高二数学 上学期巧用直接法求轨迹方程例题解析.docx
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高二数学上学期巧用直接法求轨迹方程例题解析
巧用直接法求轨迹方程
用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件,能够直接找到动点坐标之间的关系,从而得到所求的轨迹方程.其步骤为:
建立坐标系,写出动点P(x,y)的坐标,然后根据已知条件写出等式,得出x、y之间的关系,化简后即得所求的轨迹方程,而已知条件是指题设的要求,有时要借助平面几何的有关定理,分析出数量关系.
一、代入题设中的已知等式
若动点的规律由题设中的已知等式明显给出,则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.
例1动点P(x,y)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即
),求动点P的轨迹方程?
解:
∵|PA|=
代入
得
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.
二、列出符合题设条件的等式
有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程.
例2动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方,求点P的轨迹?
解以C为原点,AB上的高线CD所在直线为x轴建立直角坐标系
设动点P(x,y),则A(
),B(
)列出等式
化简得
三、运用有关公式
有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程.
例3△ABC的两顶点是B(-3,0),(3,0),两底角B、C之和恒为135°,求第三顶点A的轨迹方程.
解∵∠B+∠C=135°,∴∠P=45°,
代入二直线交角公式
化简得
轨迹是两条优弧,B、C两点是轨迹的极限点.
四、借助平几中的有关定理和性质
有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
例4一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程?
解由平几的中线定理:
在直角三角形AOB中,OM=
M点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周.
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