插值法第二次程序题.docx

插值法第二次程序题.docx

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插值法第二次程序题

插值法

题目1：

对

Runge函数

在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和

R（x）的图像进行比较，并对结果进行分析。

（1）用等距节点

绘出它的20次Newton插值多项式的图像。

（2）用节点

，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。

（3）用等距节点

绘出它的分段线性插值函数的图像。

（4）用等距节点

绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

程序及分析：

（1）用等距节点

绘出它的20次Newton插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

%计算均差

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz

fori=1:

n

y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;

end

N=zeros（n,n）;

N（:

1）=y';

forj=2:

n

fork=j:

n

N（k,j）=（N（k,j-1）-N（k-1,j-1））/（x（k）-x（k-j+1））;

end

end

fort=1:

n

c（t）=N（t,t）

end

%构造插值多项式

f=N（1,1）;

fork=2:

n

a=1;

forr=1:

（k-1）

a=a*（z-x（r））;

end

f=f+N（k,k）*a;

end

%作图

a=[-1:

0.001:

1];

n=length（a）;

fori=1:

n

b（i）=1/（1+25*a（i）*a（i））;

end

fx=subs（f,z,a）;

subplot（2,1,1）;

plot（a,b,'k',a,fx,'r'）;

c=[-0.6:

0.001:

0.6];

n=length（c）;

fori=1:

n

d（i）=1/（1+25*c（i）*c（i））;

end

fx=subs（f,z,c）;

subplot（2,1,2）;

plot（c,d,'k',c,fx,'r'）;

结果与分析：

由下图可以看出，在区间[-0.6,0.6]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。

而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。

即出现了Runge现象。

主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。

其插值余项

不趋近零。

插值多项式不能收敛到被插值函数。

（2）用节点

，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

clear;

%插值点

fori=1:

21

x（i）=cos（（2*（i-1）+1）*pi/42）;

end

n=length（x）;

fori=1:

n

y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;

end

%构造插值基函数

symsz;

temp=1;

fori=1:

n

lx=1;

forj=1:

n

ifi~=j

temp=（z-x（j））/（x（i）-x（j））;

lx=lx*temp;

end

end

l（i）=lx;

end

%插值多项式

l=l';

L=y*l;

%作图

a=[-1:

0.01:

1];

n=length（a）;

fori=1:

n

b（i）=1/（1+25*a（i）*a（i））;

end

fx=subs（L,z,a）;

subplot（2,1,1）;

plot（a,b,'k',a,fx,'xr'）;

结果与分析：

如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。

主要原因是其多项式误差为

。

（3）用等距节点

绘出它的分段线性插值函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz

fori=1:

n

y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;

end

%构造分段线性插值多项式

fori=1:

n-1

l（i）=（z-x（i+1））/（x（i）-x（i+1））*y（i）+（z-x（i））/（x（i+1）-x（i））*y（i+1）

%l（i）=y（i）+（y（i+1）-y（i））/（x（i+1）-x（i））*（z-x（i））

end

%作图

fori=1:

n-1

a=[x（i）:

0.01:

x（i+1）];

f=subs（l（i）,z,a）

plot（a,f,'k'）

holdon

end

结果与分析：

如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。

利用线性插值多项式的误差估计：

（4）用等距节点

绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz;

fori=1:

n

y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;

end

fori=1:

n-1

h（i）=x（i+1）-x（i）;

end

fori=1:

n-2

u（i）=h（i）/（h（i+1）+h（i））;

r（i）=1-u（i）;

end

G=zeros（n,n）;

fori=1:

n

G（i,i）=2;

end

fori=2:

n-1

G（i,i-1）=u（i-1）;

G（i,i+1）=r（i-1）;

end

G（n,n-1）=1;

G（1,2）=1;

d=zeros（1,n）;

fori=2:

n-1

d（i）=6*（（y（i+1）-y（i））/h（i）-（y（i）-y（i-1））/h（i-1））/（h（i）+h（i-1））;

end

symsuv;

u=diff（1/（1+25*v*v）,v）;

a=subs（u,v,x

（1））;

b=subs（u,v,x（n））;

d

（1）=（（y

（2）-y

（1））/h

（1）-a）/h

（1）*6;

d（n）=（b-（y（n）-y（n-1））/h（n-1））/h（n-1）*6;

d=d';

M=inv（G）*d;

fori=1:

n-1

s（i）=M（i）*（x（i+1）-z）^3/0.6+M（i+1）*（z-x（i））^3/0.6+（y（i）-M（i）*0.01/6）*（x（i+1）-z）/0.1+（y（i+1）-M（i+1）*0.01/6）*（z-x（i））/0.1;

end

fori=1:

n-1

a=[x（i）:

0.01:

x（i+1）];

f=subs（s（i）,z,a）;

plot（a,f,'xr'）

holdon

end

结果与分析：

三次样条插值函数得到的图像如下：

可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。

得到的函数十分接近被插值函数。

题目2：

对函数：

在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。

（1）用等距节点

绘出它的20次Newton插值多项式的图像。

（2）用节点

，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。

（3）用等距节点

绘出它的分段线性插值函数的图像。

（4）用等距节点

绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

程序及分析：

（1）用等距节点

绘出它的20次Newton插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

%计算均差

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz;

y=zeros（1,n）

fori=1:

10

y（i）=sin（pi*x（i））;

end

fori=11:

15

y（i）=cos（pi*x（i））;

end

fori=15:

n

y（i）=0;

end

N=zeros（n,n）;

N（:

1）=y';

forj=2:

n

fork=j:

n

N（k,j）=（N（k,j-1）-N（k-1,j-1））/（x（k）-x（k-j+1））;

end

end

fort=1:

n

c（t）=N（t,t）;

end

%构造插值多项式

f=N（1,1）;

fork=2:

n

a=1;

forr=1:

（k-1）

a=a*（z-x（r））;

end

f=f+N（k,k）*a;

end

%作图

v=linspace（-1,0,50）;

u=sin（pi*v）;

plot（v,u,'k'）

holdon

v=linspace（0,0.5,25）;

u=cos（pi*v）;

plot（v,u,'k'）

holdon

v=linspace（0.5,1,10000）;

u=0;

plot（v,u,'k'）

holdon

a=[-1:

0.001:

1];

fx=subs（f,z,a）;

plot（a,fx,'r'）;

结果与分析：

等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：

可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。

出现了Runge现象。

（2）用节点

，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

%求插值节点

fori=1:

21

x（i）=cos（（2*（i-1）+1）*pi/42）;

end

n=length（x）;

y=zeros（1,n）;

fori=1:

n

ifx（i）<0

y（i）=sin（pi*x（i））;

elseifx（i）>0.5

y（i）=0;

else

y（i）=cos（pi*x（i））;

end

end

%插值基函数

symsz;

temp=1;

fori=1:

n

lx=1;

forj=1:

n

ifi~=j

temp=（z-x（j））/（x（i）-x（j））;

lx=lx*temp;

end

end

l（i）=lx;

end

%插值多项式

l=l';

L=y*l;

%作图

a=[-1:

0.01:

1];

fx=subs（L,z,a）;

plot（a,fx,'xr'）;

结果与分析：

如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。

（3）用等距节点

绘出它的分段线性插值函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz;

fori=1:

10

y（i）=sin（pi*x（i））;

end

fori=11:

15

y（i）=cos（pi*x（i））;

end

fori=15:

n

y（i）=0;

end

%构造插值多项式

fori=1:

n-1

l（i）=（z-x（i+1））/（x（i）-x（i+1））*y（i）+（z-x（i））/（x（i+1）-x（i））*y（i+1）;

%l（i）=y（i）+（y（i+1）-y（i））/（x（i+1）-x（i））*（z-x（i））;

end

%作图

fori=1:

n-1

a=[x（i）:

0.01:

x（i+1）];

f=subs（l（i）,z,a）;

plot（a,f,'xr'）

holdon

end

结果与分析：

如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。

但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。

主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。

（4）用等距节点

绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

Matlab程序如下：

clc;clear;

x=[-1:

0.1:

1];

n=length（x）;

symsz

fori=1:

10

y（i）=sin（pi*x（i））;

end

fori=11:

15

y（i）=cos（pi*x（i））;

end

fori=15:

n

y（i）=0;

end

fori=1:

n-1

h（i）=x（i+1）-x（i）;

end

fori=1:

n-2

u（i）=h（i）/（h（i+1）+h（i））;

r（i）=1-u（i）;

end

G=zeros（n,n）;

fori=1:

n

G（i,i）=2;

end

fori=2:

n-1

G（i,i-1）=u（i-1）;

G（i,i+1）=r（i-1）;

end

G（n,n-1）=1;

G（1,2）=1;

d=zeros（1,n）;

fori=2:

n-1

d（i）=6*（（y（i+1）-y（i））/h（i）-（y（i）-y（i-1））/h（i-1））/（h（i）+h（i-1））;

end

symsuv;

u=diff（sin（pi*v）,v）;

a=subs（u,v,x

（1））;

b=0;

d

（1）=（（y

（2）-y

（1））/h

（1）-a）/h

（1）*6;

d（n）=（b-（y（n）-y（n-1））/h（n-1））/h（n-1）*6;

d=d';

M=inv（G）*d;

fori=1:

n-1

s（i）=M（i）*（x（i+1）-z）^3/0.6+M（i+1）*（z-x（i））^3/0.6+（y（i）-M（i）*0.01/6）*（x（i+1）-z）/0.1+（y（i+1）-M（i+1）*0.01/6）*（z-x（i））/0.1;

end

fori=1:

n-1

a=[x（i）:

0.01:

x（i+1）];

f=subs（s（i）,z,a）;

plot（a,f,'xr'）

holdon

end

结果与分析：

三次样条插值函数得到的图像如下：

可以看出，三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。