高考第一轮复习数学教案集共87课时doc合的概念与运算.docx

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高考第一轮复习数学教案集共87课时doc合的概念与运算

第一章集合与简易逻辑

•网络体系总览

集合及元素

集合旳基本概念~U

1

1

集合与集合的关系1

1

1集合的

应用

集合分类及表示

集合

3r

交集、并集、环集

卄H子集，包含与相等

•考点目标定位

1•理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.

2•掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合

3•理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条

件的意义•

4•学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质•

•复习方略指南

本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集

合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容•逻辑联结词与充要

条件这部分，以充要条件为重点考查内容•

本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：

1•复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用•

2•主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚•

3•要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相

互对照可加深对双方的认识和理解•

4•复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的•

5•集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通

集合的概念与运算

•知识梳理

1•集合的有关概念

2•元素与集合、集合与集合之间的关系

（1）元素与集合：

或“.

（2）集合与集合之间的关系：

包含关系、相等关系

3•集合的运算

（1）交集：

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为AAB,即卩AAB={x|x€A且x€B}.

（2）并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合

B的并集，记为AUB，即AUB={x|x€A或x€B}.

（3）补集：

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A匸S）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为」sA,即*sA={xx€S且x-A}.

•点击双基

1.（2004年全国n,1）已知集合M={x|x2V4},N={x|x2—2x-3v0}，则集合MAN等于

A.{x|xv—2}B.{x|x>3}C.{x|—1vxv2}D.{x|2vxv3}

解析：

皿=©|/<4}={x|—2vxv2},N={x|x2—2x—3v0}={x|—1vxv3}，结合数轴，

•••MAN={x|—1vxv2}.答案：

C

则（-rA）AB等于

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}

C.{3,4}D.{4}

解析：

「rA={x€R|x>5—.2},而5—-2€（3,4）,•（」rA）AB={4}.

答案：

D

3.（2004年天津，1）设集合P={1,2,3,4,5,6},Q={x€R|2

A.PAQ=PB.PAQ^Q

C.PUQ=QD.PAQ=P

解析：

PAQ={2,3,4,5,6},•PAQ—P.

答案：

D

4.设U是全集，非空集合P、Q满足P：

Q：

U,若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集0,则这个运算表达式可以是.

解析：

构造满足条件的集合，实例论证.

pr

U={1,2,3},P={1},Q={1,2},则（」uQ）={3},CuP）={2,3},易见

r

uQ）AP=•-.

答案：

（-uQ）AP

5•已知集合A={0,1},B={x|x€A,x€N*},C={x|A},则A、B、C之间

的关系是•

解析：

用列举法表示出B={1},C={0,{1},{0},A},易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系•

答案：

B-A,A€C,B€C

•典例剖析

X

【例1】（2004年北京，8）函数f（x）=』

-x

个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x）,x€P},f（M）={y|y=f（x）,x€M}.给出下列四个判断，其中正确判断有

①若pnm=，贝yf（p）nf（m）=._②若pnm丰、，贝yf（P）nf（m）工

③若PUM=R，贝yf（P）Uf（M）=R④若PUM工R，贝Uf（P）Uf（M）工R

A.1个B.2个C.3个D.4个

剖析：

由题意知函数f（P）、f（M）的图象如下图所示.

设P=:

X2,+8）,M=（—8,X」•••|X2|V|X1|,f（P）=:

f（X2）,+m）,f（M）=

:

f（X1）,+8）,贝ypnm=0.

而f（P）nf（M）=:

f（X1）,+8）M._,故①错误侗理可知②正确.设P=:

X1,+8）,M=（—8,X2：

TIX2IVX1I,贝yPUM=R.

f（P）=:

f（X1）,

+8）,f（M）

=[f（X2）,+8）,

f（P）Uf（M）=

:

f（X1）,+8）

丰R,故③错误.同理可知④正确

答案：

B

【例2]已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b<0}且AnB={x|0vx<2},AUB={x|x>—2},求a、b的值.

解：

A={x|—2vxv—1或x>0},

设B=:

X1,X2L由AnB=（0,2]知X2=2,

且一1

①

由AUB=（—2,+8）知—2wx1w—1.

②

由①②知x1=—1,x2=2,

--a=一（X1+X2）=一1,b=XrX2=—2.

评述：

本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并

的方法•

深化拓展

（2004年上海，19）记函数f（x）=J2_%+3的定义域为A,g（x）=

\x+1

lg［（x-a—1）（2a—x）（av1）的定义域为B.

（1）求A；

（2）若B二A，求实数a的取值范围.

提示：

（1）由2—匚？

>0,得口>0,

x+1x+1

•••xv—1或x>1,即卩A=（—m，—1）U［1,+a）.

（2）由（x—a—1）（2a—x）>0,得（x—a—1）（x—2a）v0.

av1,…a+1>2a.…B=（2a,a+1）.

1

•/B二A,・・・2a>1或a+1w—1，即a>或a<—2.

2

1、

而av1,・・一wav1或aw—2.

2

故当BA时，实数a的取值范围是（一^，―2］U：

1,1）.

2

【例3】（2004年湖北，10）设集合P={m—1vmW0},Q={m€R|mx2+4mx—4v0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.P-QB.QPC.P=QD.PAQ=Q

剖析：

Q={m€R|mx+4mx—4v0对任意实数x恒成立},

对m分类：

①m=0时，—4v0恒成立；

②mv0时，需△=（4m）2—4xmx（—4）v0,解得mv0.

综合①②知mW0,・Q={m€R|mw0}.

答案：

A

评述：

本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

【例4】已知集合A={（x,y）x2+mx—y+2=0},B={（x,y）|x—y+仁0,0wxw2},如果AABM._,求实数m的取值范围.

剖析：

如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.

事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线求+mx

—y+2=0与线段x—y+仁0（0wxw2）有公共点，求实数m的取值范围”•这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质

「2

丽,x十mx—y+2=0,

解：

由丿'得

x—y+1=0（0Ex兰2）,

2

x+（m—1）x+1=0.

①

•/AABM._,・方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由△=（m—1）—4》0，得m》3或mw—1.

当m>3时，由x1+x2=—（m—1）v0及X1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当mw—1时，由x1+x2=—（m—1）>0及X1X2=1>0知，方程①有两个互为倒数的正

根.故必有一根在区间（0,1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

综上所述，所求m的取值范围是（—a,—1］.

评述：

上述解法应用了数形结合的思想•如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线

段x—y+仁0（OWx<2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比入的取值范围建立关于m的不等式来解.

深化拓展

设m€R,A={（x,y）|y=—3x+m},B={（x,y）|x=cos0,y=sin0,Ov0v2n},

且AAB={（cos01,sin01）,（cos02,sin02）}（0产02）,求m的取值范围.

提示：

根据题意，直线y=—.3x+m与圆x2+y2=i（xm1）交于两点，

•••11v1且0m—x1+m.

I2（-3）2

••—2vmv2且mM3.

答案：

—2vmv2且mM.3.

答案：

C

2.（2004年上海，3）设集合A={5,log2（a+3）},集合B={a,b}.若AAB={2},

则AUB=.

解析：

•••AAB={2},•log2（a+3）=2.

•-a=1.••b=2.

•A={5,2},B={1,2}.•AUB={1,2,5}.

答案：

{1,2,5}

3.设A={x|1vxv2},B={x|x>a},若A^B,贝Ua的取值范围是.

解析：

A：

B说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a<1.

答案：

aw1

2

4.已知集合A={x€R|ax+2x+仁0,a€R}只有一个元素，则a的值为

1

解析：

若a=0,则x=.

2

右am0,△=4—4a=0,得a=1.

答案：

a=0或a=1

5.（2004年全国I,理6）设A、B、丨均为非空集合，且满足ABI,则下列各式中

错误的是

C.AQ（」iB）=•一D.（」iA）Q（11iB）=」iB

解析一：

•••A、B、丨满足A^B^I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都

是正确的.

解析二：

设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足ABI.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的.

答案：

B

6.（2005年春季北京，15）记函数f（x）=log2（2x-3）的定义域为集合M，函数g（x）=

、..（x-3）（x-1）的定义域为集合N.求：

（1）集合M、N;

（2）集合MnN、MUN.

解：

（1）M={x|2x-3>0}={x|x>-}；

2

N={x|（x-3）（x-1）>0}={x|x>3或xw1}.

（2）MnN={x|x>3};

亠3

MUN={x|x<1或x>}.

2

培养能力

2

7.已知A={x€R|x+2x+p=0}且An{x€R|x>0}=•-，求实数p的取值范围.

解：

•••An{x€RX>0}=一,

•••

（1）若A="」，则△=4—4pV0,得p>1;

（2）若A工._,则A={x|x<0},

即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.

设两根为X2,则

A=4-4p亠0,

W+x2=—2兰0,•••0wpw1.

“x2=p色0.

综上所述，p>0.

22221

8.已知P={（x,y）|（x+2）2+（y-3）w4},Q={（x,y）|（x+1）2+（y—m）V},

4

且PnQ=Q，求m的取值范围.

解：

点集P表示平面上以01（-2,3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆

1

周）；点集Q表示平面上以O2（-1,m）为圆心，-为半径的圆的内部.要使PnQ=Q,2

应使OO2内含或内切于OO1.故有IO1O2I?

w（R1—R2）［即（—1+2）2+（m—3））

<（2-1）2解得3—二

222

评述：

本题选题目的是：

熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题

探究创新

9•若B={x|x2—3x+2v0}，是否存在实数a，使A={x|x2—（a+a2）x+a3v0}且AnB=A?

请说明你的理由•

解：

TB={x|1vxv2}，若存在实数a，使AnB=A，则A={x|（x—a）（x—a2）v0}.

（1）若a=a2,即卩a=0或a=1时，此时A={x|（x—a）2v0}=;严，满足AnB=A，二a=0或a=1.

（2）若a2>a，即a>1或av0时,

2aZ1

A={x|0vxva}，要使AnB=A，则丿2=>1W

a2兰2

aw、2,—1vaw2

综上所述，当1Waw、、2或a=0时满足AnB=A，即存在实数a,使A={x|x2—（a+a2）x+a3v0}且AnB=A成立.

•思悟小结

1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法•

2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算

3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理

4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想•

•教师下载中心

教学点睛

1.

，然后确定处理

对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形）此类问题的方法•

2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通

3.强化数形结合、分类讨论的数学思想•

拓展题例

【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M—N={x|x€M且x”N}，

则M—（M—N）等于

D・M

A・NB・MnNC・MUN

解析：

M—N={x|x€M且x^N}是指图

（1）中的阴影部分

同样M—（M—N）是指图

（2）中的阴影部分

答案：

B

【例2】设集合P={1,a,b},Q={1,a2,b2}，已知p=q，求i+a2+b2的值.

解：

•••P=Q,

2

a=a,

…

①

a=b2,

或」c

b=a.

②

解①得a=0或a=1,b=0或b=1.（舍去）

由②得a=b2=a4,「.a=1或a3=i.

a=1不合题意，

二a3=i

（1）.

--a=co,b=3，其中co=——+i

22'

22242

故1+a+b=1+co+co=1+co+o=0.