八年级丁保荣数学培优带答案 第五章整式乘除与因式分解啊.docx
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八年级丁保荣数学培优带答案第五章整式乘除与因式分解啊
5—例2若实数x满足x5+x4+x=-1,则x1998+x1999+…+x2004的值为( )
A.2
B.1
C.3
D.5
考点:
因式分解的应用;高次方程.
专题:
方程思想.
分析:
首先对x5+x4+x=-1,即x5+x4+x+1=0,等号左边通过拆分项、提取公因式、完全平方式因式分解,转化为(x+1)(x4+1)=0.针对因式x4+1可知其大于0,进而判定x+1=0,求得x的值为-1.最后将x的值代入x1997+x1998+…+x2007即可求得结果.
解答:
解:
∵x5+x4+x=-1,即x5+x4+x+1=0,
∴x4(x+1)+(x+1)=(x4+1)(x+1)=0,
又∵x4>0,
∴x+1=0,即x=-1,
∴x1998+x1999+…+x2004=(+1)+(-1)+…+(+1)=1.
故选B.
点评:
本题考查高次方程、代数式求值、因式分解.解决本题的关键通过因式分解,降次转化为一元二次方程与一次方程,进而求得x的值,原题得解.
5—例3已知a,b满足等式x=a^2+b^2+20,y=4(2b-a),则x,y的大小关系是?
解x-y=a^2+b^2+20-4(2b-a)
=a^2-4a+4+b^2-8b+16
=(a-2)^2+(b-4)^2≥0,
所以x≥y.
5--例4已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
考点:
完全平方公式.
专题:
整体思想.
分析:
将多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca转化为几个完全平方式的和,再将a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002分别代入求值.
解答:
解:
∵2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca
=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
=(1999x+2000-1999x-2001)2+(1999x+2000-1999x-2002)2+(1999x+2001-1999x-2002)2
=1+4+1
=6.
于是a2+b2+c2-ab-bc-ca=6×1/2=3.
故选D.
点评:
此题考查了构造完全平方式求代数式的值的能力,难点在于找到系数“2”,并将式子转化为完全平方式
5--例5分解因式:
(2x-3y)3+(3x-2y)3-125(x-y)3=
考点:
立方公式.
分析:
利利用立方差公式A3+B3+C3-3ABC=(A+B+C)(A2+B2+C2-BC-CA-AB),从而得出A3+B3+C3=3ABC,即(2x-3y)3+(3x-2y)3-125(x-y)3符合上述公式,即可得出答案.
解答:
解:
∵A3+B3+C3-3ABC
=(A+B+C)(A2+B2+C2-BC-CA-AB),
若A+B+C=0,便有A3+B3+C3=3ABC,
令A=2x-3y,B=3x-2y,C=5y-5x,
则符合上述条件,易得A3+B3+C3=3ABC.
∴(2x-3y)3+(3x-2y)3-125(x-y)3
=3(2x-3y)(3x-2y)[5(y-x)],
=15(2x-3y)(3x-2y)(y-x),
故答案为:
15(2x-3y)(3x-2y)(y-x).
点评:
此题主要考查了立方公式的性质,以及得出A3+B3+C3=3ABC,是解决问题的关键.
5--例6已知x^2+x=1,求代数式x^4+2x^3-x^2-2x+2005的值
解x²+x=1
所以x^4+2x³-x²-2x
=(x^4-x²)+(2x³-2x)
=x²(x²-1)+2x(x²-1)
=x²(x+1)(x-1)+2x(x+1)(x-1)
=(x²+x)[x(x-1)+2(x-1)]
=x²+x-2
=1-2
=-1
所以原式=2004
5--例7某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,降价幅度不得超过d%,若用p表示d,则d=_____.
考点:
列代数式(分式).
专题:
应用题.
分析:
此题中最大的降价率即是保证售价和成本价相等.可以把成本价看作单位1.
解答:
解:
设成本价是1,则
(1+p%)(1-d%)=1.
1-d%=1/(1+p%),
d%=1-100/(100+p)
d=100p/(100+p)
点评:
解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.
这里注意:
保证不亏本,即让售价和成本价持平.
5--例8三位男子A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物,至于谁是谁的妻子就不知道了,只能从下列条件来推测:
他们6人,每人花在买商品的钱数(单位:
元)正好等于商品数量的平方,而且每位丈夫都比自己的妻子多花48元钱,又知A比b多买9件商品,B比a多买7件商品.试问:
究竟谁是谁的妻子?
考点:
非一次不定方程(组).
专题:
应用题.
分析:
设一对夫妻,丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品,列出关于x、y的二元二次方程,再根据x、y都是正整数,且x+y与x-y有相同的奇偶性,即可得出关于x、y的二元一次方程组,求出x、y的值,再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答.
解答:
解:
设一对夫妻,丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品.
则有x2-y2=48,即(x十y)(x-y)=48.(4分)
∵x、y都是正整数,且x+y与x-y有相同的奇偶性,
又∵x+y>x-y,48=24×2=12×4=8×6,
∴x+y=24x-y=2
或x+y=8x-y=6.(7分)
解得x=13,y=11或x=8,y=4或x=7,y=1.(9分)
符合x-y=9的只有一种,可见A买了13件商品,b买了4件.
同时符合x-y=7的也只有一种,可知B买了8件,a买了1件.
∴C买了7件,c买了11件.(12分)
由此可知三对夫妻的组合是:
A、c;B、b;C、a.(14分)
故答案为:
A、c;B、b;C、a.
点评:
本题考查的是非一次不定方程的解及数的奇偶性,根据题意列出关于x、y的不定方程是解答此题的关键.
5--例10-1
5--例10-2(7^4+64)(15^4+64)(23^4+64)(31^4+64)(39^4+64)
———————————————————————————
(3^4+64)(11^4+64)(19^4+64)(27^4+64)(35^4+64)
解标答~如下m^n表示m的n次方(7^4+64的意思是7的4次方+64)
n^4+64
=n^4+8^2
=n^4+8^2-16n^2+16n^2(这里开始配方)
=(n^4+8^2+16n^2)-16n^2
=(n^2+8)^2-16n^2(再用平方差公式)
=(n^2+8-4n)(n^2+8+4n)
=[(n-2)^2+4]×[(n+2)^2+4]
ok!
后面就爽了,看好啊
(7^4+64)(15^4+64)代入n
=(5^2+4)(9^2+4)×(13^2+4)(17^2+4)
(3^4+64)(11^4+64)
=(1^2+4)(5^2+4)×(9^2+4)(13^2+4)
(7^4+64)(15^4+64)
----------------------------
(3^4+64)(11^4+64)
=(17^2+4)/(1^2+4)是吧
因为当中都消去了,7-2=3+27+2=11-215-2=11+2…………39-2=35+2
那么按这个道理
原式=(41^2+4)/(1^2+4)
=337
5--例11-1计算(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
解(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
=(2^2-1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
=(2^4-1)*(2^4+1)*(2^8+1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
=(2^8-1)*(2^8+1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
=(2^16-1)*(2^16+1)*(2^32+1)+1
=(2^32-1)*(2^32+1)+1
=2^64-1+1
=2^64
5--例11-2(20042003^2+1)/(20042002^2+20042004^2)=?
解令a=20042003
则分子=a^2+1
分母=(a-1)^2+(a+1)^2
=a^2-2a+1+a^2+2a+1
=2a^2+2
=2(a^2+1)
所以原式(a^2+1)/2(a^2+1)=1/2
5--例12
再看书本的答案,P197。
与上面的不一样。
5--例14-1因式分解x^3+6x^2+11x+6
解(x^3+6x^2+11x+6)
=(x^3+3x^2)+(3x^2+11x+6)
=x^2(x+3)+(x+3)(3x+2)
=(x+3)(x^2+3x+2)
=(x+3)(x+2)(x+1)
5--例14-2x^4+2x^3-9x^2-2x+8因式分解
解原式
=(x^4-9x^2+8)+(2x^3-2x)
=(x^2-1)(x^2-8)+2(x^2-1)
=(x^2-1)(x^2+2x-8)
=(x+1)(x-1)(x-4)(x+2)
5--例15-1分解因式:
(x^2+5x+2)(x^2+5x+3)-12
解(x^2+5x+2)(x^2+5x+3)-12
=(x^2+5x)^2+5(x^2+5x)+6-12
=(x^2+5x)^2+5(x^2+5x)-6
=(x^2+5x+6)(x^2+5x-1)
=(x+3)(x+2)(x^2+5x-1)
5--例15-2分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x*x
=(x*x+7x+6)(x*x+5x+6)+x*x
=[(x*x+6)+7x][(x*x+6)+5x]+x*x
=(x*x+6)^2+12x(x*x+6)+35x*x+x*x
=(x*x+6)^2+2*6x*(x*x+6)+36x*x
=(x*x+6x+6)^2
或者解(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2
=[(x+1)(x+6)][(x+2)(x+3)]+X^2
=(X^2+6+7x)(X^2+6+5x)+X^2
=(X^2+6)^2+12x(X^2+6)+35X^2+X^2
=(X^2+6)^2+12x(X^2+6)+36X^2
=(X^2+6+6x)^2
5--例15-3因式分解(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)
解令x+y=a,xy=b,则
原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=a^2+2ab+b^2-1
=(a+b)^2-1
=(a+b+1)(a+b-1)
故原式=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1)
=(x+1)(y+1)(x+y+xy-1)
5—31
5—32
5--33下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( )
A.x3-9x2+27x-27
B.x3-x2+27x-27
C.x4-x3+27x-27
D.x3-3x2+9x-27
考点:
因式分解的应用.
分析:
对于每个式子先组合,提取公因式,再进一步提取公因式,进行因式分解,最终与每项结果对照判断.
解答:
解:
A、x3-9x2+27x-27=(x3-27)-9x(x-3)=(x-3)(x2+3x+9)-9x(x-3)=(x-3)(x2-6x+9)=(x-3)3,故选项正确;
B、x3-x2+27x-27=x2(x-1)+27(x-1)=(x-1)(x2+27),故选项错误;
C、x4-x3+27x-27=x3(x-1)+27(x-1)=(x-1)(x3+27)=(x-1)(x+3)(x2-3x+9),故选项错误;
D、x3-3x2+9x-27=x2(x-3)+9(x-3)=(x-3)(3x2+9),故选项错误.
故答案为A
点评:
本题考查因式分解的应用.解决本题的关键是灵活运用平方差公式、立方差公式,提取公因式等
5--34若x+y=-1,则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于( )
A.0
B.-1
C.1
D.3
考点:
因式分解的应用;代数式求值.
专题:
计算题.
分析:
将x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4提取公因式,转化为x3(x+y)+4x2y(x+y)+xy(x+y)+4xy2(x+y)+y3(x+y),将x+y=-1代入转化为-x3-4x2y-xy-4xy2-y3,再通过提取公因式,立方和公式、提取公因式,转化为(x+y)(x2-xy+y2)-4xy+xy,再将x+y=-1代入转化为(x2-xy+y2)+3xy,再运用完全平方式,转化为(x+y)2-3xy+3xy,将x+y=-1代入问题得解.
解答:
解:
原式=x4+x3y+4x3y+x2y+4x2y2+4x2y2+xy2+4xy3+xy3+y4,
=x3(x+y)+4x2y(x+y)+xy(x+y)+4xy2(x+y)+y3(x+y),
=-x3-4x2y-xy-4xy2-y3,
=-[(x3+y3)+4xy(x+y)+xy],
=-[(x+y)(x2-xy+y2)-4xy+xy],
=-[-(x2-xy+y2)-3xy],
=(x2-xy+y2)+3xy,
=(x+y)2-3xy+3xy,
=1.
故选C.
点评:
本题考查提取公因式法因式分解、完全平方式、立方和公式.解决本题的关键是提取公因式,转化为(x+y)乘以xy各次的形式,逐步达到化简得目的.
5--35若3x3-kx2+4被3x-1除后余5,则k的值为( )
A.-10
B.10
C.-8
D.8
考点:
整式的除法.
分析:
有被除式及余数,假设出商的值,利用被除式减去余数再除以商即可得到除式.
解答:
解:
∵3x3-kx2+4被3x-1除后余5,
说明3x3-kx2-1可被3x-1整除,
∴3x-1为3x3-kx2-1的一个因式,
∴当3x-1=0,即x=1/3时,3x3-kx2-1=0,即3×1/27-1/9*k=0
k-1=0,
解得k=-8,
故选:
C.
点评:
此题主要考查了多项式除单项式,理清被除式、除式、商、余数四者之间的关系是解题的关键.
5--37张师傅下岗再就业,做起了小商品生意,第一次进货时,他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品,每件b元的价格购进了30件乙种小商品(a>b);回来后,根据市场行情,他将这两种小商品都以每件(a+b)/2元的价格出售,在这次买卖中,张师傅赚(5a-b)______钱.
考点:
整式的加减.
专题:
应用题.
分析:
用(售价-甲的进价)×甲的件数+(售价-乙的进价)×乙的件数列出关系式,去括号合并得到结果,即为张师傅赚的钱数.
解答:
解:
根据题意列得:
20((a+b)/2-a)+30((a+b)/2-b)
=20×(a+b-2a)+30×(a+b-2b)/2
=10(b-a)+15(a-b)
=10b-10a+15a-15b
=5a-b(元),
则这次买卖中,张师傅赚(5a-b)元.
故答案为:
5a-b
点评:
此题考查了整式加减运算的应用,涉及的知识有:
去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握
则是解本题的关键.
5--36如果x+y=1,x^2+y^2=3,那么x^3+y^3的值是
x^2+2xy+y^2=1
2xy=-2
xy=-1
x^3+y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
=1*(3+1)
=4
5--39已知2^a=3,2^b=6,2^c=12,求a,b,c之间的关系?
解这道题你可以这样考虑:
观察2,6,12之间的关系,你会发现6*6=3*12,所以2^a*2^c=(2^b)^2,所以有2^(a+c)=2^2b,所以有a+c=2b
此题另一解已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c的关系是( )
A.2b<a+c
B.2b=a+c
C.2b>a+c
D.a+b>c
考点:
幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法.
分析:
根据同底数幂的乘法的逆运算,可得2a•2b=2a+b=18,又2c=12,所以可以确定a,b,c的关系.
解答:
解:
∵2^a•2^b=2^(a+b)=18,且2c=12,
∴a+b>c.
故选D.
点评:
此题主要考查同底数幂的乘法的逆运算:
a^(m+n)=a^m•a^n.
5--40若已知x+y=1,x^2+y^2=2,求x^4+y^4和x^4-y^4的值
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=2+1=3x-y=±√3
2xy=-1xy=-1/2x^2y^2=1/4
(x^2+y^2)^2=x^4+y^4+2x^2y^2=4
x^4+y^4=4-2x^2y^2=4-1/2=7/2
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2*1*√3=±2√3
5--41a*4+4因式分解
解a^4+4
=a^4+4a^2+4-4a^2
=(a^2+2)^2-(2a)^2
=(a^2+2-2a)(a^2+2+2a
解a^4+4
=(a^4+2a^3+2a^2)-(2a^3+4a^2+4a)+(2a^2+4a+4)
=a^2(a^2+2a+2)-2a(a^2+2a+2)+2(a^2+2a+2)
=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)
5--42若a+2b+3c=12,且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,则a+b^2+c^3=?
.
解
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
﹙a-b﹚²+﹙a-c﹚²+﹙b-c﹚²=0
∴a=b=c
∵a+2b+3c=12
∴a=b=c=2
∴a+b^2+c^3=2+4+8=14
5--432x3+x2-13x+6的因式是( )
A.2x-1
B.x+2
C.x-3
D.x2+1
考点:
余式定理.
分析:
将2x3+x2-13x+6利用分组分解法分解因式,注意首先拆项可得:
2x3+x2-10x-3x+6,然后将前三项作为一组,后两项作为一组分解即可求得答案.
解答:
解:
∵2x3+x2-13x+6
=2x3+x2-10x-3x+6
=x(2x2+x-10)-3(x-2)
=x(2x+5)(x-2)-3(x-2)
=(x-2)(2x2+5x-3)
=(x-2)(2x-1)(x+3),
∴2x3+x2-13x+6的因式是:
(x-2),(2x-1),(x+3).
故选A.
点评:
此题考查了因式分解的知识.此题难度较大,解题的关键是将原多项式拆项,利用分组分解法求解;还要注意因式分解的步骤:
先提公因式,再利用公式法分解,四项或四项以上的采用分组分解法.
5--44已知p、q均为质数,且满足5p2+3q=59,由以p+3、1-p+q、2p+q-4为边长的三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
考点:
质数与合数.
专题:
探究型.
分析:
先根据5p2+3q=59可判断出p、q必一奇一偶,再根据p、q均为质数可知p、q中有一个为2,再分别把2代入代数式求出三角形的三边长,再有三角形的三边关系及直角三角形的判定定理即可解答.
解答:
解:
∵5p2+3q=59为奇数,
∴p、q必一奇一偶,
∵p、q均为质数,
∴p、q中有一个为2,若q=2,则p2=53/5不合题意舍去,
∴p=2,则q=13,
此时p+3=5,1-p+q=12,2p+q-4=13,
∵52+122=132,
∴5、12、13为边长的三角形为直角三角形.
故选B.
点评:
本题考查的是质数与合数的定义及三角形的三边关系、勾股定理的逆定理,解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一关键知识点.
5--45已知abc不等于0,且a+b+c=0,则a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab
所求的式子=(a^3+b^3+c^3)/abc
把a=-(b+c)代入上式
=(-(b+c)^3+b^3+c^3)/bc(-b-c)
上下同除以b+c得
(b^2-bc+c^2-(b+c)^2)/(-bc)
=3
5--46若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则x12+x22+x32+x42+x52的未位数字是( )
A.1
B.3
C.5
D.7
考点:
尾数特征.
专题:
规律型.
分析:
可将242分解为5个数,然后再求其平方和,展开得出其末位数的值,进而通过推理即可得出所求末位数的值.
解答:
解:
(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,
而242=2×(-2)×4×6×(-6),
(2005-x1)2+(2005-x2)2+…(2005-x5)2
=22+(-2)2+42+62+(-6)2
=96,
即5×20052+2005×2×(x1+x2+x3+x4+x5)+(x12+x22+x32+x42+x52)的末位数为96,
由上式可知:
5×20052的末位数为5,2005×2×(x1+x2+x3+x4+x5)的末位数为0,
而96的末位数为6,
所以6-5=1,即x12+x22+x32+x42+x52的末位数为1.
故选A.
点评:
本题主要考查了尾数特征和数字变化类的一些简单问题,能够掌握其内在规律,并熟练求解.
5--47计算:
(7/3)1998×(32000+152000)/(72000+352000)=
考点:
有理数的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
用积的乘方对(7/3)1998计算,再对(32000+152000)/(72000+352000)的分子分母分别提取公因式,再算乘法即可.
解答:
解:
原式=(7^1998)/(3^1998)*(3^2000)(1+5^2000)/(7^2000)(1+5^2000)
=32/72=9/49
点评:
本题考查的是有理数的运算能力,注意指数的变化
5--48已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6的值恒等于两个因式(x+2y+A)(2x-y+B)乘积的值,那么A+B等于
考点:
整式的混合运算;同类项.
专题:
计算题.
分析:
利用整式乘法展开得到恒等式,找出对应值,得到方程组,求出方程组的解,即可得到答案.
解答:
解:
2x2+3xy-2y2-x+8y-6=(x+2y+A)(2x-y+B)=2x2+3xy-2y2+(2A+B)x+(2B-A)y+AB.
∴2A+B=-12B-A=8AB=-6.
解得A=-2B=3
∴A+B=1.
故答案为:
1.
5--49分
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- 八年级丁保荣数学培优带答案 第五章整式乘除与因式分解啊 年级 丁保荣 数学 培优带 答案 第五 整式 乘除 因式分解