超级全能生届高三毕业班高考全国卷地区联考丙卷数学理试题及答案详解docx.docx

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“超级全能生”

2021届高三毕业班高考全国卷地区4月联考（丙卷）

数学（理）试题

2021年4月

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共12小题,每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x>2},B={x|x2—4x+3W0},则AAB=

A.{x|2WxW3}B.{x|2

24-i6一

2.已知复数三=不，则2=

A.3+4i

B.3-4i

C-3+4i

D.-4-31

3.函数f（x）=普匚的部分图象大致为ln|x|

/-J

4.若COS0=—,0^（0,71）,贝（Jsin（y+y）=

D-t

a4

5.已知递增等差数列｛an｝,ai=l,且a2为ai+1与aa+l的等比中项，则公差d=

A.lB.1或一3C.3或一1D.3

6.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+l）=-f（x）,且当OWxW1时,f（x）=log（x2+2）,则f（-2021）=

A.lB.lg9C.lg3D.O

7.某几何体的三视图如图所示（单位：

cm）,则该几何体的体积（单位：

cm’）是

22

8.已知双曲线E：

二-七=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,P为E左支上位于ab

第二象限的一点,若直线PF2与E的右支相交于Q,且满足PQ=2^,|QF2|=b,则E

的渐近线方程为

A.y=±：

x

B・y=±#x

C.y=±3x

D.y=±^x

9.斐波那契数列（Fibonaccisequence）是数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：

1,123,5,8,13,21,34，…在数学上，斐波那契数列｛an｝用递推关系：

ai=a2=l,an+2=an+i+an来刻画。

执行如图所示的程序框图来计算该数列的第2021项，则

（1）

（2）处分别

填入的是

|s=i兄

~I'

IS=S+T|

I（；）It

|〃=〃+1|

/输出s/

函

A.T=S—T,nN2020?

B.T=S—T,nN2021?

C.T=S,nN2020?

5

D.T=S,nN2021?

10.若a=——,b=——,c=——，则

ln5ln3ln2

A.a

11.设f（x）=e2x—a,g（x）=ln（x+a）（aGR）,^不等式f（g（x））—g（f（x））>0恒成立，则a的取值范围为

A.[0,l]B.（l,+8）C.[-l,l]D.（一8』]

12.已知正方体ABCD-AiBiC]Di的外接球的体积为108右丸，若E,F,G,H分别为棱

A1D1,AB,BC,A1B1的中点，则三棱锥H-EFG内切球的半径为

A.3a/3+3^2B.3右一3很C.3逐一皿D.2右一用

二、填空题：

本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知向量a=（t,—2）,b=（3,2+t）（t/0）,且满足|3a+b|=5,MlJt=。

14.记Sn为等比数列｛an｝的前n项和,公比为q（q/l,qGN*）,满足anSn=2an2—an+i,nUN*,则数列｛an｝的通项公式为an=o

15.已知（m—2x）5展开式中各项系数和为32,（J^+Z）n的展开式中二项式系数和为

512,则学+*

沪展开式中常数项为

。

（用数字作答）

22

16.已知抛物线C：

y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆E：

^-+^-=1的一个焦点重合,

过坐标原点。

作两条互相垂直的射线OM,ON,与C分别交于M,N,则直线MN过定点o

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22,23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17.（12分）

在AABC中，角A,B,C所对边分别是a,b,c,满足4acsinBcosB=a2sin2C+c2sin2Ao

（I）求B；

（II）若c2+a2+ac=16,求AABC面积的最大值。

18.（12分）

如图所示，在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=AD=1,点E是棱AA］的中点，且异面直线BD与CD］所成角的余弦值为互。

10

①证明：

AC〃平面BiDE；

（II）求锐二面角Bi—ED—B的余弦值。

19.（12分）

2021年2月11日20：

00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行。

晚会中,华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动、形象、深刻地呈现出来,描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天。

为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分（满分100分），并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：

0.0400

0.0350

0.0300

0.02500.02250.0200

0.0150

0.0100

0.00750.0050

0

①试估算春晚评分的平均值;

（II）假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分,则认为观众对

春晚是不满意的。

研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各

100名，发现年龄在45岁以上的100名的观众中满意的有60人,年龄在45岁以下的

观众中满意的有35人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表,并分析是否有

99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关?

45岁以下

45岁以上

合计

满意

不满意

合计

（III）由问题（II）,现从45岁以上的观众中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的

问卷调查,并从这10人中随机选出3人颁发参与奖励,设获得参与奖励的不满意的观众人数为X,求X的分布列及数学期望。

附:

P（K2>k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k。

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

_n（ad-be）'

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

n=a+b+c+d。

20.（12分）

已知函数f（x）=ax2—21nx（aWR）。

（I）若f（x）在（l,f（l））处的切线与直线6x-y+8=0平行，求f（x）的单调区间；

（II）已知函数g（x）=—2（a—1）x+2,且不等式f（x）—g（x）N0在xG（0,+8）恒成立，求a的最小整数值。

21.（12分）

22

已知椭圆E：

二+七=1（。

〉力〉0）过点M（右,皿）尸1尸2为E的左、右焦点，且满足ab

3

|FiF2|<4,cosZFiMF2=-o

⑴求E的方程；

（II）过Fi作互相垂直的直线Zi与h分别与E交于A,B和C,D,求|AB|+|CD|的取值范围。

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题计分。

作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.［选修4-4：

坐标系与参数方程］（10分）

已知点C（—l,0）,P（—1,2）,曲线Ci的参数方程为［x=T+后、为参数），曲线C2的参、y=2+t

数方程为「=T+「c°s°（0为参数），以坐标原点0为极点,x轴正半轴为极轴建立极y=rsin。

坐标系，若C1与C2相交于A,B两点且|AB|=2右o

⑴求Ci的普通方程,C2的极坐标方程；

㈤求点扁的值。

23.［选修4-5：

不等式选讲］（10分）

已知函数f（x）=|2x-l|-|2-x|（xGR）o

0

①解不等式f（x）N—2x+$；

Q

（II）记不等式f（x）^—2x+-解集中兀素数值最小值为m,若正实数a,b,c满足a+b

+c=2m,证明：

（9—3b—ac—a2）（a+b）8abco

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超级全能生”

2021届高三毕业班高考全国卷地区4月联考（丙卷）

数学（理）试题参考答案详解

2021年4月

“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考丙卷

数学（理科）答案详解

1.B【解析】本题考查集合的交集运算、一元二次不等式的解法，考查数学运算核心素养.集合B=\x\x2-

4先+3w°1={先11与先与3},408=\x\2<%3（,故选B.

2.B【解析】本题考查复数的运算和共辗复数，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.复数z=率二顶=

3-41

^^=3+43=3-4、故选B.

3-41

3.C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理核心素养•因为六-%）=寿节=气芸

所以六丸）是偶函数，故排除选项A,D；因为/（100）=/100,-100\

5,所以排除选项B,故选C.

21nl0

4.D【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.因为cos。

=&=2c£g-1,所以2cos2g=襄测cos?

g=凄.因为徙（0,兀）,所以gc（0,专），所以$血（专+§）=cosg=-^■，故选D.

8.C【解析】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由\QF2\=b,TQ=2宙，所以IPF2I=36.由双曲线的定义得1户『21-IPF,1=2a,即IPF】I=IPF2I-2a,所以IPFXI=3b-2a,同理可得I0已I=2a+在△户尤儿和△QFiF2中,cosNPF2Fi=⑶「+罗二9"2疙=2*jb*2c

整理可得3a=b所以双曲线e2,o・2c

的渐近线方程为>=±3们故选C.

9.A【解析】本题考查程序框图、数学文化,考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.执行第一次循环，S=

l+l=2,a3=S=2,此时⑴中T的值应为a2的值，即

5.D【解析】本题考查等比数列的性质、等差数列的通项公式，考查数学运算核心素养.因为a2=l+J,a3=l+2d,且a?

为a】+1与a3+1的等比中项，所以（1+疔=（1+1）（2+2/）,解得d=3或-1（舍），故选D.

6.A【解析】本题考查函数的奇偶性与周期性,考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由/（》）满足/（%+!

）=-/（X）得7U+2）=/（、）,所以函数/U）的最小正周期7=2,且当OwylBt,/（x）=lo&（?

+2）,/（%）为偶函数，所以/（-2021）=/（2021）=/

（1）=1,故选A.

7.D【解析】本题考查几何体的三视图、锥体的体积，考查运算求解能力、空间想象能力,考查数学运算核心素养.根据三视图可知,其还原后的几何体为三棱锥。

，的，将其补形为边长为2的正方体ABCD-

G功，如图所示，其体积Vgg=yx2xyxlx2=y,故选D.

r=l,若

（1）处所填的算法步骤为T=S,显然1=2,矛盾,故排除C,D选项，故T=S-T；第一次循环，经过算法步骤S=S+T后S=a3，〃=l+1=2;第二次循环,经过算法步骤S=S+『后厂a4,n=2+1=3.依此类推，最后一次循环，经过算法步骤S=S+T后S=a2O2l,n=2019+1=2020,n=2020满足判断条件，应跳苗循环体，则n^2021不成立，故排除B选项，故选A.

10.D【解析】本题考查指数式与对数式的大小比较,考查运算求解能力，考查数学运算与逻辑推理核心素养.

__530.33030__

°"ln5"61n5"1H56*ln3"101n3"ln310*C"ln2"

端=黑.3,0=GT>仃尸=2.5=（25）3>（52）3=56,/.In310>ln215>InS6,/.<普j<吕,ln3InzIru

即b

11.B【解析】本题考查函数的性质、不等式恒成立,考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.令y=/（g（%））-g（f（x））（x>-a）,根据题意得y=e2ln（I+o）-a-lne2x=（%+a）2-a-2x=x2+（2a-2）x+a2-a.因为函数y=x2+（2a-2）x+a-a（x>-a）的对称轴为x=\-a>-a,再结合二次函数的性质得（l-a）?

+（2（z-2）（1-a）+a2-a=a-1>0,解得a>1,故选B.

12.B【解析】本题考查正方体的外接球、球的体积、三棱锥的内切球，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、直观想象核心素养.设正方体外接球的半径

17.【名师指导】本题考查正弦定理、二倍角公式、三角形的面积公式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学运算核心素养.

（I）由正弦定理、二倍角公式，并结合角B的取值范围，即可求解；（n）由已知条件利用基本不等式可得w的取值范围，再结合三角形的面积公式即可求解.解:

（I）由二倍角公式得4acsinBcosB=2a2sinCeosC+

为R,由正方体的外接球的体积为号穴商=10873n,得R=3沔.设正方体的棱长为a,则3a2=（2«）2=4x（3沔F,解得a=6.根据题意得EH=FG=3再,EF=HG=3^[6,HF=6,EG=6>/2，所以EF2+FG2=EG2,EH2+HG2=EC：

所以FG_LEF,HG_LEH.又因为HF_LFG,HFC\EF=F,所以FG_L平面EFH,所以三棱锥H-EFG的表面积S表=S-efh+S-ehg+Safg+S^hgf=-yx6x3/2+^-x3/6x3/2+-yx3/6x372+4~x6x3^2=1872+1873.设三棱锥H-EFG内切球的半径为「，根据等体积法得Vh-efg=Vg_efh=S^efh*FG=-x-S表,r,艮[1r=

2c2sin4cos4,（1分）

由正弦定理得2sin4sinCsinBcosB=sin24sinCeosC+sin2Csin4cos4.（2分）

'/4,CG（0,7t）,/.sin4尹0,sinC尹0,/.2sinScosB=sin4cosC+cosAsinC,

即2sin8cos8=sin（A+C）=sinB.（4分）

/（0,7t）,sinfi^O,/.cosB=,（5分）

13*=-1【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.根据向量坐标运算得3a+b=（3z+3,z-4）,故（3z+3）?

+（z-4）2=25,解得£=0或£=-1.又因为z#0,所以t=-1.

14.a“=2"【解析】本题考查等比数列的通项公式和前

..B=专.（6分）

（II）,•'c2+a2+ac=16,16-ac=a2+c2>2ac,

当且仅当a=c=停时，等号成立，（8分）

.•.acw¥，（10分）

址。

1•D116734/3

fix0A4BC=~2"sin"W万x言-x2=，

则&此的最大值为当.（12分）

18.【名师指导】本题考查线面平行的判定定理、二面角，考查推理论证能力，考查直观想象、数学运算核心素养.

（I）利用线面平行的判定定理即可证明；或以A为坐标原点,建立合适的空间直角坐标系，求出益和平面们OE的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式

几项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.当n=1时,a】Si=2a?

-a2,所以a2=a?

=a】g,所以血=q,故aS=2a：

-%+i,nGN*，即anSn=2an-anq=a„（2an一g）,几CN'，所以Sn=2an-q,nCN”，故当zi=2时，S2=a]+a2=2a2一g,即/一2g=0.因为g尹l,g€N,，所以g=2,故a„=2”.

15.84【解析】本题考查二项式的展开式,考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题知m=4,n=9,故（齐+*）'=（*+亡）'展开式中常数项为（^=84.

16.（4,0）【解析】本题考查椭圆、抛物线的几何性质、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.因为抛物线C：

寸=2舛（p>0）的焦点F与椭圆+*=1的一个焦点重合，所以F（l,0）,p=2,所以抛物线C的方程为矿=4%.设OM的方程为y=血，与抛物线C的方程联立得财（圭'，*"），同理可得点N〈4k。

-4k）,故

—r+4k,,3,

直线MN的斜率kMN==j:

a4-._,2（k#

±1）,故直线MN的方程为>+4&=2*（x-4k2）,

1-k~

整理得y=]七2（先-4）,故直线MN过定点（4,0）;当k=±1时,直线初V的方程为％=4,过点（4,0）,故直线初V过定点（4,0）.即可证明；（II）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系,分别求出平面BDE和平面&OE的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解.

解法一：

（I）证明：

设4C与切的交点为。

，取BXD的中点F.

在长方体ABCD-角&G中，AB=AD=\.

。

为BD的中点，尸为为D的中点，

..OF//BB,,且OF品BBi.（2分）

•.•在长方体ABCD-AXBXC,Dx中，点E是棱的的中点，

AE//BBl=/.OF〃AE,且OF=AE,

四边形AEFO为平行四边形，（4分）

:

.EF//AO,即EF//AC.

•：

EFU平面B、DE,ACC平面B】DE,亿4C〃平面BiDE.（6分）

（[I）依题意，以A为坐标原点MB,初,S所在的直线勿别为欠轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设仇=a,

可得4（0,0,0）,8（1,0,0）,0（。

，1,0）,C（1,1,0）,

4（0,0,a）,"（0,1,a）,

.•.茹=（-1,1,0）,2=（-1,0,a）,

可得点4（0,0,0）,6（1,0,0）,0（0,1,0）,C（1,1,0）,

lcos〈E，茹〉I=

lEl商I

1V5

一.再一]0，

解得a=3（舍负），（2分）

故点B,（l,0,3）,E（0,0,y）,

.•诚=（1,0,号），商=（0,1,一普）花=（1,1,0）.

1（0,0,a）,WO,1,a）,

.•.前=（-1,1,0）=（-1,0,a）,

lcos〈E，前〉I

~CD^~BD

\CD,I\BD\

设平面的法向量为〃=（%,〉,z）,

则[fl•竺1=0,即”*+3z=0,

2•剧）=0,】2y-3z=0,

不妙z=2,可得〃二（一3,3,2）,/.AC,n—-3+3+0=0,

4C〃平面&DE.

（n）设平面BDE的法向量为血=（初5,Z]）,

（4分）

（6分）

=.再=而

解得a=3（舍负）,

故点包（1,0,3）,芯（0,0,4），

（7分）

由（I）知商二（0,1,-号），商=（-1,1,0）,

[m-~ED=Q,[2力-3zi=0,

Im^BD=0,I-+/!

=0,不妨取z=2,可得m=（3,3,2）.（8分）

由（I）知平面务班:

的一个法向量为“=（-3,3,2）,

4

/22x/22

.•荷=（1,0,~|），曲=（0,1,一号）,设平面&班:

的法向量为〃=（们y,z）,

则｛:

膏3即｛爻2:

不妨取z=2,可得n=（-3,3,2）.（8分）

设平面BDE的法向量为机=（由5,Z］）,

曲=（0,1,-号）,前=（-1,1,0）,

=J2yi—3zi=0,

Im*~BD=0,［-先i+yi=0,

不妨取z=2,可得m=（3,3,2）,（10分）

/\.\m*n\442

Icos\m,n/i=—；—；_r=—=■==-^=VT,

\m\-\n\/22x/2222H

.•.锐二面角B\-ED-B的余弦值为*.（12分）解法二：

（I）证明：

依题意，以4为坐标原点，4B,AD,AA,所在的直线分别为，轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所不，设A4,=a,

__4_2_

=22=TT,

锐二面角B.-ED-B的余弦值*.（12分）

19.【名师指导】本题考查频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数据分析与数学运算核心素养.

（I）根据频率分布直方图即可求解;（［］）根据题意列出2x2列联表，求出K2并与临界值表进行比较，即可判断;（【II）根据题意得出X的所有可能取值，求出相应的概率，即可得到分布列,进而求出数学期望.

解:

（I）估计春晚评分的平均