计算线段长度的方法技巧.docx
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计算线段长度的方法技巧.docx
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计算线段长度的方法技巧
计算线段长度的方法技巧
耿京娟
线段是基本的几何图形,是三角形、四边形的构成元素。
初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。
这是介绍几个计算方法,供同学们参考。
1.利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系
例1.如图1所示,点C分线段AB为5:
7,点D分线段AB为5:
11,若CD=10cm,求AB。
图1
分析:
观察图形可知,DC=AC-AD,根据已知的比例关系,AC、AD均可用所求量AB表示,这样通过已知量DC,即可求出AB。
解:
因为点C分线段AB为5:
7,点D分线段AB为5:
11
所以
又
又因为CD=10cm,所以AB=96cm
2.利用线段中点性质,进行线段长度变换
例2.如图2,已知线段AB=80cm,M为AB的中点,P在MB上,N为PB的中点,且NB=14cm,求PA的长。
图2
分析:
从图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。
解:
因为N是PB的中点,NB=14
所以PB=2NB=2×14=28
又因为AP=AB-PB,AB=80
所以AP=80-28=52(cm)
说明:
在几何计算中,要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解,要做到步步有根据。
3.根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解
例3.如图3,一条直线上顺次有A、B、C、D四点,且C为AD的中点,,求BC是AB的多少倍?
图3
分析:
题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又C为AD的中点,即,观察图形可知,,可得到BC、AB、AD又一个方程,从而可用AD分别表示AB、BC。
解:
因为C为AD的中点,所以
因为,即
又
由<1>、<2>可得:
即BC=3AB
例4.如图4,C、D、E将线段AB分成2:
3:
4:
5四部分,M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点,且MN=21,求PQ的长。
图4
分析:
根据比例关系及中点性质,若设AC=2x,则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。
观察图形,已知量MN=MC+CD+DE+EN,可转化成x的方程,先求出x,再求出PQ。
解:
若设AC=2x,则
于是有
那么
即
解得:
所以
4.分类讨论图形的多样性,注意所求结果的完整性
例5.已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,求AC的长。
分析:
线段AB是固定不变的,而直线上线段BC的位置与C点的位置有关,C点可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图5。
图5
解:
因为AB=8cm,BC=3cm
所以
或
综上所述,线段的计算,除选择适当的方法外,观察图形是关键,同时还要注意规范书写格式,注意几何图形的多样性等。
1.已知c、d两点分线段ab为三部分,且ac:
cd:
bd=2:
3:
4,若ab中点为m,bd的中点为为n,且mn=5cm,求ab的长。
2.一知段线AB=15CM,C点在线段AB上,BC=四分之三AC,求BC的长
3.直线AB上,有A,B,C,...,K共n个点,求线段总条数。
4.经过一点可以画______条直线;经过二点可以画______条直线;经过不在同一直线上的三点可以画______条直线.
5.在直线EF上已知四个不同的点依次是A,B,C,D。
已知AB=2,BC=3,CD=4,试在直线EF上找一点P,使PA+PB+PC+PD最小,并求出最小值.(当P为线段BC上任意一点时,最小值为12)
6.同一直线A、B、C、D四点,AD=5/9DBAC=5/9CBDC=4cm求AB的长
7.已知如下图所示线段AB=16,M是AB的中点,C是AM的中点,D是CB的中点,求MD和AD的长
8.A、B、C、D是直线L上的顺次四点,AB,BC,CD的长度之比为2:
3:
4,点E,F分别是AB、CD的中点,且EF=4.8cm,求AB的长
9.已知线段AC和BC在一条直线上,如果AC=5.6cm,BC=2.4cm。
求线段AC和BC的中点间的距离。
10.经过一点可以画______条直线;经过二点可以画______条直线;经过不在同一直线上的三点可以画______条直线.分享给你的朋友吧:
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11图形(线段)
已知AB=14,在线段AB上有C,D,M,N四个点,且满足AC;CD;DB=1;2;4,且M是AC的中点,DN=1/4DB,求线段MN的长度。
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2010-01-2811:
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图形(线段)
已知AB=14,在线段AB上有C,D,M,N四个点,且满足AC;CD;DB=1;2;4,且M是AC的中点,DN=1/4DB,求线段的长度。
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题(线段)
(1)已知AB=12cm,点C为线段AB上任意一点,点P,Q分别为线段AC,BC的中点,求PQ的长
(2)如果点C为线段AB的延长线上任意一点,你能求出PQ的长吗?
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ep8g1873│时间:
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填空(线段)
已知:
M是线段AC的中点,B在线段AC上,AB:
BC=1:
2,AC=6cm,则BM=___________cm
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数学(线段的画法)
已知线段a,用圆规和直尺作一条线段AB,使AB=a(不写做法)
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几何(线段)
已知线段AB上有两点C、D,且AC=BD,M、N分别是线段AC、AD的中点,若AB=acm,AC=bcm,且a、b满足(a-10)平方+|2/b-4|=0求
(1)AB、AC的长度;
(2)求线段MN的长度
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线段问题
已知线段AB=5cm,点C在直线AB上,且BC=8cm,求AC的长度(写明因为和所以)
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线段问题(线段问题)
线段A,B上有两点C,D,点C将AB分为5:
7的两部分,点D将线段AB分为5:
11的两部分,若CD=15CM,求AB长。
(A,B,C,D从左到右排列)
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oa810053│时间:
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yyyy(垂直、垂线段)
垂直与垂线段的区别?
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问题(线段)
p为线段mn上一点,q为np的中点,若mq=6,则mp+mn为?
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比例线段
已知C是线段AC上的一点,且AB:
BC=3:
1,AB=12厘米,求AC的长
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几何(线段)
已知线段AB=12cm,在直线AB上有一点P,且BP=4cm,M是线段AB的中点,N是线段BP的中点.求线段MN的长.(提示:
这道题中只说明点P在直线上,但无法判断点P是在线段上,还是在线段AB的延长线上,所以要分两种情况来解:
①当点P在线段AB上时;②当点P在线段AB的延长线上时)
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题(线段比例)
在长为a的线段AB上有一点C,且AC是AB和BC的比例中项,求线段AC的长。
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路程(线段)
M,N在线段AB上,MN=1/3AN=1/4BM,AN,BM的中点P,Q相距5cm,求线段AB的长
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hkschenmei│时间:
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比例线段(比例线段)
已知线段AB=4,延长AB到C,使AC=3AB,M为AC的中点,判断线段AB是否是线段BM和BC的比例中项,并说明理由
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直线,射线,线段
C是线段AB的中点,D是BC的中点,E是AD的中点,F是AE的中点,线段AF是线段AC的——?
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线段(线段的和与差问题。
)
C为AB中点,D为线段AB的一个三等分点,若AB=9.6则CD=?
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直线(线段)
已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C且BC=4cm,M是线段AC的中点,则AM的长为______。
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线段问题(线段问题)
在黑板上有5个白点,2个白点之间可以连一条红色线段.如果不出现这样的三角形:
顶点都是白色,边都是红色.那么最多能连多少条红色线段?
请画出图来,并说明理由.
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几何2(线段)
已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB。
线段CB是线段AB的几倍?
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直线、射线、线段
已知在线段上依次添加1点.2点.3点……原线段上所成线段的总条数,如下表:
点1234……线段361015……若在线段上添n个点,则线
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guomd│时间:
2007-12-1422:
17│解答教师:
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直线射线线段
已知线段AB=a,点M是线段AB的中点,点C是线段AM的中点,点D是线段CB的中点,求线段MD的长度
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syzshenj│时间:
2007-11-2822:
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比例线段(比例线段)
已知线段AB=4,延长AB到C,使AC=3AB,M为AC的中点,判断线段AB是否是线段BM和BC的比例中项,说明理由 有一条线段AB(任意长度),用直尺和圆规作一个正方形,使他的边长与AB之比为黄金比,写出做法. 有一盒宽与长之比是黄金比,已知长为30,宽为多少?
(保留3个有效数字)
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_烷鎂ヴ賊│时间:
2007-11-2416:
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线段问题
延长线段AB到c点,使BC=3AB,M,N是线段BC上的两点,且BM:
MN=2:
3,MN:
NC=2:
5,AC=100cm,求AB,BM的长.
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TJ602095│时间:
2007-09-2309:
37│解答教师:
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337
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
线段的计算问题
运用“两点之间,线段最短”解决一些实际问题
二.重点、难点:
会利用线段的和差倍分来求线段的长度
掌握线段的计算方法,初步学会简单的几何语言
【典型例题】
[例1]填空
如图,把线段AB延长到点C,使BC=2AB,再延长BA到点D,使AD=3AB,则
①DC=_____AB=_____BC
②DB=_____CD=_____BC
分析:
可以设线段AB的长为1份,则BC的长就为2份,AD的长为3份。
答案:
①DC=6AB=3BC,②DB=2/3CD=2BC
[例2]填空
如图,点M为线段AC的中点,点N为线段BC的中点
①若AC=2cm,BC=3cm,则MN=_____cm
②若AB=6cm,则MN=_____cm
③若AM=1cm,BC=3cm,则AB=_____cm
④若AB=5cm,MC=1cm,则NB=_____cm
答案:
①MN=2.5cm②MN=3cm③MN=5cm④MN=1.5cm。
[例3]根据下列语句画图并计算
(1)作线段AB,在线段AB的延长线上取点C,使BC=2AB,M是线段BC的中点,若AB=30cm,求线段BM的长
(2)作线段AB,在线段AB的延长线上取点C,使BC=2AB,M是线段AC的中点,若AB=30cm,求线段BM的长
答案:
分别画出
(1)
(2)的图形,如图
(1)
∵BC=2AB,且AB=30
∴BC=60
∵点M是BC的中点
∴BM=BC=30cm
(2)
∵BC=2AB,且AB=30
∴BC=60
∴AC=AB+BC=90
∵点M是AC的中点
∴AM=AC=45
∴BM=AM-AB=45-30=15cm.
[例4]如图,已知AB=40,点C是线段AB的中点,点D为线段CB上的一点,点E为线段DB的中点,EB=6,求线段CD的长。
答案:
∵点C是AB的中点
∵CB=AB
∵AB=40
∴CB=20
∵点E是DB的中点
∵DB=2EB
∵EB=6
∴DB=12
∴CD=CB-DB=20-12=8
[例5]如图,AE=EB,点F是线段BC的中点,BF=AC=1.5,求线段EF的长。
答案:
∵BF=AC=1.5
∴AC=7.5
∵点F是BC的中点
∴BC=2BF=3
∴AB=AC-BC=7.5-3=4.5
∵AE=BE
∴AE=AB=1.5
∴BE=2AE=3
∴EF=BE+BF=3+1.5=4.5
[例6]点O是线段AB=28cm的中点,而点P将线段AB分为两部分AP:
PB=:
,求线段OP的长。
分析:
点P到底是在点O的左边还是右边不好确定,还是先利用见比设k法算出AP的长度,再画出图形来。
对照图形计算线段OP的长度。
答案:
设AP=,PB=
依题意有:
+=28
解得:
∴AP==20
∵点O是AB的中点
∵AO=AB
∵AB=28
∴CB=14
∴OP=AP-AO=20-14=6
[例7]
(1)如图,分别在线段AB和BA的延长线上取BD=AE=1.5cm,又EF=5cm,DG=4cm,GF=1cm,若GF的中点为点M,求线段AM和BM的长度。
(2)若线段a、b、c,满足:
a:
b:
c=3:
4:
5,且a+b+c=60,求线段2c-3a-b的长。
分析:
(1)由图可得:
AM=AF-MF,而AF=EF-AE,MF=GF,同理可得BM
(2)要求2c-3a-b的长,只需求出a、b、c的长,使用见比设k法即可
答案:
(1)∵AM=AF-MF
而AF=EF-AE=5-1.5=3.5
∵点M是GF的中点
∴MF=GF=0.5
∴AM=EF-AE-MF=5-1.5-0.5=3
同理可得BM=DG-BD-GM=4-1.5-0.5=2
(2)设a=,b=,c=,
依题意有:
++=60
解得:
=5
∴a=15,b=20,c=25
∴2c-3a-b=50-45-4=1
[例8]如图,在四边形ABCD中作出一点O,使点O到A、B、C、D四点的连线之和最小。
答案:
根据“两点之间,线段最短”,连结AC、BD交于一点O,点O即为所求。
【模拟试题】
一.选择题:
1.已知点C是线段AB的中点,现有三个表达式:
①AC=BC②AB=2AC=2BC③AC=CB=AB其中正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
2.如图,C、B在线段AD上,且AB=CD,则AC与BD的大小关系是()
A.AC>BDB.AC=BDC.AC 3.点A、B是平面上两点,AB=10cm,点P为平面上一点,若PA+PB=20cm,则P点() A.只能在直线AB外B.只能在直线AB上 C.不能在直线AB上D.不能在线段AB上 4.已知线段AB=5.4,AB的中点C,AB的三等分点为D,则C、D两点间距离为() A.1.2B.0.9C.1.4D.0.7 二.填空题: 1.如图,AB+AC______BC(选填“>”或“<”),理由是______________________。 2.已知线段AB,延长AB到C,使BC=AB,在线段AB的反向延长线上截取AD=AC,则有DB: AB=_________,CD: BD=___________。 3.如图,已知AB: AC=1: 3,AC: AD=1: 4,且AB+AC+AD=40,则AB=_____,BC=______,CD=_______。 4.两条相等的线段AB、CD有三分之一部分重合,M、N分别为AB、CD的中点,若MN=12cm,则AB的长为_________。 三.解答题: 1.知B、C是线段AD上的两点,若AD=18cm,BC=5cm,且M、N分别为AB、CD的中点, (1)求AB+CD的长度; (2)求M、N的距离。 2.如图,在已知直线MN的两侧各有一点A和B,在MN上找出一点C,使C点到A、B的距离之和最短,画出图形,并说明为什么最短? 【试题答案】 一.1.D2.B3.D4.B 二.1.>,两点之间线段最短; 2.3: 1,4: 3; 3.AB=2.5,BC=5,CD=22.5; 4.18cm(设AB=x,则AM=DN=x,AD=x, ∴MN=AD-AM-DN=x-x,解得x=18) 三.1.解: 情况一: 如图 (1)∵AB+CD=AD-BC=18-5=13cm (2)∵点M、N分别是AB、CD的中点 ∴MB+CN=(AB+CD)=6.5 ∴MN=MB+BC+CN=6.5+5=11.5cm 情况二: 如图 (1)∵AB+CD=AD+BC=18+5=23cm (2)∵点M、N分别是AB、CD的中点 ∴MA+DN=(AB+CD)=11.5 ∴MN=AD-(MA+DN)=18-11.5=6.5cm 2.解: 如图,连结AB,交MN于一点C,则点C即为所求。 两点之间线段最短。 利用方程计算线段和角 安义人 数学学习中,经常遇到计算线段和角的问题。 解答它们,仅仅从线段或角的和差倍分关系出发,有时很难奏效,若利用设未知数后构造方程的方法,则往往可化难为易。 例1.如图1,已知线段AB,延长AB到C,使 ,D为AC的中点,DC=2,那么AB的长为______。 解: 设AB的长为x,由 ,得 。 因为D为AC的中点,DC=2, 所以AC=2DC=4 因为AB+BC=AC, 所以 解得, 所以AB=3 图1 例2.如图2,点C和点D在线段AB上,且AC: CB=2: 3,AD: DB=3: 4,CD=3,求AB的长。 S 图2 解: 设 。 因为AC: CB=2: 3,AD: DB=3: 4, 所以 。 因为 ,所以 。 解得, 。 所以AB=105。 例3.如图3,已知 ,且 ,求 的度数。 图3 解: 设 ,那么由 ,得 。 所以 。 因为 , 所以 。 因为 , 所以 。 解得, 所以 。 例4.如图4,已知 ,求 的度数。 图4 解: 设 ,那么 。 因为 , 所以 因为 , 所以 解得, 所以
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