高等数学下册复习大全往届考题及答案讲解.docx

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高等数学下册复习大全往届考题及答案讲解

高等数学（下册）复习大全----往届考题及答案讲解

高等数学下册总复习资料

财管双语班

财管双语班

〈一〉多元函数微分法及其应用............................................................................1

第九章重积分........................................................................................................5

第十章曲线积分与曲面积分.....................................................错误！

未定义书签。

第十一章无穷级数.................................................................................................7

第十二章微分方程...............................................................................................13

〈二〉强化训练.............................................................................................................16

（Ⅰ）04、05、06期末试卷....................................................................................16

2004—2005学年第二学期期末考试试卷...........................................................16

2005—2006学年第二学期期末考试试卷...........................................................20

2006—2007学年期末考试试卷.........................................................................22

（Ⅱ）自测训练......................................................................................................25

试卷一.............................................................................................................25

附参考答案：

...................................................................................................28

试卷二.............................................................................................................29

附参考答案：

...................................................................................................32

试卷三.............................................................................................................33

附参考答案：

...................................................................................................36

2005－2006学年第二学期期末考试试卷（20XX级快班试卷）...........................38

2006－2007学年第二学期期末考试（20XX级快班试卷）..................................41

试卷四.............................................................................................................44

参考答案及提示...............................................................................................48

试卷五.............................................................................................................52

参考答案及提示：

............................................................................................56

高等数学下册总复习资料

高等数学下册总复习

〈一〉多元函数微分法及其应用

一、基本概念

1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：

y=f（x1,x2,L,xn）

（2）会求二元函数的定义域

1°：

分母不为0；

2°：

真数大于0；

3°：

开偶次方数不小于0；

4°：

z=arcsinu或arccosu中|u|≤1

（3）会对二元函数作几何解释

2．二重极限

x®x0y®y0limf（x,y）=A

这里动点（x,y）是沿任意路线趋于定点（x0,y0）的．

（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；

（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）．

3．多元函数的连续性

（1）理解定义：

limf（P）=f（P0）．P®P0

（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分

1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

¶z

¶x=limf（x0+Dx,y0）-f（x0,y0）

DxDx®0

¶z

¶y=limf（x0,y0+Dy）-f（x0,y0）

Dy

Dy®0

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．

（3）求偏导数法则、公式同一元函数．

2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．

1

财管双语班

（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：

3．全微分

（1）知道全微分的定义

若Dz=f（x0+Dx,y0+Dy）-f（x0,y0）可表示成A×Dx+B×Dy+o（r），则z=f（x,y）在点（x0,y0）处可微；称A×Dx+B×Dy为此函数在点（x0,y0）处的全微分，记

¶z¶x¶y

2

=

¶z¶y¶x

2

．

为dz=A×Dx+B×Dy．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；

（A=

¶z¶x

，B=

¶z¶y

；dz=

¶z¶x

dx+

¶z¶y

dy）

偏导数存在，不一定可微（Dz-dz是否为o（r））．偏导数连续，全微分必存在．

方向导数、梯度，只对快班要求．

三、多元复合函数与隐函数求导法则1．多元复合函数的求导法则

（1）

¶z¶x

=

¶z¶u¶z¶v×+׶u¶x¶v¶x

¶z¶y

=

¶z¶u¶z¶v

×+×

¶u¶y¶v¶y

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．

（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．

2．隐函数的求导公式

（1）一个方程的情形

若F（x,y）=0确定了y=y（x），则

dydx

=-

FxFy

；

若F（x,y,z）=0确定了z=z（x,y），则

（2）方程组的情形

¶z¶x

=-

FxFz

，

¶z¶y

=-

FyFz

．

2

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若í

ìF（x,y,z）=0îG（x,y,z）=0

能确定í

ìy=y（x）îz=z（x）

，则由

dydxdydx

dzdxdzdx

ì

ïFx+Fyí

ïGx+Gyî

××

+Fz×+Gz×

=0=0

可解出

dydx

与

dzdx

；

若í¶u¶y

ìF（x,y,u,v）=0îG（x,y,u,v）=0

确定了u=u（x,y），v=v（x,y），象上边一样，可以求出

¶u¶x

，

¶v¶x

及，

¶v¶y

．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：

曲线G：

x=j（t），y=y（t），z=w（t），t=t0时，G上相应点（x0,y0,z0）处的切线方程：

x-x0

=y-y0

=z-z0

j¢（t0）y¢（t0）w¢（t0）

法平面方程：

j¢（t0）（x-x0）+y¢（t0）（y-y0）+w¢（t0）（z-z0）=0

ìy=j（x）x-x0y-y0z-z0

2°：

曲线G：

í，则点（x0,y0,z0）处的切线方程：

==

¢¢z=y（x）1f（x）y（x）î00

法平面方程：

（x-x0）+f¢（x0）（y-y0）+y¢（x0）（z-z0）=0

3°：

曲线G：

í

ìF（x,y,z）=0îG（x,y,z）=0

，则点P（x0,y0,z0）处的切线方程为

y-y0FzGzFzGz

x-x0FyGy

FzGz

P

=

FxGxFxGx

P

=

P

z-z0FxGx

FyGy

P

法平面方程：

FyGy

FzGz

P

×（x-x0）+×（y-y0）+

FxGx

FyGy

P

×（z-z0）=0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：

曲面S：

F（x,y,z）=0，点（x0,y0,z0）处的切平面方程为：

3

财管双语班

Fx（x0,y0,z0）×（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）×（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）×（z-z0）=0

法线方程：

x-x0Fx

=

y-y0Fy

=

z-z0Fz

2°：

曲面S：

z=f（x,y），在点（x0,y0,z0）处的切平面方程为：

z-z0=fx（x0,y0）×（x-x0）+fy（x0,y0）×（y-y0）

法线方程为：

2．极值应用

x-x0

fx

=

y-y0

fy

=

z-z0-1

ì¶z

=0ïï¶x

（1）求一个多元函数的极值（如z=f（x,y））：

先用必要条件í，求出全部驻点，

¶z

=0ïïî¶y

再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy

；

2

AC-B>0，A<0时有极大值，A>0时有极小值；

AC-B<0时无极值．

2

（2）求最值

1°：

纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2°：

有实际意义的最值问题．

（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：

u=f（x,y,z）在条件j1（x,y,z）=0与j2（x,y,z）=0下的极值时，取

F（x,y,z;l1,l2）=f（x,y,z）+l1j1（x,y,z）+l2j2（x,y,z）

ìFxïFïyï

解方程组íFz

ïjï1ïîj2

=0=0

=0，求出x，y，z=0=0

则（x,y,z）就是可能的极值点；再依具体问题就可判定（x,y,z）为极大（或极小）值点．

4

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第九章重积分

一、二重积分

n

1．定义：

òòf（x,y）ds=lim

D

l®0

å

f（xi,hi）×Dsi

（n®¥）i=1

2．几何意义：

当f（x,y）≥0时，òòf（x,y）ds表示以曲面z=f（x,y）为顶，以D为底的

D

曲顶柱体体积．

物理意义：

以f（x,y）为密度的平面薄片D的质量．3．性质

1°：

òòkf（x,y）ds=kòòf（x,y）ds

D

D

2°：

òò[f（x,y）±g（x,y）]ds=

D

òò

D

f（x,y）ds±

òòg（x,y）ds

D

3°：

若D=D1+D2，则òòf（x,y）ds=

D

òò

D1

f（x,y）ds+

òò

D2

f（x,y）ds

4°：

f（x,y）º1时，òòf（x,y）ds=sD

D

5°：

若在D上j（x,y）≥y（x,y），则

òòj（x,y）ds≥òòy（x,y）ds

D

D

Þ

òò

D

f（x,y）ds≥

òò

D

f（x,y）ds

6°：

若f（x,y）在闭区域D上连续，且m≤f（x,y）≤M，则

m×sD≤òòf（x,y）ds≤M×sD

D

7°：

（中值定理）若f（x,y）在闭区域D上连续，则必有点（x,h）ÎD，使

òò

D

f（x,y）ds=f（x,h）×s

D

4．二重积分的计算法

（1）在直角坐标系中

1°：

若积分区域D为X-型区域

a£x£bì

D：

í

j（x）£y£j（x）2î1

则化为先y后x的二次积分：

5

财管双语班

ba

òò

D

f（x,y）dxdy=

òdxò

j2（x）j1（x）

f（x,y）dy

2°：

若积分区域D为Y-型区域

D：

í

ìc£y£d

îy1（y）£x£y2（y）

则化为先x后y的二次积分：

òò

D

f（x,y）dxdy=

ò

dc

dyò

y2（y）y1（y）

f（x,y）dx

（2）在极坐标系中

f（x,y）=f（rcosq,rsinq）,ds=rdrdq

1°：

极点在D外：

a£q£bì

：

Dí

îj1（q）£r£j2（q）

则有

òò

D

f（x,y）ds=

òadqòj

b

j2（q）

1（q

f（rcosq,rsinq）×rdr

O

极点在D外

）

r

2°：

极点在D的边界上：

ìa£q£b

D：

í

0£r£j（q）î

则有

r

O

极点在D的边界上

òò

D

f（x,y）ds=

òa

b

dqò

j（q）

f（rcosq,rsinq）×rdr

3°：

极点在D内：

ì0£q£2pD：

í

0£r£j（q）î

则有

òò

D

f（x,y）ds=

ò

2p0

dqò

j（q）

f（rcosq,rsinq）×rdr

极点在D内

在计算二重积分时要注意：

1°：

选系：

是直角坐标系还是极坐标系；

若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有x+y或两个积分变量之

2

2

6

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比

yx

、

xy

时，一般可选择极坐标系．

2°：

选序：

当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：

积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：

D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．4°：

若f（x,y）=f1（x）×f2（y），积分区域D:

í分的乘积。

ìa£x£bîc£y£d

则二重积分可化为两个定积

第十一章无穷级数

一、常数项级数1．基本概念

¥

（1）定义：

形如åun=u1+u2+L+un+L的无穷和式，其中每一项都是常数．

n=1

n

（2）部分和：

Sn=

åu

i=1

i

（3）常数项级数收敛（发散）ÛlimSn存在（不存在）．

n®¥

（4）和S=limSn（存在时）．

n®¥

注：

发散级数无和．

¥

（5）余项：

当limSn=S时，称级数rn=

n®¥

åu

i=1

n+i

为原级数第n项后的余项．

2．基本性质

¥

¥

¥

¥

（1）åkun与åun敛散性相同，且若åun=S，则åkun=kS；

n=1

n=1

n=1

n=1

（2）若åun=S，åvn=s，则å（un+vn）=s+s

推论1：

若åun收敛，åvn发散，则å（un+vn）必发散；推论2：

若åun与åvn都发散，则å（un+vn）不一定发散．

7

财管双语班

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．

（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

¥

（5）若级数åun收敛，则必有limun=0．

n=1

n®¥

¥

（若limun¹0，则åun必发散）

n®¥

n=1

3．几个重要的常数项级数

¥

n-1

（1）等比级数åaq

n=1

ìaï

=í1-qïî发散

|q|<1|q|³1

；

¥

（2）调和级数å

n=1¥

1n1n

¥

发散；

（3）p-级数å

n=1

p

（p>0），p>1时收敛，0

（4）倒阶乘级数å

n=1

1n!

收敛．

4．常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

¥

¥

设åun与åvn均为正项级数

n=2

n=1

¥

1°：

åun收敛Û{Sn}有界；

n=1

2°：

比较法

¥

¥

若åun收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则åvn收敛（发散）．

n=1

n=1

推论1：

若lim

unvn

¥¥

n®¥

=l，0

n=1

n=1

¥

推论2：

若limn×un=l，则åun发散；

n®¥

n=1

¥

若limn×un=l（p>1），则åun收敛．

n®¥

n=1

p

8

高等数学下册总复习资料

3°：

比值法

ì

ïr<1时ïï

=r，则有ír>1时

ïï

r=1时ïî

¥

åu

n=1¥

n

收敛

若lim

un+1un

n®¥

åu

n=1¥

n

发散

åu

n=1

n

待定

4°：

根值法

ì

ïr<1时ïï

=r，则当ír>1时

ïï

r=1时ïî

¥

åu

n=1¥

n

收敛

若lim

n®¥

un

åu

n=1¥

n

发散

åu

n=1

n

待定

（2）交错级数的审敛法

¥

莱布尼兹定理：

若交错级数å（-1）n-1un（un³0）满足：

n=1

1°：

un≥un+12°：

limun=0

n®¥

¥

则å（-1）n-1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un+1．

n=1

（3）任意项级数的审敛法

¥

1°：

若limun¹0，则åun发散；

n®¥

n=1

¥¥

2°：

若å|un|收敛，则åun绝对收敛；

n=1

n=1

¥

¥

¥

3°：

若å|un|发散，åun收敛，则åun条件收敛．

n=1

n=1

n=1

二、函数项级数1．基本概念

¥

（1）定义：

形如åun（x）=u1（x）+u2（x）+L+un（x）+L；

n=1

（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

9

财管双语班

n

（3）部分和：

Sn（x）=

åu

i=1

i

（x）；

¥

（4）和函数：

在收敛域上S（x）=limSn（x）=

n®¥

åu

n=1

n

（x）．

2．幂级数

（1）定义：

åan（x-x0），当x0=0时有：

åanxn；

n

n=0

n=0

¥

¥

（2）性质

¥

n

¥

1°：

若åanx在x0处收敛，则当|x|<|x0|时，åanxn绝对收敛（发散）；

n=0

n=0

¥

n

¥

若åanx在x0处发散，则当|x|>|x0|时，åanxn发散．

n=0

n=0

¥

2°：

幂级数

åa（x-x）

n

n=0

n

的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间

（x0-R,x0+R），两端点是否属于收敛域要分别检验．

3°：

在åanxn的收敛区间（-R,R）内，此级数的和函数S（x）连续．

n=0

¥

（3）收敛区间的求法

1°：

不缺项时，先求r=lim

an+1an

n®¥

，得收敛半径R=

1

r

；

再验证两端点，则收敛域＝（x0-R,x0+R）∪收敛的端点．

un+1（x）un（x）

=r（x），解不等式r（x）<1得x的所属区间

2°：

缺项时，先求lim

n®¥

x1

3．幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．

（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

¥

åa

n=0

n

x=S（x），|x|

n

10

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¢

æ¥nöçåanx÷=èn=0ø

å（a

n=0

¥

n

x

n

）

¢

¥

=

åna

n=0

n

x

n-1

=S¢（x），|x|

ò

x0

æ¥nö

çåanx÷dx=èn=0ø

¥

åò

n=0

x0

¥

anxdx=

n

ån+1x

n=0

an

n+1

=

ò

x0

S（x）dx，|x|

4．函数展开为幂级数

（1）充要条件：

若函数f（x）在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

¥

f（x）=

å

n=0

f

（n）

（x0）

n!

（x-x0）

n

ÛlimRn（x）=0．

n®¥

¥

（2）唯一性：

若f（x）在某区间内能展开成幂级数f（x）=

åa

n=0

n

n

（x-x0），则其系数

an=

1n!

f

（n）

（x0），（n=0,1,2,L）．

（3）展开法：

1°：

直接法（见教材P218）

2°：

间接法

利用几个函数的展开式展开

¥

e=

x

å

n=0

x

n

n!

¥

，（-¥,+¥）

2n+1

2n-1

sinx=

å（-1）

n=0¥

n

x

¥

（2n+1）!

n

或å（-1）

n=1

n-1

x

（2n-1）!

，（-¥,+¥）

cosx=

å（-1）

n=0¥

x

2n

（2n）!

，（-¥,+¥）

11-x

=

åx

n=0

n

，（-1,1）

ln（1+x）=