最新高考理科数学全国卷1试题与答案word版.docx
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最新高考理科数学全国卷1试题与答案word版
2017年高考理科数学(全国卷1)试题及答案
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则()
A.B.
C.D.
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内
随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()
A.B.C.D.
3.设有下面四个命题
:
若复数满足,则;:
若复数满足,则;
:
若复数满足,则;:
若复数,则.
其中的真命题为()
A.B.C.D.
4.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为()
A.1B.2C.4D.8
5.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是
A.B.C.D.
6.展开式中的系数为()
A.15B.20C.30D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和
等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三
角形该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和
为()
A.10B.12
C.14D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么
在和两个空白框中,可以分别填入()
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A1000和n=n+1
D.A1000和n=n+2
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin(2x+),
则下面结论正确的是()
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14C.12D.10
11.设x、y、z为正数,且,则()
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()
A.440B.330C.220D.110
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=___.
14.设x,y满足约束条件,则的最小值为____.
15.已知双曲线C:
(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB
分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重
合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积
(单位:
cm3)的最大值为_______.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,
求二面角A-PB-C的余弦值.
19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量服从正态分布,则,
,.
20.(12分)已知椭圆C:
(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),
P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,
证明:
l过定点.
21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
答案及解析
一、选择题:
ABBCDCBDDADA
二、填空题:
13.14.15.16.
17、【解析】
(1)S△ABC=absinC=,得bsinC=
由正弦定理,得sinB·sinC=,解得sinB·sinC=.
(2)由题知cos(B+C)=cosB·cosC-sinB·sinC=-=-,即cosA=,A=.
由正弦定理,,
则有
由余弦定理,得,解得
∴△ABC的周长为
18、【解析】
(1)由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.∵AB//CD,∴AB⊥PD,
又AP∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)记AD的中点为O,连接PO,则有PO⊥AD,
∵AB⊥平面PAD,∴OP⊥AB,
又AD∩AB=A,∴OP⊥平面ABCD.
以O为原点,分别以、、方向为x轴、y轴、
z轴建立如右图所示的空间直角坐标系.不妨假设OA=1,
于是有A(1,0,0),B(1,,0),C(-1,,0),
D(-1,0,0),P(0,0,1).
∴,,
设是平面PAB的一个法向量
∴,得,令x=1,得
同理可求得是平面PBC的一个法向量.
∴
由于二面角A-PB-C是钝二面角,则二面角A-PB-C的余弦值为.
19、【解析】
(1)由题意知,X~B(16,0.0026),
∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416=1-0.9592=0.0408,
X的数学期望E(X)=16×0.0026=0.0416.
(2)(i)由
(1)知,出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率为0.0408,如果如此小的概率在一次试验中发生了,有理由相信出现异常情况.
(ii),,剔除9.22,
剔除后,,,
.
20、【解析】
(1)由椭圆的对称性可知,P2,P3,P4在椭圆C上.
把P2(0,1)代入C,得,即b2=1,把P4(1,)代入C,得,即a2=4.
∴椭圆C的方程为.
(2)设直线l的方程为y=kx+n(n≠1),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,得
由韦达定理,得,
,即
,即
由于n≠1,n-1≠0,得,解得
∴直线l的方程为,即,∴l过定点(2,-1).
21、【解析】
(1)由题知,f(x)的定义域为R,
,其中恒成立.
若a≤0,则恒成立,,则f(x)在R上单调减;
若a>0,令,解得;令,解得.
即当时,;当时,.
∴f(x)在上单调减,在上单调增.
(2)若a≤0,f(x)在R上单调减,至多只有一个零点,不符,舍去;
若a>0,当x→+∞时,f(x)→+∞;x→-∞时,f(x)→+∞.
要使f(x)有两个零点,只要即可
只要即可,即
令,则在(0,+∞)上单调减
又,∴当,即0<a<1时,,.
即f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,1).
22、【解析】
(1)消去参数θ,得曲线C的普通方程为.
当a=-1时,消去参数t,得直线l的普通方程为.
联立,解得,
∴C与l的交点坐标为(3,0)和.
(2)设曲线C上任意一点P,
消去参数t,得直线l的普通方程为.
∴点P到直线l的距离
由题知,,即
当a+4>0时,则有,解得;
当a+4≤0时,则有,解得;综上,a的值为8或-16.
(三)大学生购买消费DIY手工艺品的特点分析
(2)缺乏经营经验
23、【解析】
三、主要竞争者分析
(1)当a=1时,,又,
当x<-1时,,解得,舍去
然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限,故也限制了我们一定的购买能力。
因此在价格方面要做适当考虑:
我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。
一定会适合我们的学生朋友。
当-1≤x≤1时,,解得,即
当x≥1时,,解得,即,
综上,不等式的解集为.
(2)当-1≤x≤1时,.要使不等式的解集包含[–1,1],
在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格,点面氛围及服务。
只要在[–1,1]上恒成立,只要在[–1,
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