数值模拟第一部分.docx

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数值模拟第一部分

现代数值模拟方法及其应用

这是一门什么样的课？

研究生的全校公选课。

（怎么讲，有待实践和探讨）

假设应当具有的基本知识

高等数学如微积分、级数展开、微分方程

线形代数、概率统计

问题：

关于级数展开及其应用

答：

*当x较小时，可取前面几项作为函数的近似

*当函数形式未知时，可用级数逐项逼近

计算机编程包括Linux系统、画图和数据分析软件，

例如xmgrace，mitlab

问题：

A=0.0D+00

DO10I=1,10

A=A+1.0D+00*I

10CONTINUE

代表什么含义

物理学（50％内容或多或少与物理学有关）

最理想是学习过普通物理学

或者中学的物理学，能理解基本的物理问题

比如，物理是研究物质的结构和运动的学科

物质有各种形态，如气态、液态和固态等

物质的运动遵从一定的运动规律

如运动方程，分布函数等

问题：

力学、统计物理和量子力学的基本知识

化学、生物学和经济学

简单的基本知识

基本的英文阅读和书写能力

课程目的

不打算非常系统地讲授种种数值模拟方法

因为时间有限、精力有限

重点讲两种方法

MonteCarlo模拟和分子动力学

简单介绍一些重要的基本方法

一定程度上给出数值模拟方法的概况

目的是学习应用计算机模拟方法研究科学问题

至少了解如何用计算机模拟方法研究科学问题

包括方法本身

科学问题的表述，模型化

Ising模型的种种应用

●磁性系统

代表磁子，可研究磁性材料特性、相变

●粒子系统

代表粒子和空穴，可研究输运过程

●二元合金

代表两种不同成分，可研究合金特性、动力学行为

●金融市场

代表买卖，可研究市场的统计性质

动力学特征

●社会

代表男人女人

方法的适用性、有效性，和方法的发展

数值模拟，如测试

数据分析

问题：

如何开始研究

结果评估

计算量估计

撰写论文

换句话说，想告诉大家一些数值模拟研究的思路、方法和体会。

这门课不是一门纯粹的理论课程，略偏向实用课程

课程内容取材原则简单、经典、前沿

教师的当前研究课题

为什么学习和应用数值模拟方法？

（大道理）

●过去20年计算机工业的高速发展

不算网络，我看到三个时代

80’年代的大机器（图片）

90’年代的工作站（在德国的经历）

00’年代的PC机（有人要扔掉两年的PC机）

按郝柏林院士的意思，你在赶路，如没赶上时代的高速列车，多少会失去一些东西

计算机速度指数增长

过去28年，计算机能力增长64000倍

即没3－4年增加4倍

（过去十来年更快些）

计算方法带来的计算效率的高速增长

（软件、算法等）

10timeslargeratevery4years

问题：

这样的增长的前景

*计算能力逼近微观世界

*计算机器件面临量子极限

●计算科学是实验科学和理论科学之外科学的第三分支

具有相当有特色的创造性

既有理论的特点，又有实验的特征

作为理论，趋于‘准确’

具有相当‘普适性’

作为实验，极端和理想（高温高压，纯净）

多快好省

搭起实验和理论之间的一座桥梁

●适合进行交叉学科研究

数值模拟方法具有‘普适性’

对学科的基础知识和基本方法的要求略低

计算物理是计算科学的基础

现象相对简单

理论比较基础，可应用于不同学科

美国BostonUniv.HEStanley

Citationiswithintop100

为什么学习数值模拟方法？

（小道理）

●相对容易学习

●相对容易找工作（至少在国外如此）

●有特色的创造性

适合各种人群

●还没有人曾经获得Nobelprize（?

）

内容大纲

●引言

计算科学

现代计算机的出现

计算物理学

计算机算法和语言

随机数产生器

●数值积分和MonteCarlo方法

数值积分

MonteCarlo方法

Metropolis算法和Heat－bath算法

●MonteCarlo方法的应用

磁性材料和相变

Ising模型的MonteCarlo模拟

动力学慢化

Cluster算法

非平衡态动力学

固液相变

●数值微分和微分方程

数值微分

初值问题

Runge-Kutta方法

●分子动力学及其应用

Verlet算法

分子动力学的简单应用

多体问题

固液相变

热传导

●其他数值计算和数值模拟方法

●数值模拟方法在化学和生物学的应用

●数值模拟方法在金融学的应用

物理学家看金融

金融动力学的数值模拟

●计算机编程练习

调查

你希望通过这门课学到什么？

1．认认真真仔仔细细地学一点数值模拟方法及其应用

会抽时间编些程序，做些练习

2．只希望对数值模拟方法及其应用的一些概况和前沿动态

有所了解，不打算动手编程序

3．只想随便听听，拿点学分

第一章引言

第一节计算与科学

我们国家的历史悠长，计算科学也不例外。

圆周率

的计算（祖冲之）

用n边型逼近圆

周长

（2r＝1）

近似公式

（1.1）

便是

的准确值，

是待定常数

问题：

（1.1）怎么来的？

作为n的函数，可对1/n做级数展开

例如，

截断（1.1）式到第四项，可求得

与

相差不大

问题：

*如何用多边形的面积近似求

？

*当n一定，如何得到较好近似值？

答：

做外切n边形

计算的要点：

●问题的表达：

建立模型

●计算技巧：

计算方法----我们课程的要点

●计算能力的估计：

研究计划

上面的方法是确定论方法。

随机方法在现代计算科学也十分重要

构造外切四边形

均匀地随机地在四边形‘抛石子’，统计石子总数M，和圆内石子数Ms，则面积的比

问题：

如何随机地‘抛石子’？

随机方法还可以有很多，

例如，

ComtedeBuffon（1707-1788）French

needleexperiment,1777

随机地抛针

针触到条纹和空隙的概率

L

习题：

试证明

提示：

p正比于L

反比于d

d

关键

从哪来？

解：

设针与水平方向夹角为

水平方向有效长度为

事件总数

针触到条纹和空隙的事件数

比较随机方法和确定论方法

●随机方法较简单

●随机方法较‘普适’

例如，简单应用抛石子的方法，可以计算不规则图形的面积

●随机方法的误差收敛较慢

不过，对多自由度问题这不是弱点

●随机方法依赖于相应的随机模型

即必须能构造出有效的模型，有时相当困难，

比如，牛顿方程和量子力学的动力学

计算科学在现代社会十分重要

例如，制造飞机之前应当先做数值模拟实验

这是节省金钱和生命

飞机失事后，应做事故重构

这可帮助找出事故原因

第二节现代计算机的出现

五千年前巴比伦人发明珠算（奇怪，不是中国人？

）

19世纪初英国人CBabbage提出计算机的构想

但当时技术不够发达

19世纪末西班牙人Quevedo提出可用电动机械技术构造计算机，当时的技术可以提供足够的支持

但他没有资金

1889年美国人Hollerith造出第一台计算机，用于人口普查。

卖掉这机器，Hollerith建立了IBM公司

1937年美国理论物理学家Atanasoff制造出电子数字计算机，但没引起广泛注意

1945年历史书常常引述，美国人Mauchly和Eckert制造的ENIAC为第一台电子计算机

Metropolis和Frankel用ENIAC研究核裂变

1950年MENIACI

Metropolis提出MonteCarlo方法，并应用于固液相变的研究（1953）

很多重要的研究工作由MENIACI完成

1970年大规模集成电路计算机

这是高速发展时期的开始

1980年PC机和工作站

计算科学的挑战

全球环境动力学模拟

DNA序列机制

药物设计

材料结构和器件

……

计算物理是计算科学的基础,各个领域有各个领域的作用，每个人有每个人的贡献。

第三节计算物理学

几乎无所不在，只是深入程度不同。

从方法上看，大体分两类

MonteCarlo模拟

分子动力学

从领域上看

NanostructureandMaterialsScience

Bio-structuresandSoftMatter（Polymers,Membranes,Proteins,etc.）

ComputationalStatisticalPhysics,

TurbulencePlasmasandReactiveFlows

NewMethodsinComputerSimulation

LatticeGaugeTheoryandElementaryParticlePhysics

ComputationalAspectsofAstrophysics

Quantumsimulation（many-body,dynamics,latticemodels,etc.）

FrontiersinLargeScaleComputingandquantumcomputing

Georgia大学讲座教授

浙江大学光彪讲座教授

国际著名计算物理学家

DPLandau

300Publications

18PhysRevLett

>6000Citations

第四节计算机算法和语言

1.算法

计算问题的逻辑步骤称计算机算法

例如，牛顿方程

称Euler算法。

给出初始位置

和速度

，可以一步一步求解牛顿方程

习题：

证明Euler方法准确到

量级。

算法应当边用边学

2．计算机语言

Fortran（formulatranslation）和C语言都好用

计算机语言的学习不应当成一种理论学习，

而是一种技能的学习，工多手熟

第五节随机数产生器

如何在边长为1的四边形内均匀地随机地“抛石子”？

设

为均匀的随机数,

可取

则

均匀地随机地分布在四边形内。

在计算机上如何产生

？

计算机上没有真正的随机数，只有“近似均匀”的“看起来无规”的数列

这样的“赝随机数列产生器”质量标准

足够长的数列

足够无规（随机）的数列

例如：

可用

作图，图形应当均匀

速度足够快

最简单的随机数列

的长度为

，速度非常快，随机性也不错，但对大规模计算，还不够好。

为了获得

可取

如果不是专门研究算法，不适宜花太多精力在随机数上，抓到一个比较好的使用即可。

例如，

SUBROUTINEranecu（iseed1,iseed2,ranec1）

REAL*8ranec1

INTEGER*4iran,iseed1,iseed2,kkk

kkk=iseed1/53668

iseed1=40014*（iseed1-kkk*53668）-kkk*12211

IF（iseed1.LT.0）iseed1=iseed1+2147483563

kkk=iseed2/52774

iseed2=40692*（iseed2-kkk*52774）-kkk*3791

IF（iseed2.LT.0）iseed2=iseed2+2147483399

iran=iseed1-iseed2

IF（iran.LT.1）iran=iran+2147483562

ranec1=iran*4.656612873E-10

RETURN

END

有兴趣的同学可比较比较两个随机数的差别。

如何获得其他分布的随机数？

例如：

如何由均匀分布的

构造按

分布的

设

体积元对应

体积元，则在该体积元内的随机数的概率与所取变量无关，即

∴

，

阅读材料：

如何产生高斯分布

？

重游台湾观感

1．观赏的三重境界

雾里看花

花里看雾

醉入花丛

2．台湾在精神上处于躁动状态

已经不适宜生活

3．海峡两岸拥有诸多共同规律

4、凡事不可勉强

理想是理想，现实是现实