[答案]
9.在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,在该四棱锥内部或表面任取一点O,则三棱锥O-PAB的体积不大于的概率为__________.
[解析] 先求四棱锥P-ABCD的体积,再求出事件发生的区域的体积,利用体积比,即可得结果.
设三棱锥O-PAB的高为h,依题意知S△PAB=PA×AB=×1×1=,又V三棱锥O-PAB≤,所以h≤.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD,
因为底面ABCD是正方形,所以AB⊥AD,
又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.
因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
如图所示,设AD,BC,PC,PD的中点分别为E,F,G,H,当点O在多面体ABPEFGH内部或表面上(不包括平面PAB)时,V三棱锥O-PAB≤.
在多面体CDEFGH中,连接GD,GE,则V多面体CDEFGH=V四棱锥G-CDEF+V三棱锥G-DEH=××+××=,
因为V四棱锥P-ABCD=×(1×1)×1=,所以V多面体ABPEFGH=-=,
则三棱锥O-PAB的体积不大于的概率P==.
[答案]
三、解答题
10.(2018·山东烟台调研改编)从曲线x3+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点,求该点在单位圆中的概率.
[解]
如图,当x≥0,y≥0时,x2+y2=|x|+|y|化为x2+y2=x+y,表示以为圆心,为半径的圆在第一象限的部分;
当x≥0,y≤0时,x2+y2=|x|+|y|化为x2+y2=x-y,
表示以为圆心,为半径的圆在第四象限的部分;
当x≤0,y≥0时,x2+y2=|x|+|y|化为x2+y2=-x+y,
表示以为圆心,为半径的圆在第二象限的部分;
当x≤0,y≤0时,x2+y2=|x|+|y|化为x2+y2=-x-y,
表示以为圆心,为半径的圆在第三象限的部分.
∴曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形的面积为()2+2π×2=2+π.
∴该点在单位圆中的概率为P=.
[能力提升]
11.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A.B.C.D.
[解析] 设BC中点为M,
∴+=2
∵++2=0,
∴=-,
∴P为AM中点
=,∴=,
∴一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC的概率是,故选C.
[答案] C
12.(2017·河北唐山期末)已知函数f(x)=2x--14,若在区间(0,16)内随机取一个数x0,则f(x0)>0的概率为( )
A.B.C.D.
[解析] 在同一坐标系中作出函数y=2x与y=+14的图象(图略),则由图可知,两个函数的图象交点为(4,16),则在(0,16)内且f(x0)>0时,x0∈(4,16),∴f(x0)>0的概率为P==.
[答案] D
13.如图,正四棱锥S-ABCD的顶点都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O内任取一点,则这点取自正四棱锥内的概率为__________.
[解析] 设球的半径为R,则所求的概率为
P===.
[答案]
14.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是________.
[解析] 依题意知,有信号的区域面积为×2=,矩形面积为2,故无信号的概率P==1-.
[答案] 1-
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于的概率;
(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率.
[解]
(1)正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M-ABCD的高为h,令×S四边形ABCD×h=,∵S四边形ABCD=1,∴h=.
若体积小于,则h<,即点M在正方体的下半部分,∴P==.
(2)∵V三棱柱=×12×1=,
∴所求概率P1==.
15.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值.
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
[解]
(1)依题意共有小球n+2个,标号为2的小球n个,从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球概率为=,得n=2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球,(a,b)所有可能的结果为(0,1),(0,2),(0,2),(1,2),(1,2),(2,2),(1,0),(2,0),(2,0),(2,1),(2,1),(2,2),共有12种,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故P(A)==.
②由①可知,(a-b)2≤4,故x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为
Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},
由几何概型得概率为P==1-.
[延伸拓展]
已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,则方程有实根的概率为多少.
[解] 设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为P(A)==.