高中数学 第二章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 新人教A版必修4.docx
- 文档编号:1270531
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:417.62KB
高中数学 第二章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 新人教A版必修4.docx
《高中数学 第二章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 新人教A版必修4.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第二章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 新人教A版必修4.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第二章三角恒等变形3二倍角的三角函数第2课时半角公式及其应用新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第二章三角恒等变形3二倍角的三角函数第2课时半角公式及其应用新人教A版必修4
1.问题导航
(1)如何理解“半角”?
(2)利用半角公式求值时,如何确定符号?
(3)等式sin15°=±成立吗?
2.例题导读
P125例5.通过此例学习,学会运用二倍角公式推导半角公
式,掌握半角公式.
试一试:
教材P128习题3-3A组T9你会吗?
P127例6,例7.通过此两例学习,学会利用半角公式解决给
值求值问题.
试一试:
教材P127练习2T1你会吗?
正弦、余弦和正切的半角公式
正弦的半角公式
sin=±_
余弦的半角公式
cos=±_
正切的半角公式
tan=±_
==
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=.( )
(2)存在α∈R,使得cos=cosα.( )
(3)对于任意α∈R,sin=sinα都不成立.( )
(4)若α是第一象限角,则tan=.( )
解析:
(1)错误.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=.
(2)正确.当cosα=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)错误.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)正确.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立.
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
2.已知cosα=,270°<α<360°,那么cos的值为( )
A. B.-
C.D.-
解析:
选D.因为270°<α<360°,
所以135°<<180°,所以cos<0.
故cos=-=-
=-=-.
3.设-3π<α<-,化简的结果是( )
A.sinB.cos
C.-cosD.-sin
解析:
选C.原式==|cos|,
因为-3π<α<-π,
所以-<<-π.
所以cos<0.
因此原式=-cos.
4.若cos22°=a,则sin11°=________,cos11°=________(用a表示).
解析:
sin11°>0,cos11°>0,
所以sin11°=,cos11°=.
答案:
对半角公式的四点认识
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cosα的值及相应α的条件,便可求出sin,cos,tan.
(3)由于tan=及tan=不含被开方数,且不涉及符号问题,所以求解关于tan的题目时,使用相对方便,但需要注意该公式成立的条件.
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目,常用sin2=,cos2=求解.
给值求值
已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,求cos的值.
(链接教材P127例6,例7)
[解] 因为α为钝角,β为锐角,sinα=,sinβ=,
所以cosα=-,cosβ=,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=-×+×=,
又因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,
所以0<<,
所以cos==
=.
把本例中的条件“α为钝角”改为“α为锐角”,求cos的值.
解:
因为α为锐角,β为锐角,sinα=,sinβ=,
所以cosα=,cosβ=,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=,
又因为0<α<,0<β<,
所以-<α-β<,
所以-<<,
所以cos===.
方法归纳
利用半角公式求值的思路
(1)看角.若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围.由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式.涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
(4)下结论.结合
(2)求值.
1.
(1)已知|cosθ|=,且<θ<3π,则sin,cos,tan的值分别为( )
A.-,,2 B.-,-,2
C.,-,2D.-,-,-2
(2)若cosα=-,α是第三象限的角,则=( )
A.-B.
C.2D.-2
(3)若=2,则cosα-sinα=________.
解析:
(1)因为|cosθ|=,<θ<3π,
所以cosθ=-,<<.由cosθ=1-2sin2,
得sin=-=-=-.
又cosθ=2cos2-1,所以cos=-=-,所以tan==2.
(2)因为α是第三象限角,cosα=-,
所以sinα=-,=
==
===-.
(3)=
==
=tan=2.
所以cosα-sinα=
===-.
答案:
(1)B
(2)A (3)-
利用半角公式化简求值
(1)计算:
tan+.
(2)化简(-π<α<0).
(链接教材P128习题3-3A组T1)
[解]
(1)法一:
tan+
=+
=+=+
=+2+=1++.
法二:
tan+
=+=+
=+2+=1++.
(2)原式=
=
=
=.
因为-π<α<0,所以-<<0,
所以sin<0,
所以原式==cosα.
方法归纳
(1)利用半角公式进行化简与计算时,应正确选用升、降幂公式:
当待化简式中含有根式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量,注意隐含条件中角的范围.
(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式,前者有正负号选取,其符号由角的范围确定,必要时需要讨论,后者没有符号选取,其结果的符号由sinα确定,应用十分方便.
2.
(1)若=2015,则+tan2α=________.
(2)+2的化简结果是________.
(3)化简(tan5°-tan85°)·.
解:
(1)+tan2α=+====2015,故填2015.
(2)原式=+2
=2|cos4|+2
=2|cos4|+2|sin4-cos4|.
因为<4<,
所以cos4<0,sin4 所以sin4-cos4<0. 从而原式=-2cos4-2sin4+2cos4=-2sin4. 故填-2sin4. (3)原式=· =· =·tan10° =·=-2. 证明三角恒等式 求证: (1)tanα+=. (2)=sin2α. (链接教材P128例5) [证明] (1)左边=+ =+ = ==右边. 故等式成立. (2)左边== ===cosαsin·cos=cosαsinα=sin2α=右边. 方法归纳 证明三角恒等式的常用方法 (1)直接法: 直接从等式的一边开始转化到等式的另一边,一般是按照由繁到简的原则进行,依据是相等关系的传递性. (2)综合法: 由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式. (3)中间量法: 通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明. 3. (1)求证: 2(1+cosα)-sin2α=4cos4. (2)求证: tan-tan=. 证明: (1)左边=2×2cos2- =4cos2-4sin2cos2 =4cos2=4cos4 =右边. (2)法一: tan-tan=- = == = =. 法二: = = =-=tan-tan. 规范解答 三角恒等变形的综合应用 (本题满分12分)已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. [解] (1)因为cosx≠0,所以x≠kπ+,k∈Z, 所以函数f(x)的定义域为, 2分 f(x)= =2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+sin2x =1-cos2x+sin2x =sin+1,4分 所以f(x)的最小正周期为T=π.6分 (2)因为-≤x≤, 所以-≤2x-≤,8分 当2x-=, 即x=时,f(x)的最大值为2;10分 当2x-=-, 即x=-时,f(x)的最小值为-+1.12分 [规范与警示] (1)在处,直接求函数的定义域,若对函数先化简,则导致分母不存在,再求定义域就出错,此为失分点. 在处,正确地使用降幂公式将函数化为f(x)= sin+1是解题的关键. 在处,容易将2x-的范围算错或忽略,都将导致f(x)的最值求错造成失分. (2)解答此类问题的两个注意点 ①定义域求解时的保原性 定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故求解时,应保证函数的原解析式有意义,不可随便化简,如本例不可求f(x)=sin+1的定义域. ②提高公式的辨析和识记能力 sin2x与cos2x的降幂公式非常相似,解题时务必细心,谨防混淆,可采用先写出cos2x的公式,再对其变形分别记忆,如本例求解中若把sin2x的公式用错,会导致该题基本不得分. 1.已知α∈(π,2π),则等于( ) A.sin B.cos C.-sinD.-cos 解析: 选D.因为α∈(π,2π),∈, 所以==|cos|=-cos. 2.已知α是第三象限角,且sinα=-,则tan等于( ) A.-B. C.D.- 解析: 选D.由α为第三象限角,且sinα=-知cosα=-. 所以tan==-=-. 3.已知cos=,540°<α<720°,则sin=________. 解析: 因为540°<α<720°,所以270°<<360°,所以135°<<180°,因为cos=,所以sin==. 答案: 4.已知sin2θ=,0<2θ<,则=________. 解析: = ===.因为sin2θ=,0<2θ<, 所以cos2θ=,所以tanθ===, 所以==, 即=. 答案: [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1.已知cosθ=-,且180°<θ<270°,则tan=( ) A.2 B.-2 C.D.- 解析: 选B.因为180°<θ<270°, 所以90°<<135°, 所以tan<0, 所以tan=-=-=-2. 2.若sin(π-α)=-且α∈,则sin等于( ) A.-B.- C.D. 解析: 选B.由题意知sinα=-,α∈, 所以cosα=-, 因为∈, 所以sin=cos=-=-.故选B. 3.已知θ为第二象限角,25sin2θ+sinθ-24=0,则cos的值为( ) A.-B.± C.D.± 解析: 选B.由25sin2θ+sinθ-24=0得sinθ=或sinθ=-1(因为θ为第二象限角,故舍去),所以cosθ=-,且为第一或者第三象限角,所以2cos2-1=-,故cos=±. 4.化简等于( ) A.-cos1 B.cos1 C.cos1 D.-cos1 解析: 选C.原式===cos1,故选C. 5.已知450°<α<540°,则的值是( ) A.-sin
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第二章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 新人教A版必修4 第二 三角 恒等 变形 二倍 三角函数 课时 半角 公式 及其 应用 新人 必修
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/1270531.html