常微分方程第三版答案.docx
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常微分方程第三版答案
习题1.2
1-—=2xy,并满足初始条件:
x=0,y=l的特解<>ax
解:
—=2xdx两边积分有:
ln|y|=x"+c
\・
y=e'+e*'=cex"另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0
原方程的通解为y=CCX'>x=0y=l时c=l
特解为尸e'•
2.y'dx+(x+1)dy=O并求满足初始条件:
x=0,y=l的特解。
d、、J
解;y2dx=-(x+1)dy—ydy=dx
V"x+1
两边积分:
—=-ln|x+l|+ln|cl
y
y=
InIc(x+1)I
另外y=O,xAl也是原方程的解
x=0,y=l时c=e
特解*时
3.
dy1+
dx
xy+x^y
解:
原方程为:
字-1122
dx
两边积分:
x(l+x")(l+y")=cx
4.(1+x)ydx+(l-y)xdy=O
解:
原方程为:
—dy=-—dx
X
两边积分:
另外x=0,y=0也是原方程的解。
5•(y+x)dy+(x-y)dx=O解:
原方程为:
dy_X-y(lxX+y
Ay«,dydw小X亠
令厶斗则划+x――代入有:
Jdxax
H+1JIJ
—;du=—dx
ir+1J
ln(u^+l)x^=c-2arctgu
即ln(y^+x')=c-2arctg-^.
牙・
Vl-zr
du=sgnx—dx
X
-r=0
r
x\
dxX
X
dy
du
—=u+X
dx
dx
解:
原方程为:
则令丄=u
X
6.X—-y+7?
dx
=sgnxInIXI+c
•yarcsin—
X
7.tgydx**ctgxdy=O
解:
原方程为:
-^=—
fgyctgx
两边积分5ln|sinyl=-ln|cosxHln|c|
1c
siny==另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.
CCOSXCOSX
所以原方程的通解为sinycosx=c.
°旳a
8—+—0
dx
解:
原方程为:
学丄』
axy
2=c.
9.X(Inx-lny)dy-ycbt=O
解;原方程为s——In—
axXX
V…dydu
令二=U,则——=u+X—Jdxdx
duu+z—=ulnudx
ln(lnu-l)=-ln|cx|
V
1+ln—=cy.
J
AdyLy
10.—=e*
dx
解:
原方程为:
i
e'=ce11—=(x+y)
dx
“A+dyd"解:
令x+y=u,则十=1
axdx
竺2dx
du=dx
1+zrarctgu=x+carctg(x+y)=x+c
Jv1
12.
13.
■
dx(x+y)~
"▲—心d"
解:
令x+y=u>则丄=——1
axax
du1
—"-1=—7
dxtr
u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c・
dy_2x-y+\dxA-2y+l
解:
原方程为:
(x-2y+l)4y=(2x-y+l)dxxdy+ydx"(2y-l)dy-(2x+l)dx=O
乍丁
dxy-d(y'-y)-dx"+x=cxy-y■+y~3t"-x=c
dy_x-y+5
dxx-y-2
解:
原方程为5(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=Odxy-d(—y'+2y)"d(—x'+5x)=0
22
y2+4y+x2+10x-2xy=c.
15:
—=(x+l)'+(4y+l)'+8xy+Idx
解:
原方程为:
—= ax Aidy1dH1 令x+4y=u则——= dx4dx4 1du1、 y+3 4dx4 du, —=4u・+13 (lx 3,、 u=—tg(6x+c)-l 2 Y〃Y 16: 证明方程一乎=f(xy).经变换刃包可化为变*分离方程,并由此求下列方程: yax 1)y(l+x^y^)ix=xdy 2)X心二2+x: y: ydx2-x"y" 证明;令xy=u>则X—+y=— dxdx 1duu T•有: X(lxX" =f(u)+1 If du=—dx H(/(K)+I)J 所以原方程可化为变S分离方程• 、*Jv1duIt 1)令xy=u则丄-="—- dxXdxX" 原方程可化为: —=-[1+(xy)2] (2) dxX 』小、亠亠1山(UU,乍、 将1代入2式有J(1+u*) Xaxx~X u=Jw,+2+cx 17•求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解: 设(X+y)为所求曲线上任意一点,则切线方程为: y=y'gX)+y则与X轴,y轴交点分别为: X=Xo-绎y=Yo-Xoy y 则x=2=Xq-所以xy=c y 18•求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中cr=- 4 解: 由题意得: y —dy=—dxyX ln|y|=ln|xc|y=cx. It a=— 4 则y=tgaX 所以c=ly=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线.证明: 设gy)为所求曲线上的任意一点,则b=kx 则;y=kx'+c即为所求。 常微分方程习题2.1 e/v 1.—=2xv,并求满足初始条件Jx=0,y=l的特解.dx 解: 对原式进行变量分离得 —dy=两边冋时积分得dn|y|=+c即y=把x=O,y=1代入得 c=l,故'比的特角军为^=幺" 2・y〃x+(x+l)心=0■并求满足初始条件: x=0,y=l的特解.解: 对原式进行变量分离得: iix=—Vdy\当yHOH寸,两边同时积分得inx+1=—+c,B|Jy= Vc+lnx+1 y 当y=a甘显然也是原方程的解当X=0』=l时,代入式子得故特解是 X+I )一l+lnl+・Y 2 3心-1 解: 原式可化为: 22 空=4■•二飞显然匸丄工。 故分离变量得-^dy=-L-dxdxyx+xyi+y-x+x (心0),即(l+y)(l+F)=c2 两边积分得^hU+y =Inx|——In1+才+Inc 2 故原方程的解为Q+y)(1+x'^X 5: (y+x)dy+(y-x)dx=0 购dyy-xAydy丄du W: —=,令一=«,y=M儿一=u+X— dxy+xX"Jxiix 则u+X—=—.^^分离.得L上工山心丄厶 i/xU+1U+1X 两边积分得J«zr/&M+;ln(l+“■)=-ln忖+乙 6: 堆*+JF_)广 解.令L=//,y=nx,—=U+A: —,PJfJ原方程化为: Xdxdx i/x ,分离变量得: jJ«=sgnA■•-J.VX/,-X 两边积分得: arcsiin/=sgnx♦ln|Aj+c代回原來变量,t'farcsiii—=sgnx•\n\x\+c X 另外,y=兀2也是方程的解。 7: fgydv-etfjxJy=0 解: 变量分离,得: dg刃Y=tgxilx两边积分得dn|smy|=-ln|cos-v|+c. V*3x y 解: 变量分离・ 9: x(lnX-Iny)Jy一ydx=0 解: 方程可变为: ―In—•i/v——dx=Q X'X 令"=上,贝y有丄〃A;=—""dm// XX1+InW 代回原变量得: b=l+ln上。 X 10: 虬严 dx匕 解: 变量分离”Jy=£“iix两边积分y=e+c 4: (1++(1—y}xdy=0 解: 山y=0或r=0是方程的解,当巧hum,变量分离土厶=上2小,=0 XV =G 两边积分InX+X+Iny—y=c,即Inxy+x-y=故原方程的解为ln|咄=x-y=c;y=0;x=0・ 小、.T-V 矿e 解: 变量分离"y=€仏两边积分得: d=d+Q 哙弋+刃2 解: 令v+y=f,则空=虫+1dxdx 原方程可变为竺=1+1 dx 变量分离得r——dt= 代回变量得: arctg(x+y)=x+c 令;V+y=f,则生=竺_1,原方程可变;/L=l+ldxdxdxZ" F 变量分离——dt=dx.两边积分r-azrfgf=x+G代回变量r+1 x+y-arctg(x+y)=x+c13竺=2-yT dxX-2y+\ 解: 方程缈x_y-l=0,x_2y+1=0;的解也=.y=- 人V1V11泅若2x-y. 令x=X—=y+_■则有——=・ 33dXX-2Y 令L=u.则方程可化为: X也=2-2U+2U X(IX\-2U 变量分离 14竺 dxX-y-2 解^令X-y=5+则生=1一竺, dxdx 原方程化为1-虫=-^,变量分离(r-7)dr-7厶 dxt-1 两边积分=-7x+c 代回变量*(X—y+5丁一7(x-y+5)=-7x+c.厶 15.;^=("1尸+⑷+1)2+盹+ 解: 方程化: ^^^-=x"+2x+l+16y"+8y+1+8号+1=(A+4y+1)"+2dx 令1+“4),»,则关于X求导得1+4色=也,所以丄^=“2+2, dxdx -”■4 228 分离变量齐me 厶,两边积分得"cfg(-+—x+-y)=6x+e,是 原方程的解。 16. dy_/-2x- 解: e/v ()a)2-2x2 3_3[(y3)2_2F] dxy'(2xy^+Fdx2xy^+" 令/=愉则原方程化为 du 3m--6a-' dx2xit+x~ 牙・ 2-+I X =z+A-—,所以3z~6=込+片冬,dxdx2z+l(fx 2z+l dx2z+1 当z2_z-6=0,得z=3或z=-2是 (1)方程的解。 艮慣=3x或)》=_2x是方程的解。 当z2_z-6hOHL变量分离严+1dz亠心两边积分的G-3)7(z+2)3=xNZ-z-d 即()/_3*(屮+203=“c乂因为)/=3兀或〉卩=-2兀包含在通解中牡=0H寸。 故原方程 的解为C/-3x)7(: /+2x)3=2怙 dy_2x^+3x>'+X 17.,s—— dx3x-y+2y-y 解: 原方程化为牛=|^£|令专;;;;;务=务■為# 人1M.tdu2v+3/(+1 令“;;;;;;;则_=齐冇口 f2"+3w+l=0的解为a,_D;令z=p_h,Y=“+i,方程组3v+2u-1=0 2+3》 ;;O…从而方程Q)化为空=3+2三 z Ay^/vdt匕匕八Idf2+3t 令t=—f,贝fJW—=r+z—r,所以t+z—=,, zdzdzdz3+2f dt2-2/' z—= dz3+2f •⑵ 2-2f2=OI时,9即f=±l,是方程 (2)的解Q得y, =大2_2或F=是原方程的解 2-心呗,分离变量笙茅妇如两边积分術+宀(八宀2),• 另外 r=x2-2,或包含在其通解中,故原方程的解为r+x2=(y2一兀2+2)5( 解: 令心。 如普磐二匸船若m工。 得宀T矛盾。 △f 所畑om”(Eto"'+")7⑴=to爲t;;(播"(O)(】+Jf)) 警沖+m) 化)=才(0)山两边积分得arctgx(t)=x'(0)t+c 1+D X(t)=tg[s'(0)t+c]当t=0时X(0)=0故c=0所以x(t)=tg[s*CO)t] 习题2.2 求下列方程的解 1〃)• 1.—=y+sinxdx 解: y=e妙(Jsinxe」“厶+。 ) =亡"[-—(suix+cos%)+c] 2 =ceJ—(sinx+cosx)是原方程的解。 2 dxh 2.—T3x=e-'dt dV 解: 原方程可化为: —=-3x+e-^ dt 所以: e"eJm山+c) =c+是原方程的解。 ^5 ds1. 3・一=-scosz+—sin2fdt2 AM卜cosfdfzf1•Afsrff 解: s=eJ(J—sin2Ze^dt+C) =ef(Jsinfcosf严'df+C -sin//・.sin/sin/\ e(sinZe—e+c) e"n'+sin/-l是原方程的解0 4.冬-纬=宀,dxn n为常数. 解: 原方程可化为: 冬=6,+0* dxn =x\e^+c)是原方程的解. 5-少上去+0dxX" z/v1—2V dx 解: 原方程可化为: —=■—y+1X" dx+c) (ln.r+->«-In =e2(卜 =x\i+ce^}是原方程的解. 6. 解€ 则y=(tv Jvdu —=u+x— dxdx 因此J«+%— dxUdn1 dxu irdu=dx -3x=x-i-c (*) 将1=»带入(*)中得,y3-3x4=c? 是原方程的解. X 7型一空十+iy dxx+1 解竺=空+(“1)3 dxx+1 尸皿之=("1)2 方程的通解为: y』皿力+C) =(x+l)-(f7*(x+l)'dx+c) J(x+1)- =(x+l)2(J(x+1)dx+c) 即: 2y=c(x+l)-+(x+ir为方程的通解。 解竺=型ZL丄“y2dyyy 则p(y)=-.e(y)=r fp(y)d7用 e』=■=y 方程的通解为: X二JPg(J「JPSdQy)心+c)=y(f-*Ad'+c) Jy 二y+cy 即+cy是方程的通解,且炖也是方程的解。 9竺=空+出卫为常数dxX 解: MA)=-,e(x)=— XX 方程的通解为: y二丿川”皿皿 10.Q+y"dx 5Jv13 解: 亠=一一y+x(lxX =x"(f——dx+c) Jx"X a=0(甘,方程的通解为y=x+ln/x/+c a=1时,方程的通解为y=cx+xln/x/T "0,1时,方程的通解为 e(x)J%+c)P{x}=--,Q{x}=x^ fp(Q必■卩办1 €丿=0小=— X 方程的通解为: y=e y=cx Xi -P—一 1-aa =—(fx*r\/x+c) XJ x'c =—+— 4X 方程的通解为: y=-+- 4X II.^+,vy=xy dx 解: 竺=_与+小/dx 两边除以b dyJ3亦"…^^=-2{-xy~-+x^)令yJ=z —=-2(-xz+x^) dx P{x}=lx,Q{x}=-2x』呱=严=/方程的通解为: z=丿⑴必(『丿“力”边⑴必+^) =eh(J ■*■(一2.「)dx+C) =x"+ce^'+1 故方程的通解为: ),仗2+加'+1)=1,且y=0也是方程的解。 …,小,,C7InX1 12.(yInX-2)yax=xdy—x~+-^+—Andy\nx72v解: 十=—y一一- axXX 两边除以y2 cly_Inx2)厂* y~dxXX dy-'_InA-2y-' dxXX 令y-l=2dz2InX PM=-,Q(x)=-— XX 方程的通解为: Z=e^(IeJQ(x)dx+c) 旦皿+c) X (-dx>-f-rftInX Z=0(f 儿()Jx+c)=x"{ JX cJInx1=—X'++- 424 方程的通解为: ),(£/+—+-)=1,且尸0也是解。 424 13 2xydy=(2y"-x}dx dy_2y"-x_y1 dx2xyX2y这是n-l时的伯努利方程。 两边同除以一, y JvV"1 y—: -= dxX2 令W字=2)卑 (ixax 虬亠竺_1 dxXX 2 P(s)=—Q(x)=-1 J 由一阶线性方程的求解公式 p7fT I—dvP—f—dt Z=(Jy"dx+e) =x+x~c =x+x~c 两边同乘以£「4=(Ry+E dxX (lx x~ 竺=沁 dx dx dzV+3xz3zz" =— XX' dx 这是n=2时的伯努利方程. X' 两边同除以r 1dz 31 》1 Z"(lxxzX" dT 1dz z? dx P(X)=— dx dT-3TI,•>•—? dxXx~ Q(x)=4 X' 由一阶线性方程的求解公式 f—rftIf-rfv T=』*(J—clx+c) 一尹心 —x~e+ce=x 2 —+xe=c 2 dx小+x'y3 dx3 ——=yx+yXdy 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以 AX+b rdyX' 竺=_2f也 dydy dz dy 一马一2y'=-2>7-2y'P(y)=-2yQ(y)=一2才 由一阶线性方程的求解公式 Z=€卜曲(J-2汽-卜曲心+C) =f7(-J2y^e-"dy+c) =_y・+l+cQ +{+ee~-')={ 込jF+c•厂f 16y=K+[y(/)山 一*一必 =0*+y(x) P(x)=lQ(x)=^由一阶线性方程的求解公式 y=J皿(J几T": 仪+c) =e'(je'e~\fx+c) =K(x+c) (x+c)=e"+[e"(X+c)dx c=l y=f\X+C)17设函数0(t)于一8〈t〈+8上连续,0(0)存在且满足关系式0(t+s)=e(t)0(S) 试求此函数。 令t=s=O得(P(0+0)=0(0)0(0)tip(P(0)=0(0)2故0(0)=0或0(0)=I (1)当仇0)=0时 0(f)=0(/+0)=0(/)卩(0)即0(f)=0 Vfe(-8,+8 (2)当0(0)=1时 必)=]im农十Jim呦卩⑷)一呦 03 △f AttO Az △f AtO△/2/tO Az =0(O)0(f) 干是1(纟=0(o)0(f)变量分离得空=0(0)〃/积分0=1・严°"dt(P 由于0(0)=1,KPt=0时0=1=>c=l 故0(0=严°" 20.试证: (1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(23)之解: (2)若>■=y(x)是(2.3)的非零解,而y=y(;v)是(2.28)的解,则方程(2・28)的通解可表为y=cy{x}+y(x),其中f为任意常数. (2.28) (3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明: ^=P(x)y+G(x) dx (2.3) (1) 儿是(2.28)的任意两个解 (1)- (2) 学=P(小+Q(x)dx 字=P(x)”+Q(x)(lx 得 (1) 心宀)*(恥卞) dx 即y=”一儿是满足方程(2.3〉所以,命题成立。 (3) dyWnzX -^—=P{x}y ax 今—血)+g) ax (4) 1)先证y=cy+y是(2.28)的一个解。 于是cx(3)+(4)得 学+字=cP(x}y+P(x)y+Q(x)axax M(Q+))=pa)(cy+y)+e(x)ax 故y=cy+y是(2.28)的一个解。 2)现证方程(4)的任一解都可写成cy+y的形式 设”是(2.28)的一个解 则 于是(4’)-(4)得 (4’) dx 从而 "iP{x)dx )i一y=卅=O' 所以, ”=y+cy命题成立。 (3) 设儿,儿是(2.3)的任意两个解 (5) ^=p(g ax (6) 孕=戶(龙)儿 ax 于是 (5)xc得^=cP(x)y3dx =P(x)(cy3)其中c为任意常数dx 也就是满足方程(2.3) (5)±(6)得 学土字=P⑴儿土P(x)儿axax dx 即些3訂⑴(以儿) 也就是y=±满足方程(2.3〉所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 (5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方: (6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项: 解: 设P(x.y)为曲线上的任一
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- 微分方程 第三 答案