用笔算求一个正整数的算术平方根的主要步骤是.docx
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用笔算求一个正整数的算术平方根的主要步骤是
∙用笔算求一个正整数的算术平方根的主要步骤是:
(1)把被开方的整数从个位起向左每两位为一段用“′”号分开(最全一段可能只有1位数);
(2)由左边第一段里的数的最大完全平方数的算术平方根得到所求平方根最高位上的数;
(3)从第一段的数中减去平方根最高位上数的平方,在这个差的右边移下第二段数作为第一个余数;
(4)把平方根最高位上的数乘以20去试除第一个余数,所得最大整数作为试商(如果这个最大整数大于或等于10,就用9作试商);
(5)把平方根最高位上的20倍加上前一步的试商乘以这个试商,如果所得的积小于或等于第一个余数,这个试商就是算术平方根的第二位上的数,如果所得的积大于第一个余数,就把试商减去1再试,直到积小于或等于第一个余数为止;
(6)用(5)中的方法继续求出算术平方根其他位上的数.
你是指开平方还是次方?
说起来比较复杂。
这是我转载博客上的方法,我看了觉得比较详细,看上去很多但学透了就觉得其实很简单。
我的QQ是250406955
手动开平方
例:
求256的平方根
第一步:
将被开方数的整数个位起向左每隔两位划为一段,用逗号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数。
例,第一步:
将256,分成两段:
2,56
表示平方根是两位数(XY,X表是平方根十位上数,Y表示个位数)。
第二步:
根据左边第一段里的数,取该数的平方根的整数部分,作为所要求的平方根求最高位上的数。
例:
左边第一段数值是2,2的平方根是大约等于1.414(这些尽量要记得,100以内的,尤其是能开整数的),由于2的平方根1.414大于1和小于2,所以取整数部分是1作为所要求的平方根求最高位上的数,即所要求的平方根最高位X是1。
第三步:
从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
例:
第一段数里的数是2.第二步计算出最高数是1
2减去1的平方=1
将1与第二段数(56)组成一个第一个余数:
156
第四步:
把第二步求得的最高位数
(1)乘以20去试除第一个余数(156),取所得结果的整数部分作为第一个试商。
例:
156除以(1乘20)=7.8
第一个试商就是7
第五步:
第二步求得的的最高位数
(1)乘以20再加上第一个试商(7)再乘以第一个试商(7)。
(1*20+7)*7
如果:
(1*20+7)*7小于等于156,则7就是平方根的第二位数.
如果:
(1*20+7)*7大于156,将第一个试商7减1,即用6再计算。
由于:
(1*20+6)*6=156所以,6就是第平方根的第二位数。
例:
求55225的平方根
第一步:
将被开方数的整数个位起向左每隔两位划为一段,用逗号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数。
例,第一步:
将55225,分成三段:
5,52,25
表示平方根是三位数(XYZ)。
第二步:
根据左边第一段里的数,取该数的平方根的整数部分,作为所要求的平方根求最高位上的数。
例:
左边第一段数值是5,5的平方根是(2点几)大于2和小于3,所以取整数部分是2作为所要求的平方根求最高位上的数,即所要求的平方根最高位X是2。
第三步:
从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
例:
第一段数里的数是5.第二步计算出最高数是2
5减去2的平方=1
将1与第二段数(52)组成一个第一个余数:
152
第四步:
把第二步求得的最高位数
(2)乘以20去试除第一个余数(152),取所得结果的整数部分作为第一个试商。
例:
152除以(2乘20)=3.8
第一个试商就是3
第五步:
第二步求得的的最高位数
(2)乘以20再加上第一个试商(3)再乘以第一个试商(3)。
(2*20+3)*3
如果:
(2*20+3)*3小于等于152,则3就是平方根的第二位数.
如果:
(2*20+3)*3大于152,将第一个试商3减1,即用2再计算。
由于:
(2*20+3)*3小于152所以,3就是第平方根的第二位数。
第六步:
用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数。
用上一个余数减去上法中所求的积(即152-129=23),与第三段数组成新的余数(即2325)。
这时再求试商,要用前面所得到的平方根的前两位数(即23)乘以20去试除新的余数(2325),所得的最大整数为新的试商。
(2325/(23×20)的整数部分为5。
)
7.对新试商的检验如前法。
(右例中最后的余数为0,刚好开尽,则235为所求的平方根。
)
怎样笔算开方?
在没有计算器也没有任何资料的情况下,需要笔算开方怎么算呢?
下面就简单地介绍一下:
第一步:
先分节。
把被开方数分节,从小数点向两边分,每两位数一节。
(从个位起向左每隔两位为一节,若带有小数,,从小数点起向右每隔两位一节)用“,”号将各节分开;如625分节为6’25,5625分节为56’25,11278分为1’12’78,等等,一个数可分为几节,开方后就有几位。
由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的,所以下面就以整数开方为例来说明。
第二步:
在被开方数的上方画一个根号,就开始算了,比如9’61这个数,上面打上根号,先看第一节9,3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3,3×3=9把9写在下面减去,就像除法那样在961下面减。
减完后还余下61,为了明白这里的原理,你可以借助于图形去理解,你画一个正方形,边长是两位数,十位是3,个位暂时还不知道,3×3=9减去就是在左下角挖去一个900的正方形,还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。
也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?
)的平方展开式中的后两项.
第三步:
把“商”3乘以20,3×20=60
考虑(60+?
)×?
=6161×1=61好了,在根号上方与第二节对齐处写1,61×1=61从下面减去得0,这样就完了,961开方是31.
那么,这一步的原理又是什么呢?
你再观看图形,注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+?
),也就是(3×20+?
),宽是?
它的面积是61,那么不就是考虑(60+?
)×?
=61吗.
再以625开方来练习一下,先分节为6’25,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,2×20=40.考虑
(40+?
)×?
=225 (40+5)×5=225 好,在第二节上面“商”5,下面减225得0,完了,625开方是25。
再看一个分节后是三位的,15129分节为
1’51’29 打上根号,第一节“商”1,1的平方是1,(注意这可是100的平方是10000)下面像做除法那样的减去1,余下的拉下来是51’29,看第二节51,1×20=20考虑(20+?
)×?
接近51但不大于51,
(20+2)×2最接近,第二节上面“商”2,再像做除法那样减44,在与51对齐的下面减44,(注意这又相当于减去了4400)还余下729,再看第三节,用根号上的“商”12乘20得240,考虑(240+?
)×?
接近729但不大于729,(240+3)×3=729再像做除法那样在下面减729得0,完了,15129开方得123。
你可以画一个边长为123的正方形,面积是15129,左下角先挖去一个10000的正方形,余下的是5129,再挖去一个“7”字形的面积4400,又余下一个“7”字形面积为729,分析图形就更明白了。
总结归纳:
一、 先分节,打根号。
有点像除法竖式,都要“层层扒皮”。
二、 把眼盯在第一节上,如果第一节是1,4,9,16,25,36,49,64,81这样的完全平方数,就在第一节上方“商”1,2,3,…9,如果不是这样的数,比如是57,因为57比49大而比64小,所以你只能“商”7,不能“商”8,因为8就不够了。
这一步是确定被开方数开方后的首位数。
三、 被开方数开方后的首位数确定后,要从被开方数中减去这个首位数的平方,注意一定要在第一节下面减。
四、 把眼转向余数,用第一节所得的“商”乘20后的积估算开方结果的第二位数,方法是看乘20后的积加“多少”后再乘“多少”接近余数,就在第二节上“商”“多少”,(上面的“多少”都同是一个一位数)
五、 重复第四步的过程,逐节计算。
至于在“商”第二节以及以后各节时为什么老是要用前面的“商”乘20呢?
实际上是乘2再乘10,从图形上看前面提到的“7”字形可以认为是由“两”个全等的长方形与一个小正方形组成的,这里两个的“两”就是乘2的原因。
再乘10是由“商”的位置决定的。
合在一起就是乘20,前面提到的那个“多少”则是小正方形的边长,也就是那次“扒的那层皮的厚度”,“7”字形的展开长度是:
“商”乘20后的积加“多少”,宽是:
“扒的那层皮的厚度”长乘宽就是“7”字形的面积了。
笔算开方的方法和口算开方的方法
(2008-07-2817:
36:
08)
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笔算开方
很容易,先把被开方数自小数点左右分为每两个数一个区,如1049.76(以下都以这个数为例)可分为10‘49.76,然后从高位区开始算,过程有点象除法竖式,下面就是正文:
从高位区开始,10开方的整数是3,这整数3便是结果的最高位数字,余数1(10-3*3)和下一区和在一起便是149,用20(专用数字,从第二区开始一直用到完)去乘前面已开方结果3,便市60(20*3),记住,这个数的个位数不是固定的,它可是必须与除得的商相同且须尽量大,继实例部分,第二步用149除以60(60不是真正的除数,因为它的个位数是所得的商),这样可得出商的约数,如以上除的整数部分是2,那么须把60+2为62作为除数,得商2与除数62的个位数相同,因此商2便是结果的第二位数(既为32),余数为25(149-62*2),被开方数的整数区用完了便在结果32后加“.”既以后的算出来的结果为小数部分,剩下的都与第二部分相同下面与你们共同来完成它吧:
把余数25和下一区放在一起为2576,试用除数为20*32=640,则商为4,4+640为644,2576除以644刚好为4(4恰为除数644的个位数)没余数,则4为结果的最后一位了,既结果为32.4。
这结果可是精确的数哦,如果后面还除不尽的话,就在被开方数的小数部分后加00……还是每两数为一区,用以上的方法一直精确下去,结果可是与计算器算出来一样哦。
口算开方
先以13为例,第一,我们要知道哪两个数的平方介于13之间,这两个数为3和4。
第二,算出3和4的平方,3为9,4为16。
第三,用13减去9得4,16减9得7。
第四,将第三步中的差值相除,用4除以7得0.571428571。
最后3加上这个商即为结果3.571428571。
而用计算机得的结果为3.605551275,误差为0.03。
再以1998为例,用此方法得出的结果为44.696629213,计算机结果为44.69899328,误差为0.002。
最后以40634为例,用此方法得出的结果为201.578763771,计算机结果为201.5787687,误差为0.00005。
由上可看出数越大,算得就越精确。
但是实际情况下的问题是:
找哪两个数的平方介于目标数之间比较累人,不过只要数学较好,都会很容易的找出来。
从另一方面看这种方法的原理就是:
以13为例,把9到16之间看成单位一,算出13在这里的位置,从上可得13大概在这个单位一的0.571428571处,因此再用3加
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