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质数与合数含答案
阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明
其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀
知识要点
璨的明珠!
质数和合数的分类产生了哥德巴赫
意非零自然数的倍数。
数
质数。
如果一个质数是某个数的约数,那么就
合数:
除了1和本身,还有其他约数的自然数叫合
质数:
除了1和本身,没有其他约数的自然数叫质
特殊地,1既不是质数也不是合数。
■1
最小的合数是4,最小的质数是2,且2是唯一的
【例1】对7个不同质数求和,和为58,则最大的质数是多少
【分析】七个质数若全部是奇数,则和一定是奇数,而58是偶数,则七个质数中必定含有唯一的偶质数2,
所以最小的质数是2,从2开始,最小的七个连续质数是2,3,5,7,11,13,17,和为58,
所以题中的七个质数只能是从2开始的七个连续质数,最大为17。
【温馨提示】2是唯一的偶质数,是偶数中的“叛徒”,所以质数也经常与奇偶性相结合,主要考察“2”.
【拓展】
已知a、
b、c、d都是质数,且a
130b95c
91d
79,求a、b、
c、d的值。
【分析】
b95
c91
d79,所以
b、c、
d应该都是奇数,
所以
a是唯一的偶质数
2,依此可求得
a2,
b37,
c41,d
53.
【例2】从小到大写出5个质数,使后面数都比前面的数大12。
这样的数有几组
【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数,因此这5个质数中不可能有2;又质数中除了2和5,
其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。
若这5个质数中最小的数其个位数字为1,则比它大24
的数个位即为5,不可能是质数;若最小的数其个位数字为3,则比它大12的数个位即为5,也
不可能为质数;由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9,因此最小的数只能是5,这5
个数依次是5,17,29,41,53。
这样的数只有一组。
说明:
除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9。
这是此题的突破口。
老师可以只
推算个位数字就可以否定1、3、7、9,然后剩下个位数字是2和5,就很容易找到5。
【拓展】如果某整数同时具备如下三条性质:
①这个数与1的差是质数,②这个数除以2所得的商也是
质数,③这个数除以9所得的余数是5,那么我们称这个整数为幸运数。
求出所有的两位幸运数。
【分析】法一:
由条件②可知,所求的数是偶数,因此可设所求的幸运数是质数p的两倍,即此幸运数为
2p,贝Up的所有可能取值为5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47。
于是2p-1
的所有可能取值为9,13,21,25,33,37,45,57,61,73,81,85,93。
根据题目条件①,
2p-1应为质数,因此2p-1只可能为13,37,61或73。
再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4,于是2p-1只可能是13,从而这个幸运数只能是2p=14。
法二:
从条件③入手,符合条件的偶数有:
14,32,50,68,86,再由条件②排除掉32,50,68,
最后由条件①排除掉86,所以这个幸运数是14。
例3】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少
分析】分解质因数302424337,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的
倍数。
若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10
(10仍含有5,不行),经检验6、7、8、9恰符合。
温馨提示】根据乘积求因数,是分解质因数的一个重要运用.
【拓展】2004X7X20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积,这三个连续自然数之和最小是多少
【分析】首先分解质因数,2004X7X20=2X2X2X2X3X5X7X167,其中最大的质因数是167,所以所
要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数。
165=3X5X11,166=2X83,168=2X2X2X3X7,169=13X13,所以165X166X167,166X167X168,167X168X169都没有4个2,不满足题意。
说明167不可行。
尝试334=167X2,335=5X67,336=2X2X2X2X3X7,334X335
X336=2X2X2X2X2X3X5X7X67X167,包括了2004X7X20中的所有质因数,所以这组符合题意,以此三数之和最小为1005。
拓展】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是6384,求这三个数。
【分析】将6384分解质因数,6384=22223719,则其中必有一个数是19或19的倍数;经试算,19-5=14=2X7,19+5=24=2X2X2X3,恰好14X19X24=6384,所以这三个数即为
14,19,24。
一般象这种类型的题,都是从最大的那个质因数去分析。
如果这道题里19不符合
要求,下一个该考虑38,再下一个该考虑57,依此类推。
例4】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米
【分析】方法一:
39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积,所以33、34、35为满足题意
的长、宽、高•则长方体的表面积为:
2X(长X宽+宽X高+高X长)=2X(33X34+34X35
+35X33)=6934(平方厘米).
方法二:
39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积,考虑质因数17,如果17作为
因数7,与34接近的数32〜36中,只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270的质因数中只剩下了3和11,所以这个长方体的大小为33X34X35.长方体的表
面积为:
392703927039270
2X(39270+39270+39270)=2X(1190+1155+1122)=2X3467=6934(平方厘米).
333435
【拓展】在面前有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么
这个长方体的体积是多少
【分析】如上图,设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为acab209.
acaba(cb)209,而2091119.
当a11时,cb19,当两个质数的和为奇数,则其中必定有一个数为偶质数2,则
cb217;
当a19时,cb11,则cb29,b为9不是质数,所以不满足题意.
所以它们的乘积为11217374.
【例5】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油.每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:
8,
9,10,11,12,13•已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内
有多少油
【分析】由于每只瓶都称了三次,因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(连瓶)共
重(8+9+10+11+12+13)+3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,
由于2是唯一的偶质数,只有两种可能:
(1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重
2千克,最重的两瓶内的油为13-1X2=12(千克).
(2)油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,
2
每只瓶重翌千克,最重的两瓶内的油为13-匹X2=|(千克),这与油重之和2千克矛盾•因此
44
最重的两瓶内共有12千克油.
【例6】从20以内的质数中选出6个,然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上,并且使得相对
两个面的数的和都相等。
将这样的三个木块掷在地上,向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值
【分析】小于20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,其中5+19=7+17=11+13。
每个木块掷在地上后
向上的数可能是六个数中的任何一个,三个数的和最小是5+5+5=15,最大是19+19+19=57,经试
验,三个数的和可以是从15到57的所有奇数,所有可能的不同值共有22个。
【拓展】
【分析】
有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有13种,那么所有这样的自然数中最小的一个是多少
在所有的质数中,从小到大第13个质数是41,因此在13种分解方法中,质数最大的那一组至少
47。
1136133417301631182919282324因此满足题意的最小自然数是
【练习1】4个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数,那么在这4个数字所组成的四位数中,
最大的一个是多少
【分析】将360分解质因数得360=2X2X2X3X3X5,它是6个质因数的乘积。
因为题述的四个数中只
有一个是合数,所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积,又只有3个2相乘才能是一位数,
所以这4个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533。
【练习2】9个连续的自然数,它们都大于80,那么其中质数最多有多少个
【分析】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数,于是奇数越多越好,9个连续的自然数中最多只
有5个奇数,它们的个位应该为1,3,5,7,9.但是大于80且个位为5的数一定不是质数,所以最多只有4个数.经验证101,102,103,104,105,106,107,108,109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数.也就是大于80的9个连续自然数,其中质数最多能有4个.
练习3】用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数
分析】要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、
4、6、8、9这5个不是质数的数字未用.有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67.所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数.
练习4】在放暑假的8月份,小明有五天是在姥姥家过的。
这五天的日期除一天是合数外,其它四天的日期都是质数。
这四个质数分别是这个合数减去1,这个合数加上1,这个合数乘上2减去1,
这个合数乘上2加上1。
问:
小明是哪几天在姥姥家住的
【分析】由题意可知这个合数最大是16,16以内相差2的质数有3和5、5和7、11和13,那么对应合数是4,6,12。
经检验这个合数是6,四个质数分别是5,7,11,13。
练习5】若将17拆成若干个的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么这个最大的乘积是多少
【分析】根据整数拆分原则:
多拆3,少拆2,不拆1――拆分后乘积最大。
若要使17拆成的不同质数
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- 质数 合数 答案
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