八年级数学上册第二章实数教案北师大版.docx
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八年级数学上册第二章实数教案北师大版
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第二章实数
§2.1.1数怎么又不够用了
(一)
知识与技能目标:
1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为有理数;并能说出现由.
过程与方法目标:
1.让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神.
2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.
情感态度与价值观目标:
1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.
3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神.
教学重点
1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数.
教学难点
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
有两个边长为1的正方形,剪刀.
投影片两张:
第一张:
做一做(记作§2.1.1A);
第二张:
补充练习(记作§2.1.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?
[生]在小学我们学过自然数、小数、分数.
[生]在初一我们还学过负数.
[师]对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?
下面我们就来共同研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.问题的提出
[师]请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?
[生]好.(学生非常高兴地投入活动中).
[师]经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.
[师]现在我们一齐把大家的做法总结一下:
下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢?
[生甲]a是正方形的边长,所以a肯定是正数.
[生乙]因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a2=2.
[生丙]由a2=2可判断a应是1点几.
[师]大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?
a是分数吗?
请大家分组讨论后回答.
[生甲]我们组的结论是:
因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.
[生乙]因为,…两个相同因数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.
[师]经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.
2.做一做
投影片§2.1.1A
(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
[师]请大家先回忆一下勾股定理的内容.
[生]在直角三角形中,若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2.
[师]在这个题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b是有理数吗?
请举手回答.
[生甲]因为22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整数.
[生乙]没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.
[生丙]因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.
[师]大家分析得很准确,像上面讨论的数a,b都不是有理数,而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P25随堂练习
如图,正三角形ABC的边长为2,高为h,ofsquareroot),其中a叫被开方数.
[师]我们共学了几种运算呢,这几种运算之间有怎样的联系呢?
请大家讨论后回答.
[生]我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
[师]大家非常聪明且爱动脑子,回答问题正确率极高,很值得表扬,希望你们能继续发扬下去.
2.平方根的性质
[师]请大家思考以下问题.
(1)一个正数有几个平方根.
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢?
[生]第一个问题在前面已作过讨论,一个正数9有两个平方根3和-3;
因为只有零的平方为零,所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根,例如-3没有平方根.
[师]太精彩了.一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根.
3.讲解例题
[例]求下列各数的平方根.
(1)64;
(2);(3)0.0004;(4)(-25)2;(5)11.
解:
(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8;
(2)因为(±)2=,所以的平方根是±,即±=±;
(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±=±0.02;
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25;
(5)11的平方根是±.
[师]请大家口述上题中各数的算术平方根.
[生]64的算术平方根为8;的算术平方根为;0.0004的算术平方根为0.02;(-25)2的算术平方根为25;11的算术平方根为.
4.想一想
(1)()2等于多少?
()2等于多少?
(2)()2等于多少?
(3)对于正数a,()2等于多少?
解:
(1)()2=64;
()2=;
(2)()2=7.2;
(3)()2=a(a>0)
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.求下列各数的平方根
1.44,0,8,,441,196,10-4
解:
因为(±1.2)2=1.44,所以1.44的平方根是±1.2,即±=±1.2;
因为02=0,所以0的平方根是0.
即±=0;
因为(±)2=8.所以8的平方根是±;
因为,所以的平方根是±,即±;
因为(±21)2=441,所以441的平方根是±21,即±=±21;
因为(±14)2=196,所以196的平方根是±14,即±=±14;
因为10-4=,(±)=,所以的平方根是±,即±=±=±=±.
2.填空
(1)25的平方根是_________;
(2)=_________;
(3)()2=_________.
解:
(1)±5;
(2)5;(3)5.
(二)补充练习
投影片:
(§2.2.2B)
1.判断下列各数是否有平方根?
并说明理由.
(1)(-3)2;
(2)0;(3)-0.01;(4)-52;(5)-a2;(6)a2-2a+2
2.求下列各数的平方根.
(1)121;
(2)0.01;(3)2;(4)(-13)2;(5)-(-4)3.
1.分析:
一个数有没有平方根,就看它是不是负数,是负数就没有平方根;不是负数就有平方根.
解:
(1)∵(-3)2=9>0
∴(-3)2有平方根
(2)∵0的平方根是它本身
∴0有平方根
(3)∵-0.01<0
∴-0.01没有平方根
(4)∵-52=-25<0
∴-52没有平方根
(5)当a=0时,-a2=0,有平方根
当a≠0时,-a2<0,没有平方根.
(6)∵a2-2a+2=(a-1)2+1,无论a取何有理数,(a-1)2+1>0
∴a2-2a+2有平方根.
说明:
(1)负数没有平方根
(2)第(4)小题容易犯错误,-52=25>0.
2.分析:
根据平方与开平方互为逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根,其中2,(-13)2=169,-(-4)3=64,把带分数化为假分数,含有乘方运算先求出它的幂.
解:
(1)∵(±11)2=121
∴121的平方根是±11
即±=±11;
(2)∵(±0.1)2=0.01
∴0.01的平方根是±0.1
即±=±0.1;
(3)∵2,(±)2=
∴2的平方根是±
即±=±;
(4)∵(-13)2=169,(±13)2=169
∴(-13)2的平方根是±13
即±=±13;
(5)∵-(-4)3=64,(±8)2=64
∴-(-4)3的平方根是±8
即±=±8.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容.
1.平方根的概念.
2.平方根的性质.
3.平方根与算术平方根的区别与联系.
4.求某些非负数的算术平方根和平方根.
Ⅴ.课后作业
习题2.4.
Ⅵ.活动与探究
1.对于任意数a,一定等于a吗?
解:
不一定
当a=2时,=2
当a=时,
当a=0时,=0
当a=-2时,=2
当a-时,=.
综上所述,当a≥0时,=a
当a<0时,=-a
2.中的被开方数a在什么情况下有意义,()2等于什么?
解:
因为任意数的平方都是非负数,也就是非负数才有平方根,所以被开方数a必须是正数或零,即非负数时有意义.
当a=1时,()2=12=1
当a=4时,()2=22=4
当a=时,
当a=时,
当a=0时,()2=0.
所以()2=a(a≥0)
板书设计
§2.2.2平方根
(二)
一、平方根的定义;
平方根的性质;
平方根与算术;
平方根的区别与联系.
二、例题讲解
三、练习
四、小结
五、作业
§2.3立方根
知识与技能目标:
1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
过程与方法目标:
1.在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想.
2.发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非.
情感态度与价值观目标:
当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯,能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点训练学生的类比思想的养成.
教学重点
立方根的概念.
教学难点
1.正确理解立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
3.区分立方根与平方根的不同之处.
教学方法
类比学习法.
教具准备
投影片两张:
第一张:
平方根与立方根的联系与区别(记作§2.3A);
第二张:
补充练习(记作§2.3B).
教学过程
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了平方
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