最新对数与对数函数知识点与题型归纳供参考.docx

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最新对数与对数函数知识点与题型归纳供参考

最新对数与对数函数知识点与题型归纳（供参考）

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

3.知道对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a>0，且a≠1）．

★备考知考情

　　通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.

一、知识梳理《名师一号》P27

注意：

知识点一对数及对数的运算性质

1.对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN（a>0，且a≠1）．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．

注意：

（补充）关注定义---指对互化的依据

2．对数的性质与运算法则

（1）对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（MN）＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM（n∈R）；

④logamMn＝logaM.

（2）对数的性质

①alogaN＝N；②logaaN＝N（a>0，且a≠1）．

（3）对数的重要公式

①换底公式：

logbN＝（a，b均大于零且不等于1）；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

注意：

（补充）特殊结论:

知识点二对数函数的图象与性质

1.对数函数的图象与性质（注意定义域!

）

a>1

0

图象

2.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，

它们的图象关于直线y＝x对称．

（补充）

　设y＝f（x）存在反函数，并记作y＝f－1（x），

1）函数y＝f（x）与其反函数y＝f－1（x）的图象

关于直线对称．

2）如果点P（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，

则必有f－1（y0）＝x0，

反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．

3）函数y＝f（x）与其反函数y＝f－1（x）的单调性相同．

二、例题分析：

（一）对数式的运算

例1.

（1）《名师一号》P27对点自测1

（2013·陕西文3）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　）

A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga（bc）＝logab·logac

D．loga（b＋c）＝logab＋logac

解析　由对数的运算性质：

loga（bc）＝logab＋logac，

可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒·＝⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝·＝＝logcb，故恒成立．

答案　B

例1.

（2）（补充）计算下列各式的值

（1）

（2）温故知新P22第8题

（3）

答案：

（1）1

（2）10（3）-12

注意：

准确熟练记忆对数运算性质多练

《名师一号》P28高频考点例1

【规律方法】　在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

例2.

（1）《名师一号》P27对点自测2

（2014·陕西卷）已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.

解析　∵4a＝2，∴a＝log42＝.由lgx＝，

得x＝10＝.

例2.

（2）《名师一号》P28高频考点例1

（1）

若x＝log43，则（2x－2－x）2等于（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析:

由x＝log43，得4x＝3，

即2x＝，2－x＝，

所以（2x－2－x）2＝2＝.

注意：

指数与对数的互化

ab＝N⇔b＝（a>0，a≠1，N>0）．

练习:

（补充）已知求

答案:

例3.《名师一号》P28高频考点例1

（2）

已知函数f（x）＝则f（f

（1））＋f的值

是（　　）

A．5　　　B．3　　　C．－1　　　D.

因为f

（1）＝log21＝0，所以f（f

（1））＝f（0）＝2.

因为log3<0，所以f＝3＋1

＝3＋1＝2＋1＝3.

所以f（f

（1））＋f＝2＋3＝5.

二、对数函数的图象及性质的应用

例1.（补充）

求下列函数的定义域．

（1）y＝.

（2）y＝log（x＋1）（16－4x）．

解析：

（1）由函数定义知：

∴即

故原函数的定义域是{x|

（2）由函数有意义知　

∴即－1

故原函数的定义域为{x|－1

练习：

已知集合

求实数a的取值范围．

解析：

设f（x）＝x2－ax－a，则y＝log2f（x），

依题意，f（x）>0恒成立，∴Δ＝a2＋4a<0

∴－4

例2.《名师一号》P27对点自测5

（2014·重庆卷）函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为________．

解析　根据对数运算性质，f（x）＝log2·log（2x）＝log2x·[2log2（2x）]＝log2x（1＋log2x）＝（log2x）2＋log2x＝2－，当x＝时，函数取得最小值－.

注意：

换元后“新元”的取值范围．

练习：

1、求下列函数的值域

（1）y＝log（－x2＋2x＋4）

[答案]　[－1，＋∞）

（2）f（x）＝logx－3log2x2＋2

[解析]　令t＝log2x，∵≤x≤2∴－1≤t≤1.

∴函数化为y＝t2－6t＋2＝（t－3）2－7

∵－1≤t≤1.

∴当t＝－1，即x＝时，ymax＝9.

当t＝1，即x＝2时，ymin＝－3，

∴函数的值域为[－3,9].

2、已知集合

求实数a的取值范围．

[分析]当且仅当f（x）＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2（x2－ax－a）的值域才为R.

而当Δ<0时，f（x）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图像应与x轴有交点（但此时定义域不再为R）

[正解]　要使函数y＝log2（x2－ax－a）的值域为R，应使f（x）＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f（x）＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为（－∞，－4]∪[0，＋∞）

例3.

（1）《名师一号》P27对点自测4

已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga（x＋2015）＋2的图象恒过定点________．

解析　令x＋2015＝1，即x＝－2014时，y＝2，故其图象恒过定点（－2014,2）．

练习:

无论a取何正数（a≠1），函数恒过定点

【答案】

注意：

对数函数图象都经过定点（1,0）

例3.

（2）（补充）

如右下图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，

③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、c、d

与1的大小关系是（　　）

A．a>b>1>c>d

B．b>a>1>d>c

C．1>a>b>c>d

D．a>b>1>d>c

【答案】B

在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A（a,1）、B（b,1）、C（c,1）、D（d,1），由图可知c

注意：

（补充）

两个单调性相同的对数函数，

它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.

利用，图象都经过点，作直线，

则该直线与图象的交点的横坐标即为底数。

例3.（3）《名师一号》P28高频考点例2

（1）

（2014·福建卷）若函数y＝logax（a>0，

且a≠1）的图象如图所示，

则下列函数图象正确的是（　　）

答案：

B.

例4.《名师一号》P28高频考点例3

已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析:

（1）∵f

（1）＝1，

∴log4（a＋5）＝1，因此a＋5＝4，a＝－1.

这时f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）．

由－x2＋2x＋3>0得－1

函数f（x）的定义域为（－1,3）．

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减．

又y＝log4x在（0，＋∞）上单调递增，

所以f（x）的单调递增区间是（－1,1），

单调递减区间是（1,3）．

（2）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，

则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有

解得a＝.

故存在实数a＝使f（x）的最小值为0.

练习：

温故知新P32第5题

三、比较大小

例1.《名师一号》P29特色专题典例

，则（　　）

A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b

【规范解答】　

方法1：

在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．

由图象知：

log23.4>log3>log43.6.

方法2：

∵log3>log33＝1，且<3.4，

∴log3

∵log43.61，

∴log43.6

∴log23.4>log3>log43.6.

由于y＝5x为增函数，

故a>c>b.

注意：

《名师一号》P28问题探究问题3

比较幂、对数大小有两种常用方法：

①数形结合；②找中间量结合函数单调性．

练习:

1、若0

A．3y<3xB．logx3

C．log4x

解析：

∵0

①由y＝3u为增函数知3x<3y，排除A；

②∵log3u在（0,1）内单调递增，

∴log3xlogy3，∴B错．

③由y＝log4u为增函数知log4x

∴C正确．

④由y＝u为减函数知x>y，排除D.

答案：

C

2、对于0

①loga（1＋a）

②loga（1＋a）>loga（1＋）；

③a1＋aa.

其中成立的是（　　）

A．①与③B．①与④

C．②与③D．②与④

答案：

D

解析：

由于0

∴loga（1＋a）>loga（1＋），a1＋a>a.

∴选D.

四、对数方程与不等式

例1.

（1）（补充）

方程log3（x2－10）＝1＋log3x的解是___．

[答案]　x＝5

[解析]　原方程化为log3（x2－10）＝log3（3x），由于log3x在（0，＋∞）上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.

注意：

依据对数函数恒单调求解。

例1.

（2）温故知新P3