任意两事件、,有
例3设为两事件,且问:
(1)在什么条件下,取最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下,取最小值,最小值是多少?
解:
(1)由概率的单调性故
所以最大值,此时即
(2)由加法公式=P(A)+P(B)-P(AB)得
所以当时,有最小值0.3
§2古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式
一、古典概型、几何概型的基本概念和公式
1、古典概型:
如果随机试验满足:
(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同;则这样的试验模型称为古典概率模型。
古典概型中事件概率的计算公式:
设试验的样本空间由个样本点构成,为的任意一个事件,且包含个样本点,则事件出现的概率记为:
例1、掷一颗均匀骰子,设表示结果为“四点或五点”,表示结果为“偶数点”,
求:
和
解:
由得,
例2、摸球模型(无放回)
设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。
解:
,A所包含基本事件的个数为,基本事件总数为,故。
摸球模型(有放回)
设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中有放回地摸球2次,求第1次摸到黑球,第2次摸到白球的概率.
解:
,A所包含基本事件的个数为,基本事件总数为,故
例3、抽样模型
设有件产品,其中有件次品,今从中随即抽取件,问
(1)在有放回的方式下,
(2)在无放回的方式下,
解:
(1)
(2)
2、几何概型:
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
),这样借助于积几何上的度量来规定的概率模型称为几何概型。
注:
特点基本事件数无限等可能性:
随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比,而与其位置及形状无关。
例4、会面问题
甲、乙两人相约在0到这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间后离去.设每人在0到这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.
解:
两人会面的充要条件为,
若以x,y表示平面上点的坐标,故所求的概率为
则。
例、(会面问题)两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,这时就可离去,试求这两人能会面的概率?
解:
以x,y分别表示两人到达时刻(7点设为零时刻),则会面的充要条件为这是一几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点为图中阴影部分,所求概率
例5、蒲丰投针试验
1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为的针,试求针与某一平行直线相交的概率.
解:
针与该平行直线的夹角,则针落在平面上的位置完全可以由确定,投针试验中的所有点一一对应,事件
,则=
二、条件概率
0、引言
设为任意两个事件,假设事件已发生,前面我们已经研究了,而在实际问题往往需要我们去研究此时发生的概率,为区别起见,我们把这种情况下的概率记为,称为事件已经发生条件下事件发生的条件概率。
引例、考虑有两个孩子的家庭:
,下列事件
A={家中至少有一个男孩},则
B={家中一男一女},则,
={家中一男一女},
若条件改变为:
考虑有两个孩子的家庭,一直其中至少一个男孩(A),再求出现“一男一女”(B)的概率。
分析:
条件改变后样本空间缩小为,此时根据古典概率计算得,从数值上可以得到
1、定义为发生的条件下事件发生的条件概率。
2、条件概率的性质:
例6、某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?
解:
设,,则根据条件概率定义有
,又,,则
例7、
(1)已知5,求
(2)已知求
解:
(1)令,则
,所以
(2)由定义得
再由得出,根据加法公式
例8、甲乙两人独立地对同一目标进行射击,其命中概率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率是多少?
解:
设,,则
=0.8,根据条件概率公式可得
3、乘法公式
;
例9、一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:
第三次才取到正品的概率。
解:
设={第i次取到正品},i=1,2,3。
A={第三次才取到正品}。
则,故
例10、抽签与次序无关
一场精彩的足球赛将要举行,但5个球迷只搞到一张球票,但大家都想去。
没办法,只好用抽签的方法来确定球票的归属,问:
先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗?
后抽的人比先抽的人吃亏吗?
解:
我们用表示“第个人抽到入场券”,=1,2,3,4,5。
则表示“第个人未抽到入场券”,显然,第1个人抽到入场券的概率是1/5,
由于,故,即第2个人抽到入场券的概率是1/5。
同样,,
=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
即第3个人抽到入场券的概率是1/5。
继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答———抽签不必争先恐后。
§3全概率公式、贝叶斯(Bayes)公式、事件的独立性
1、全概率公式
样本空间的划分:
全概率公式
证明:
,
=
注:
可以解释为引起事件的原因。
由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。
全概率公式表达了因果之间的关系。
例1、有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
解:
,
由全概率公式得
,
由已知条件有
例2、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人各自击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。
飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。
解:
设{飞机被击落},{飞机被人击中}
由全概率公式,得
为求,设={飞机被第i人击中}
则
=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
2、贝叶斯(Bayes)公式
,并且
则,
注:
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。
它是在观察到事件已发生的条件下,寻找导致发生的每个原因的概率
证明:
例3、设某地区肝癌发病率为0.0004,现用甲胎蛋白法进行普查,医学研究表明,化验结果是有错误的,已知患肝癌者化验结果99%的为阳性(有病),而非肝癌患者其化验结果99.9%的为阴性(无病)。
现在某人的化验结果为阳性,问他真患肝癌的概率是多少?
解:
设,,
已知:
=0.0004,,=0.99,
由贝叶斯公式
思考
(1)结果为阳性,是否一定就是癌症患者?
答案:
不一定
(2)如何提高检验的精确度?
答案:
可以继续复查阳性人群,对首次检查得阳性的人群中进行复查,此时上述概率应该修正为
这就大大提高此方法的准确率了。
例4、某人做四个选项的单选题,若不会做就乱猜,假设其乱猜和会做的概率都是,试求
(1)答案对了的概率
(2)若已知答案对了,求他是自己会做的概率。
解:
设A={答案对了},B={他自己会做},={他乱猜},
由全概率公式得
3、事件的独立性
定义1两事件独立:
若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称、独立,或称、B相互独立。
例5、从一副不含大小王的扑克牌
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