中考数学专题复习易错疑难解析第八章四边形.docx
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中考数学专题复习易错疑难解析第八章四边形
2018年中考数学专题复习易错疑难解析
第八章四边形
【易错点拨】
1.n边形的内角中最多有3个是锐角.
2.多边形外角和为360°,与边数无关.
3.平行四边形的性质常用于证明线段相等,角相等或计算边长或角度等,在应用时注意分清对边、邻边、对角、邻角等.
4.一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.反例如下:
如图27-5,△ABE是等腰三角形,作△DCA≌△EAC,所以∠B=∠E=∠D,AB=AE=DC,显然,四边形ABCD不是平行四边形.
5.在判定矩形、菱形、正方形时,要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的,要熟悉各种判定定理的联系和区别,解题时要认真审题,通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法.
6.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法很多,很容易混淆,复习时要从这几种图形的定义入手,从边、角、对角线三个角度考虑,正确掌握这几种图形之间的区别与联系.
【易错警示】
易错点一:
记错公式的失误
【例题1】(遂宁中考)一个n边形的内角和为1080°,则n=________.
【错解】首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于(n-1)×180°,可得方程180(n-1)=1080,n=7.
【错因】记错了n边形的内角和公式(n-2)×180°.根据题意得180(n-2)=1080,解得n=8.
【正解】8
【案例跟踪】
(2013江苏扬州,6,3分)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是().
A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形
【答案】C.
【解析】根据多边形的内角和公式可知,这个n边形满足:
(n-2)×180=108n.解得n=5.所以应选C.
【方法指导】多边形的内角和公式:
(n-2)×180°.每个内角相等的多边形是正多边形.
【易错警示】记不住多边形的内角和公式而出错.
易错点二:
平行四边形的判定等概念问题要注意“抠字眼”
【例题2】(四川中考)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行,另一组对边相等
C.一组对边平行且相等的
D.两组对边分别相等
【错解】A或C或D
【错因】对于判定定理:
“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,应用时要注意必须是“一组”,而“一组对边平行,另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形.
【正解】B
【案例跟踪】
1.(2016·四川内江)下列命题中,真命题是()
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
[答案]C
[考点]特殊四边形的判定。
[解析]满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假例题.只有选项C中的命题是真命题.
故选C.
2.(2016•内江)下列命题中,真命题是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断;
B、根据菱形的性质作出判断;
C、根据平行四边形的判定定理作出判断;
D、根据正方形的判定定理作出判断.
【解答】解:
A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形;故本选项错误;
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;故本选项错误;
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形;故本选项正确;
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;故本选项错误;
故选C.
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时,必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.
易错点三:
特殊平行四边形判定错误诊断
【例题3】(广州中考)在平面中,下列命题为真命题的是( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是菱形
C.四个角相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【错解】A或B或D
【错因】A.四边相等的四边形不一定是正方形,
例如菱形,故此选项错误;
B.对角线相等的四边形不是菱形,例如矩形,
等腰梯形,故此选项错误;
C.四个角相等的四边形是矩形,故此选项正确;
D.对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,如答图所示,故此选项错误.
【正解】C
【案例跟踪】
(2016河北3分)关于
ABCD的叙述,正确的是()
A.若AB⊥BC,则
ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则
ABCD是正方形
C.若AC=BD,则
ABCD是矩形
D.若AB=AD,则
ABCD是正方形
答案:
B
解析:
A项应是矩形;B项应是菱形;D项应是菱形。
知识点:
矩形的判定:
先判断是平行四边形,再利用对角线相等或者有一个角是直角判定。
菱形的判定:
先判断是平行四边形,再利用对角线垂直或一组相邻的边相等判定。
正方形的判定:
①先确定是矩形,再证明对角线垂直或邻边相等;②先确定是菱形,再证明有个角是直角或者对角线相等。
【疑难解析】
疑难类型之一:
多边形的转化
【例题】[2014·内江]如图26-3,点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.
(1)求证:
△ABM≌△BCN;
(2)求∠APN的度数.
解:
(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC,∠ABM=∠BCN,
在△ABM和△BCN中,
∴△ABM≌△BCN(SAS);
(2)∵△ABM≌△BCN,
∴∠MBP=∠BAP,
∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°,
∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°,
∴∠BPM=∠MBA,
∵∠BPM=∠APN,
∴∠APN=∠MBA=
=
=108°.
【真题链接】
链接1:
如图26-4中图①,②,③,点E,D分别是正△ABC,正四边形ABCM,正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点.
(1)求图①中∠APD的度数;
(2)图②中,∠APD的度数为_________,图③中,∠APD的度数为___________;
(3)根据前面的探索,你能否将本题的情况推广到一般的正n边形.若能,写出推广的问题和结论;若不能,请说明理由.
【解析】 因为正多边形的各边都相等,各角也都相等,所以通过证明两三角形全等得到相等的角,为角与角之间的转化提供条件.
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCD=60°;
∵BE=CD,∴△ABE≌△BCD,
∴∠BAE=∠CBD,∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°.
(3)能.点E,D分别是正n边形ABCM…中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE交于点P,则∠APD的度数为
.
【点悟】 把多边形转化为三角形是解决多边形问题的重要思想方法.
疑难类型之二:
平行四边形的开放与探究
【例题】[2016·中考预测]如图27-12,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件,
“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?
若是,请证明;若不是,请举出反例;
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果……,那么……”的形式)
解:
(1)是真命题.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO.
又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,
∴△ABO≌△CDO,∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)假命题:
①四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;
②四边形ABCD中,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
反例:
如答图①,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形;
如答图②,四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.
【真题链接】
链接2:
如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:
①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:
在四边形ABCD中,________,________.
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【解析】 选用的条件应符合平行四边形的定义或判定定理所具备的条件.
解:
答案不唯一,如:
已知,在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C.
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明:
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.
∵∠A=∠C,∴∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
【点悟】 熟练掌握平行四边形的判定是解决此类问题的关键.
疑难类型之三:
平行四边形的折叠问题
【例题】[2014·成都]如图28-11,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连结A′C,则A′C长度的最小值是________.
【解析】 如答图所示,∵MA′是定值,
A′C长度最小时,A′在MC上,
过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,
∴CD=2,∠ADC=120°,
∴∠FDM=60°,∠FMD=30°,
∴FD=
MD=
,
∴FM=DM×cos30°=
,
∴MC=
=
,
∴A′C=MC-MA′=
-1.
故答案为
-1.
【真题链接】
链接3:
[2014·上海]如图28-15,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C,D分别落在边BC下方的点C′,D′处,且点C′,D′,B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为________(用含t的代数式表示).
【解析】 由翻折的性质得,CE=C′E,
∵BE=2CE,∴BE=2C′E,
又∵∠C′=∠C=90°,
∴∠EBC′=30°,
∵∠FD′C′=∠D=90°,
∴∠BGD′=60°,
∴∠FGE=∠BGD′=60°,
∵AD∥BC,
∴∠AFG=∠FGE=60°,
∴∠EFG=
(180°-∠AFG)=
(180°-60°)=60°,
∴△EFG是等边三角形,
∵AB=t,
∴EF=t÷
=
t,
∴△EFG的周长=3×
t=2
t.
故答案为2
t.
【点评】 折叠的实质是轴对称,折叠前后对应部分重合,即对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
【难点突破】
1.(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)下列命题中,真命题的个数是( )
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(2016贵州毕节3分)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:
EC=2:
1,则线段CH
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- 中考 数学 专题 复习 疑难 解析 第八 四边形