特征值与特征向量考研复习.docx
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特征值与特征向量考研复习
特征值与特征向量考研复习
一、特征值和特征向量
1、有关定义:
(1>定义1:
设为阶矩阵,是一个数,如果存在非零的维向量,使得:
,则称是矩阵的一个特征值,非零向量为矩阵的属于<或对应于)特征值的特征向量。
(2>定义2:
称矩阵称为的特征矩阵,它的行列式称为的特征多项式,=0称为的特征方程,其根为矩阵的特征值。
2、特征值、特征向量的求法:
设是阶矩阵,则是的特征值,是的属于的特征向量的充分必要条件是是=0的根,是齐次线性方程组的非零解。
3、特征值、特征向量的基本性质
(1>如果是的属于特征值的特征向量,则一定是非零向量,且对于任意非零常数,也是的属于特征值的特征向量。
(2>如果是的属于特征值的特征向量,则当时,也是的属于特征值的特征向量。
(3>阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值。
(4>
(5>
(6>设是的特征值,且是属于的特征向量,则
(a>是的特征值,;
(b>若可逆,则且是的特征值,=。
上述结果在某种意义上可以说:
的特征值是,其中是的特征值。
(7>设为n阶矩阵A的不同特征值。
分别是属于的特征向量,则线性无关。
4、典型例题
例1(四/93>设2是可逆矩阵的一个特征值,则有一特征值为(>。
A、B、C、D、
解:
,选B
练习:
1、(一/98>设是阶矩阵的一个特征值,则必有特征值。
解:
因为,所以的特征值为,
从而是的一个特征值。
2、(三/08>设三阶矩阵的特征值分别为,则。
解:
的三个特征值为,所以
3、(四/96>设有四阶方阵满足:
,,。
求的一个特征值。
解:
由知:
是的一个特征值
由,知:
所以的一个特征值为
例2(一/95>设是阶矩阵,满足,,求。
解:
法一:
由,知:
而,所以
法二:
设是的任意一个特征值,是对应的特征向量,则
由得,
,即的特征值是1或,
而,所以的特征值至少有一个是,因此
同类型:
(四/90>设方阵A满足,试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。
例3(一、二/08>设为二阶矩阵,是二个线性无关的列向量,,则的非零特征值为。
解:
由于,所以的一个非零特征值为1。
例4(三/02>设为阶实对称矩阵,是可逆矩阵。
已知是的属于特征值的特征向量,则属于特征值的特征向量是(>。
A、B、C、D、
解:
,因此,得选B
例5(四/08>设三阶矩阵的特征值互不相同,且,则。
解:
由知:
至少有一个特征值为0
又的特征值互不相同,所以只有一个特征值为0。
因此
例6(一、二、三/05>设是矩阵的二个不同特征值,对应的特征向量分别为,则线性无关的充要条件是(>。
A、B、C、D、
解:
线性无关的充要条件是只有零解
由线性无关得:
只有零解的充要条件是选B
例7(三/90>设为阶矩阵,是的二个不同特征值,分别是属于的特征向量,试证明不是的特征向量。
证明:
若是的特征向量,则存在一个数,使得:
又
所以
即,又线性无关,所以
与是的二个不同特征值矛盾,所以不是的特征向量。
例8(三/04>设阶矩阵,(1>求的特征值和特征向量;(2>求可逆阵,使得为对角矩阵。
解:
(1>
所以
1>若,则个特征值均为1,此时,所以
是个线性无关的特征向量
2>若,则当时,
所以是个线性无关的特征向量
当时,
得是它的一个基础解系。
(2>当时,,且
当时,,且
例9(三、四/98>设都是非零维向量,且满足条件。
记。
求:
(1>;(2>的特征值和特征向量。
解:
(1>
(2>设是的任意一个特征值,是对应的特征向量,则
所以,又,所以,
即的个特征值均为0。
由于都是非零向量,所以不妨设。
当时
所以基础解系为:
。
从而对应的所有特征向量为:
,其中不全为零。
√例10(四/03>设可逆,是的一个特征向量,是对应的特征值,求的值。
解:
由是的属于的一个特征向量,且可逆知:
,且
即,从而
代入得:
得:
或。
√练习:
(一、三/99>设矩阵,且。
又设A的伴随矩阵有特征值,属于的特征向量为,求的值。
解:
由得:
,解得:
又,所以。
√例11(一/92>设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为:
,又
(1>将用线性表示;(2>求(为自然数>。
解:
(1>解
则
得:
(2>
(也可以用相似矩阵先求,再求做,但是比较麻烦>
√例12(二、三、四/08>设为三阶矩阵,是的分别属于的特征向量,向量满足,(1>证明线性无关;(2>令,求。
解:
(1>设(1>
所以
代入得:
(2>
(1>(2>得:
由于是的分别属于的特征向量,所以线性无关,
因此,再代入(1>式得:
,因,所以
从而线性无关
(2>
所以。
例 设是一个阶正交矩阵,证明:
<1)如果有特征值,则的特征值只能是1或;<2)如果,则是的一个特征值;<3)如果,且是奇数,则1是的一个特征值。
证明:
(1>设是矩阵的一个特征值,是对应的特征向量,则。
从而 (*>
由于是正交矩阵,所以。
从而由(*>式得:
。
因为,所以。
因此,即。
(2>
所以,即是的一个特征值。
(3>
由此得。
例 设分别是阶矩阵,如果是矩阵的属于非零特征值的一个特征向量,证明是的属于特征值的一个特征向量。
证明:
因为是矩阵的属于特征值的一个特征向量,所以。
两边乘得:
(*>
如果,则
与,矛盾。
所以。
因此由(*>式知:
是的属于特征值的一个特征向量。
例 设,其中不全为零,求的特征值和特征向量。
解:
因为不全为零,所以不妨设。
设是矩阵的任意一个特征值,是对应的特征向量,则。
注意到,易得:
。
又因为,所以是对称矩阵。
从而一定可以对角化。
因此的秩等于对应对角矩阵的秩。
而,所以只有一个非零特征值:
,其余的个均为0。
当时,
所以基础解系为:
从而对应的所有特征向量为
当时,
所以基础解系为:
。
从而对应的所有特征向量为
二、矩阵的相似
1、相似的定义:
设A、B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P,使得成立,则称矩阵A与B相似,记作。
2、相似的性质
(1>若二个矩阵相似,则它们具有相同的特征值;
(2>若二个矩阵相似,则它们具有相同的行列式;
(3>若二个矩阵相似,则它们具有相同的迹
(4>若二个矩阵相似,则它们具有相同的秩
(5>若阶矩阵相似,即。
则(为任意非负整数,当可逆时,还可以为任意负整数>且。
3、可对角化的定义及条件
(1>定义:
若方阵A可以和某个对角矩阵相似,则称矩阵A可对角化。
(2>可对角化的条件:
(a>n阶矩阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
(b>若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则矩阵A一定可对角化。
4、实对称矩阵的对角化
(1>实对称矩阵的特征值都是实数;
(2>实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的;
(3>设A为n阶实对称矩阵,则存在n阶正交矩阵Q,使为对角阵;
(4>史密特正交化方法。
5、典型例题
例1(三/00>若四阶矩阵相似,的特征值为,则。
解:
因为相似,的特征值为,所以的特征值为
从而的特征值为,故
例2(三/99>设与为阶矩阵,且与相似,则(>。
A、
B、与有相同的特征值与特征向量
C、与都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数,与相似
解:
D
例3(四/03>设,已知与相似,则(>。
A、2B、3C、4D、5
解:
由与相似得:
,而相似矩阵的秩相等,所以
例4(三/92>设与相似,(1>求;(2>求可逆阵,使得。
解:
(1>是的特征值,所以,得
又,所以
(2>略
例5(四/95>设,且三阶矩阵满足,试求。
解:
因为有三个不同的特征值,所以可以对角化,且
,使得,下略
例6(四/99>设,问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?
并求出和相应的对角矩阵。
解:
,所以
由于可对角化,所以
而,所以。
其余略。
例7(四/00>设,已知有三个线性无关的特征向量,2是的二重特征值。
试求可逆矩阵,使得为对角形矩阵。
解:
由有三个线性无关的特征向量,2是的二重特征值知:
2有二个线性无关的特征向量,所以
所以。
下略。
练习:
(三、四/94>设有三个线性无关的特征向量,求应满足的条件。
解:
所以
当时,
由于是二重根,且有三个线性无关的特征向量,所以
因此
当时,,此时,符合要求。
故应满足的条件是:
。
√例8(一、二/04>设矩阵特征值有一个二重根,求的值,并讨论是否可以对角化。
解:
因为有重根,所以
(1>是的解,得:
特征值为
当时,
得基础解系为,
当时,
得基础解系:
因为有三个线性无关的特征向量,所以此时矩阵能对角化。
(2>,得:
。
当时,
得基础解系为
当时,
得基础解系为
因为只有二个线性无关的特征向量,所以矩阵不能对角化。
例9(一/03>设矩阵,求的特征值和特征向量。
解:
的特征值与对应的特征向量分别为:
和
所以特征值与对应的特征向量分别为:
和
而与相似,所以二者的特征值相同。
所以的特征值为
由于,所以是的特征向量。
(注意到和知:
的特征向量可选>,
由此得:
的特征值为对应的特征向量分别为:
例10(四/05>设为三阶矩阵,是线性无关的三维列向量,且满足
,,
(1>求矩阵,使得;(2>求矩阵的特征值;(3>求可逆阵,使得为对角阵。
解:
(1>
所以。
(2>记,则,因此求的特征值转化为求的特征值。
的特征值和对应的特征向量分别为:
和
记,则
所以,故
例11(一/01>已知三阶矩阵与三维列向量,使得向量组线性无关,且满足。
(1>记,求使得;(2>。
解:
(1>
故,即。
(2>
。
例12(三/96>设矩阵。
(1>已知的一个特征值为3,试求;(2>求矩阵,使得为对角矩阵。
解:
(1>由得:
。
(2>由于是对称矩阵,所以也对称。
可以求出正交矩阵,使得是对角矩阵,则即为所求。
具体的计算略。
例13(一/95>设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求。
解:
设是的属于的特征向量,则与正交。
所以,得基础解系为。
记(正交矩阵,一般可以通过史密特正交化的方法得到>,则
所以。
练习:
1、(三/97>设三阶实对称矩阵的特征值是;矩阵的属于特征值1、2的特征向量分别为。
(1>求的属于特征值3的特征向量;(2>求矩阵。
解:
设是的属于3的特征向量,则与正交。
故
,下略。
2、(四/04>设三阶实对称矩阵的秩为2,是A的二重特征值,若都是A的属于特征值6的特征向量,(1>求的另一特征值和对应的特征向量;(2>求矩阵。
解:
因为的秩为2,所以,因此至少有一个特征值为0,故另一特征值为0。
其余同上,略。
例14(三、四/07>设三阶对称矩阵三个特征值分别为,是的属于的特征向量,记,(1>验证是的特征向量,并求的特征值及特征向量;(2>求。
解:
(1>由三个特征值分别为得:
的特征值为
(比较完整的写法是:
设是的特征值,则是的特征值,所以的特征值为>
设是的对应特征值的特征向量,且是对称矩阵,所以与正交,即,由此解得:
(2>记,,则
由此得:
。
例15(一/02>设为同阶矩阵,(1>如果相似,试证它们的特征多项式相同;(2>
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