高等数学下重要内容要点.docx

高等数学下重要内容要点.docx

《高等数学下重要内容要点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学下重要内容要点.docx（86页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等数学下重要内容要点

高等数学（下）内容要点

第七章向量代数与空间解析几何

1．向量的运算：

模、方向余弦、加、减、积

已知向量a

axi

ayj

azk（ax,ay,az）,bbxi

byj

bzk

（bx,by,bz），则

a

2

ay

2

2

cos

ax

cos

ay

cos

az

ax

az

|a|

|a|

a

cos2

cos2

cos2

1，a

1

ax,ay,az

cos

cos

cos

|a|

数量积：

ababcosa,baPrjabbPrjbaaxbxaybyazbz

注意下面两个性质的应用：

（１）设a是任意向量，则aa

|a|2；

（２）ab

ba；

2

2

2

从而有a

2ab

b

ba

i

j

k

向量积：

ab

absin

a,bc0

ax

ay

az

bx

by

bz

其中c0是同时垂直于a,b的单位向量，且a,b,c0构成右手系。

ab在几何上表示以a,b为邻边的平行四边形的面积。

注意性质：

ab

（b）

a

（b

a）

a1

a2

a3

混和积：

a,b,c

a（b

c）

b1

b2

b3

c1

c2

c3

其中a,b,c的混合积的绝对值等于以

a,b,c为棱的平行六面体体积。

2．向量之间的平行、垂直、共面条件

两向量垂直的充要条件：

abab0.

两向量平行（共线）的充要条件：

1/39

a//b

b

a

ab0

a1

a2

a3.

b1

b2

b3

3．平面与直线

（1）平面及其方程

点法式方程：

（

）

（

）

（

zz0

）0

Axx0

Byy0

C

一般式方程：

Ax

By

CzD

0

截距式方程：

x

y

z

1

a

b

c

x

x1

y

y1

z

z1

三点式方程：

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0

x3

x1

y3

y1

z3

z1

（2）直线方程

点向式方程：

x

x0

y

y0

z

z0

（对称式方程）

m

n

p

一般式方程：

A1xB1yC1zD1

0

A2xB2yC2zD2

0

两点式方程：

x

x0

y

y0

z

z0

（实际是对称式方程）

x1

x0

y1

y0

z1

z0

参数式方程：

x

x0

mt,yy0

nt,z

z0pt

直线的三种方程可以相互转换。

（3）点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离

点M0（x0,y0,z0）到平面AxBy

Cz

D

Ax0By0

Cz0D

0的距离：

d

B2

C2

A2

点M1到直线x

x0

y

y0

z

z0的距离：

d

M0M1s

，

m

n

p

s

其中s为直线的方向向量，M0（x0,y0,z0）。

两异面直线x

x1

y

y1

z

z1

x

x2

yy2

zz2间的距离：

m1

n1

p1

m2

n2

p2

2/39

d

（s1

s2）M1M2

s1

s2

该公式可理解为

（1）直线上的两点M1,M2对应的向量M1M2在（s1

s2）投影的绝对

值。

或

（2）（s1

s2）M1M2

表示s,s,M

M

2

为棱边的平行六面体的体积，而体积又可表

1

2

1

示为s1s2d。

（4）平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂直、相交）。

两平面法向量的夹角（常取锐角）称为两平面的夹角.

两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角）．

直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）

平面束

设有两张不平行的平面，交成一条直线L，过直线L的所有平面的集合称为由

直线L所确定的平面束。

设空间直线的一般式方程为

A1xB1y

C1zD1

0

L:

C2zD2

0

A2xB2y

则方程

（A1xB1yC1zD1）（A2xB2yC2zD2）0（10）

称为过直线L的平面束方程。

其中、为参数，且不全为零。

x

2y

z0

1.过点M（1,1,1）且与直线

2y

平行的直线方程为

2x

3z60

2.已知平面过点（1,

2,0）且与直线

x

6y

z

0

2x

y

3z

垂直，求此平面方程。

10

3.已知向量OAb,OB

a,

ODA

2

，如图

A

b

aba

b

（1）求证:

ODA的面积S

2a

2

.

a

O

B

（2）当a,b夹角为何值时,

ODA的面积为最大

?

D

解

（1）连接AB,则SAOB

1a

b

1a

AD

AD

ab

a

2

2

3/39

同时,

ab

abcos

aOD

OD

a

b

a

1ODAD

aba

b

所以S

2a

2

.

2

aba

b

2

（2）

S

2

1

2

abcos

absin

1b

sin2

2a

2a

4

所以当

4

时,面积为最大.

4.设a

3i

5j

2k，b

2i

j

9k，试求

的值，使得：

1）a

b与z轴垂直；

2）a

b与a垂直，并证明此时

ab取得最小值。

解

首先

a

b=（3

2,5

1,

2

9），

1）a

b与z轴垂直，就是

a

b与基本单位向量k垂直，即{ab}k

0，

从而

（3

2,5

1,

2

9）

（0,0,1）

2

9

0

所以，当

4.5时，a

b与z轴垂直；

2）a

b与a垂直，即（

a

b）a

0

从而有

3（3

2）

5（5

1）

2（

2

9）

38

7

0

所以，当

7时，a

b与a垂直。

38

2

记d

a

b

2）2

（5

1）2

（

2

9）2，

，则d=（3

求导

d

76

14

，得驻点

7，且d''

76

0

，

38

所以当

7时，

a

b取得最小值。

38

5.求两直线

x

2y

5

0与y

0

40

的公垂线方程。

2y

z

4

0

x

2z

解：

直线x

2y

5

0的对称式方程为x

9

y

2

z

0

2yz40

2

1

4

直线y

0

4

的对称式方程为x

8

y

0

z

2

x

2z

0

2

0

1

公垂线的方向向量为

2,1,

4

2,0,

1

1,

10,

2

设垂足分别为（

2t

9,t

2,

4t）,（2u

8,0,

u

2），则

2t

9

2u

8

t

2

4t

u

2,解得t

12,u

0

1

10

2

21

4/39

公垂线方程为x8yz2

1102

5/39

第八章多元函数的微分

一、多元函数的概念、极限、连续

二、偏导数、全微分定义

偏导数：

fx（x0,y0）

lim

f（x0

x,y0）

f（x0,y0），

x

0

x

fy（x0,y0）

lim

f（x0,y0

y）

f（x0,y0）

y

y0

全微分：

设zf（x,y），若z

Ax

By

（）,

x2

y2，则称zf（x,y）

在点（x0,y0）可微，并称dz

Ax

By

zxdx

zydy为z

f（x,y）在点（x0,y0）的

全微分。

注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处

可导可微连续极限存在

二元函数在某点处有

连续极限存在

存在连续偏导数可微可偏导

方向导数存在

三、多元复合函数的求导法则

１．显函数

多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。

在用法则时关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，为此我们把变量之间的关系用图示来表式，称为变量之间的关系图，或称为变量之间的树形图。

另外还

注意抽象复合函数f（xy,xy）等的偏导数的求法，其中主要是正确理解和使用符

号f1,f11,f21等。

6/39

求法：

事实上，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。

如设z

eusinv,其中u

xy,vx

y,求z,

z

x

y

法1

原题即是求z

exysin（x

y）的偏导数

z,

z

x

y

法2

明确变量之间的关系为：

u

z

v

x

y

利用复合函数的求导法则

z

z

u

z

v，z

z

u

z

v即可求出偏导

x

u

x

v

xy

u

y

v

y

数。

法3利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数

dzeudusinveucosvdveusinv（ydxxdy）eucosv（dxdy）

（yeusinveucosv）dx（xeusinveucosv）dy.

所以得zyeusinveucosvyexysin（xy）exycos（xy）

x

２．隐函数的求导法则

我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组），参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。

1）由二元方程F（x,y）

0所确定的一元隐函数yf（x）的导数dy的求法：

dx

（1）显化：

由F（x,y）

0解出y

f（x）（满足隐函数存在定理的条件），利用一

元函数的求导法则，求出

dy。

dx

由F（x,y）0解出x

f（y），利用反函数的求导法则，求出

dy

1

dx

dxdy

（2）视y为x的函数用复合函数的求导则

（3）用隐函数的求导公式dy

Fx

dx

Fy

（4）利用函数的微分

7/39

2）由三元方程F（x,y,z）0所确定的二元函数zf（x,y）或xg（y,z）等的偏导

数

z,x等的求法（与上面相应）

xy

⑴显化：

一般行不通

⑵

视z为x,y的函数，两边分别对x,y求导，则可得到

z,

z

x

y

⑶

隐函数的求导公式

z

Fx

z

Fy

x

Fz

Fz

y

⑷

利用微分

３．方程组

F（x,y,z）

0确定隐函数y

y（x）,z

z（x），求dy,dz

G（x,y,z）

0

dxdx

通过解下面的线性方程组得到

Fx

Fy

dy

Fz

dz

0

dx

dx

Gx

Gy

dy

Gz

dz

0

dx

dx

四、多元函数微分学的几何应用

1．空间曲线的切线与法平面

⑴设空间曲线的参数方程为

:

xx（t）,yy（t）,zz（t）,参数tt0与空间直角点（x0,y0,z0）相对应为切点

则切线向量为sx（t0）,y（t0）,z（t0）

切线方程为xx0yy0zz0

x（t0）y（t0）z（t0）

法平面方程为x（t0）（xx0）y（t0）（yy0）z（t0）（zz0）0

⑵设空间曲线的一般方程为

F（x,y,z）

0

切点为（x0,y0,z0）

:

G（x,y,z）

0

8/39

ijk

则切线向量为s

Fx

Fy

Fz

m,n,p，或为1,y（x0）,z（x0）（将曲线方

Gx

Gy

Gz

（x0,y0,z0）

程转化为参数方程）

切线方程为x

x0

y

n

y0

z

z0

m

p

法平面方程为

（

）

（

）

p

（

zz0

）

0

mxx0

nyy0

2．空间曲面的切平面与法线

⑴设曲面方程为

:

（,

）

0,

M0

（

x0

y0

z0

）为切点

Fx

yz

则切平面的法线向量为n

Fx（M0）,Fy（M0）,Fz（M0）A,B,C

切平面方程为

（

）

（

yy0

）

（

zz0

）

0

Axx0

B

C

法线方程为x

x0

y

B

y0

z

z0

A

C

⑵设曲面的参数方程为

:

xx（u,v）,y

y（u,v）,z

z（u,v）,切点（x0,y0,z0）对应的参数为（u0,v0）

i

j

k

则切平面的法向量为

n

xu

yu

zu

ABC

,

xv

yv

zv

切平面方程为

（

）

（

yy0

）

（

zz0

）0

Axx0

B

C

法线方程为x

x0

y

B

y0

zz0

A

C

五、方向导数与梯度

1．方向导数

定义：

函数f（x,y）在点（x0,y0）处沿l方向的函数的增量

f（x0x,y0

y）f（x0,y0）与这两点（x0,y0）,（x0x,y0

y）的距离

x2

y2之比，当距离

0的极限，记为

f,

l

即

f

limf（x0

x,0y）yf（0x,0y）

l

0

9/39

f表示f（x,y）在点（x0,y0）处沿方向l的变化率。

l

关于方向导数的存在性与计算有下面的定理

定理如果函数f（x,y）在点（x0,y0）可微分，则函数在该点沿任一方向l的方向导数

存在，且有

f

fx（x0

y0）cos

fy（x0,y0）cos

l

其中cos,cos

是方向l的方向余弦，即el（cos

cos）是与l同方向的单位向

量。

（同理有f

fx（x0,y

0,z0）cos

fy（x0,y0,z0）cos

fz（x0,y0,z0）cos）

l

2．梯度

定义：

gradf（x0,y0）

fx（x0,y0