中考数学压轴题几何变换10题.docx
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中考数学压轴题几何变换10题
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
几何变换(10题)
一、解答题(共10小题)
1.(2018•金水区校级四模)如图乙,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点为射线,的交点.
(1)如图甲,将绕点旋转,当、、在同一条直线上时,连接、,则下列给出的四个结论中,其中正确的是 .
①②③④
(2)若,,把绕点旋转,
①当时,求的长;
②求旋转过程中线段长的最大值.
2.(2016•天津)在平面直角坐标系中,为原点,点,点,把绕点逆时针旋转,得△,点,旋转后的对应点为,,记旋转角为.
(Ⅰ)如图①,若,求的长;
(Ⅱ)如图②,若,求点的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边上的一点旋转后的对应点为,当取得最小值时,求点的坐标(直接写出结果即可)
3.(2019•沈丘县一模)观察猜想
(1)如图①,在中,,,点与点重合,点在边上,连接,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,与的位置关系是 , ;
探究证明
(2)在
(1)中,如果将点沿方向移动,使,其余条件不变,如图②,判断与的位置关系,并求的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸
(3)如图③,在中,,,点在边的延长线上,,连接,将线段绕着点顺时针旋转,旋转角,连接,则的值是多少?
请用含有,的式子直接写出结论.
4.(2016•湖州)数学活动课上,某学习小组对有一内角为的平行四边形进行探究:
将一块含的直角三角板如图放置在平行四边形所在平面内旋转,且角的顶点始终与点重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段,于点,(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若,求证:
①,②;
(2)类比发现
如图2,若,过点作于点,求证:
;
(3)深入探究
如图3,若,探究得:
的值为常数,则 .
5.(2015•南通)如图,中,,,,点,分别在,上,,.把绕点旋转,得到,点落在线段上.
(1)求证:
;
(2)若点在的平分线上,求的长;
(3)若与重叠部分图形的周长为,且,求的取值范围.
6.(2017•天桥区三模)如图1,已知线段,点关于直线的对称点是点,点为射线上一点,且,连接,.
(1)依题意补全图1,并证明:
为等边三角形;
(2)若,点关于直线的对称点为点,连接、.将绕点顺时针旋转度得到△,点的对应点为,点的对应点为点.
①如图2,当时,连接.证明:
;
②如图3,点为中点,点为线段上的任意一点,试探究:
在此旋转过程中,线段长度的取值范围?
7.(2018•东莞市)已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,如图1,连接.
(1)填空:
;
(2)如图1,连接,作,垂足为,求的长度;
(3)如图2,点,同时从点出发,在边上运动,沿路径匀速运动,沿路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点的运动速度为1.5单位秒,点的运动速度为1单位秒,设运动时间为秒,的面积为,求当为何值时取得最大值?
最大值为多少?
8.(2015•烟台)【问题提出】
如图①,已知是等腰三角形,点在线段上,点在直线上,且,将绕点顺时针旋转至连接
试证明:
【类比探究】
(1)如图②,如果点在线段的延长线上,其他条件不变,线段,,之间又有怎样的数量关系?
请说明理由
(2)如果点在线段的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出,,之间的数量关系,不必说明理由.
9.(2015•潜江)已知,正方形绕点旋转.
(1)当正方形旋转到的外部(顶点除外)时,,分别与正方形的边,的延长线交于点,,连接.
①如图1,若,则线段与之间的数量关系是 ;
②如图2,若,请判断①中的数量关系是否仍成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形旋转到的内部(顶点除外)时,,分别与直线交于点,,探究:
以线段,,的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.
10.(2015•济南)如图1,在中,,,,点为射线上任意一点(不与重合),连接,将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段,直线分别交直线、射线于点、.
(1)直接写出的度数;
(2)如图2、图3,当为锐角或钝角时,其他条件不变,
(1)中的结论是否发生变化?
如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图4,若,,直线与交于,,其他条件不变,求线段的长.
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
几何变换(10题)
参考答案与试题解析
一、解答题(共10小题)
1.(2018•金水区校级四模)如图乙,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点为射线,的交点.
(1)如图甲,将绕点旋转,当、、在同一条直线上时,连接、,则下列给出的四个结论中,其中正确的是 ①②③ .
①②③④
(2)若,,把绕点旋转,
①当时,求的长;
②求旋转过程中线段长的最大值.
【考点】:
几何变换综合题
【分析】
(1)①由条件证明,就可以得到结论②由就可以得出,就可以得出,进而得出结论;③由条件知,由就可以得出结论;④为直角三角形就可以得出,由和是等腰直角三角形就有,,就有就可以得出结论;
(2)①分两种情形、如图乙中,当点在上时,.由,得,由此即可解决问题.、如图乙中,当点在延长线上时,.解法类似;
②如图乙中,以为圆心为半径画圆,当在上方与相切时,的值最大.分别求出即可;
【解答】
(1)解:
如图甲:
①,
,
即.
在和中,
,
,
,①正确;
②,
.
,
,
.
,
,
.
,②正确;
③,,
,
.
,③正确;
④,
,
,,,
,,
,
,
,④错误.
故答案为:
①②③.
(2)①解:
、如图乙中,当点在上时,.
,
,
同
(1)可证.
.
,
.
,
.
、如图乙中,当点在延长线上时,.
,
,
同
(1)可证.
.
,
,
,
,
综上,或.
②解:
如图乙中,以为圆心为半径画圆,当在上方与相切时,的值最大.
理由:
此时最大,因此最大,是直角三角形,斜边为定值,最大,因此最大)
,
,
由
(1)可知,,
,,
,
四边形是矩形,
,
.
综上所述,长的最大值是.
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会分类讨论的思想思考问题,学会利用图形的特殊位置解决最值问题,属于中考压轴题.
2.(2016•天津)在平面直角坐标系中,为原点,点,点,把绕点逆时针旋转,得△,点,旋转后的对应点为,,记旋转角为.
(Ⅰ)如图①,若,求的长;
(Ⅱ)如图②,若,求点的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边上的一点旋转后的对应点为,当取得最小值时,求点的坐标(直接写出结果即可)
【考点】:
几何变换综合题
【专题】15:
综合题
【分析】
(1)如图①,先利用勾股定理计算出,再根据旋转的性质得,,则可判定为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求的长;
(2)作轴于,如图②,利用旋转的性质得,,则,再在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长,然后利用坐标的表示方法写出点的坐标;
(3)由旋转的性质得,则,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,如图②,易得,利用两点之间线段最短可判断此时的值最小,接着利用待定系数法求出直线的解析式为,从而得到,,则,作于,然后确定后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长,从而可得到点的坐标.
【解答】解:
(1)如图①,
点,点,
,,
,
绕点逆时针旋转,得△,
,,
为等腰直角三角形,
;
(2)作轴于,如图②,
绕点逆时针旋转,得△,
,,
,
在中,,
,,
,
点的坐标为,;
(3)绕点逆时针旋转,得△,点的对应点为,
,
,
作点关于轴的对称点,连接交轴于点,如图②,
则,此时的值最小,
点与点关于轴对称,
,
设直线的解析式为,
把,,代入得,解得,
直线的解析式为,
当时,,解得,则,,
,
,
作于,
,,
,
,,
,
点的坐标为,.
【点评】本题考查了几何变换综合题:
熟练掌握旋转的性质;理解坐标与图形性质;会利用两点之间线段最短解决最短路径问题;记住含30度的直角三角形三边的关系.
3.(2019•沈丘县一模)观察猜想
(1)如图①,在中,,,点与点重合,点在边上,连接,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,与的位置关系是 , ;
探究证明
(2)在
(1)中,如果将点沿方向移动,使,其余条件不变,如图②,判断与的位置关系,并求的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸
(3)如图③,在中,,,点在边的延长线上,,连接,将线段绕着点顺时针旋转,旋转角,连接,则的值是多少?
请用含有,的式子直接写出结论.
【考点】:
几何变换综合题
【专题】15:
综合题
【分析】
(1)只要证明,即可解决问题;
(2)如图②中,作交于.利用
(1)中结论即可解决问题;
(3)如图③中,作交的延长线于,作于.只要证明,可证,即可解决问题;
【解答】解:
(1)如图①中,
,
,
,,
,
,,
,,
,
,,
故答案为:
,.
(2)如图②中,作交于.
,
,是等腰直角三角形,
由
(1)可知,,,
,,
,
,
;
(3)如图③中,作交的延长线于,作于.
,
,,
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,,
,,
.
.
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
4.(2016•湖州)数学活动课上,某学习小组对有一内角为的平行四边形进行探究:
将一块含的直角三角板如图放置在平行四边形所在平面内旋转,且角的顶点始终与点重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段,于点,(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若,求证:
①,②;
(2)类比发现
如图2,若,过点作于点,求证:
;
(3)深入探究
如图3,若,探究得:
的值为常数,则 .
【考点】:
几何变换综合题
【分析】
(1)①先证明,都是等边三角形,再证明即可解决问题.②根据①的结论得到,由此即可证明.
(2)设,由题意,,,由,得由此即可证明.
(3)如图3中,作于,于,与交于点.先证明,得,由,,推出,所以,设,,则,,想办法求出,即可解决问题.
【解答】解;
(1)①四边形是平行四边形,,
,
,
,都是等边三角形,
,,,
,
,
,
在和中,
.
②,
,
.
(2)设,由题意,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(3)如图3中,作于,于,与交于点.
,
,
,
,,
,
,
,,
,
,设,,则,,
,,
,
,,,
,,
,
,
.
故答案为.
【点评】本题考查几何变换综合题.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
5.(2015•南通)如图,中,,,,点,分别在,上,,.把绕点旋转,得到,点落在线段上.
(1)求证:
;
(2)若点在的平分线上,求的长;
(3)若与重叠部分图形的周长为,且,求的取值范围.
【考点】:
几何变换综合题
【专题】16:
压轴题
【分析】
(1)先根据勾股定理求出的长,再由相似三角形的判定定理得出,由相似三角形的性质得出,由此可得出
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- 中考 数学 压轴 几何 变换 10