圆的有关概念和性质总结.docx
- 文档编号:12700321
- 上传时间:2023-04-21
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:77.18KB
圆的有关概念和性质总结.docx
《圆的有关概念和性质总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆的有关概念和性质总结.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
圆的有关概念和性质总结
圆的有关概念和性质
知识考点:
1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系;
2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念;
3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。
圆的形成性描述:
在一个平面内,线段OA绕它固定的O一端旋转一周,另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆记作“”
1.圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
圆弧和弦:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径
4、同圆或等圆的半径相等
5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
8、不在通一条直线上的三点确定一个圆
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1:
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
12、推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
14、定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
圆心角定义:
顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角
圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
推论:
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理:
同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
定理证明
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:
∠BOC=2∠BAC.
证明:
情况1:
如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
图1
∵OA、OC是半径
解:
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解:
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
图3
连接AO,并延长AO交⊙O于D
解:
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO(等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
定理推论:
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;
3.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意:
在圆中,同一条弦所对的圆周角有两个,一个是优弧所对的角,一个是劣弧所对的角
一、点和圆的位置关系
1、如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系.
(1)d>r
点在圆外;
(2)d=r
点在圆上;
(3)d<r
点在圆内.
2、确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3、三角形的外接圆
(1)定义:
经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.
三角形的外心:
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
(2)三角形外心的性质:
①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等.
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
锐角三角形的外心在三角形内
直角三角形的外心在斜边的中点
钝角三角形的外心在三角形外
4、三角形的内切圆与三角形的内心
①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.
②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等.
直角三角形的内心公式:
r=(a+b-c)/2(a、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边)
三角形的内心公式:
r=2s/l(s为三角形的面积,l为三角形的周长
5、反证法
(1)定义:
从命题结论的反面出发,经过推理论证,得出矛盾,从而证明命题成立,这种方法叫做反证法.
(2)反证法证明命题的一般步骤
①反设:
作出与结论相反的假设;
②归谬:
由假设出发,利用学过的公理、定理推出矛盾;
③作结论:
由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
二、直线和圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有关概念
①相交与割线:
直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.
②切线与切点:
直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点.
③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么:
(1)直线l和⊙O相交
d<r(如图
(1)所示);
(2)直线l和⊙O相切
d=r(如图
(2)所示);
(3)直线l和⊙O相离
d>r(如图(3)所示).
3、切线
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线长:
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
三、圆和圆的位置关系
1)图示定义法(交点数)
①相离:
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如上图
(1)、(5)、(6)所示,其中
(1)又叫做外离,(5)(6)叫做内含;
②相切:
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图
(2)、(3)所示,其中
(2)叫外切,(3)叫内切;
③相交:
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(4)所示.
注意:
圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0,1,2三大类即:
(Ⅰ)没有公共点:
(Ⅱ)有惟一公共点:
(Ⅲ)有两个公共点:
相交
(2)用数量关系判断两圆的位置关系
当两圆的半径一定时,两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关,设两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,则:
(1)两圆外离
d>R+r;
(2)两圆外切
d=R+r;
(3)两圆相交
R-r<d<R+r;
(4)两圆内切
d=R-r;
(5)两圆内含
d<R-r.
二、重难点知识归纳
与圆有关的位置关系的判断是重点,切线的判定和性质是重点也是难点.
三、典型例题剖析
例1、如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm
AD=4cm.若以A为圆心作圆,使B、C、D三点中至少有一点在圆外,且至少有一点在圆内,求⊙A的半径r的取值范围.
解:
∵矩形ABCD中,∠B=90°,AB=3cm,BC=AD=4cm,
∴AC=5cm,
其中点B到点A的距离最小,点C到点A的距离最大.若以AB为半径作圆,则没有点在⊙A内;若以AC为半径作圆,则没有点在⊙A外.
故⊙A的半径r的取值范围是3cm<r<5cm.
点拨:
这里是由点与圆的位置确定半径r的大小.本例还要注意“至少”一词的理解.
例2、阅读下列文字:
在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.
证明:
假设AC=BC.
∵∠A≠45°,∠C=90°,∴∠A≠∠B.
∴AC≠BC,这与题设矛盾,∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误,若没有错误,指出其证明方法是什么?
若有错误,请给予指正.
解:
有错误.改正如下:
假设AC=BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,
∴∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾.∴AC=BC不成立.
∴AC≠BC.
点拨:
运用反证法证题应从“假设”出发,即把假设当作已知条件,一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论,从而判定“假设”不成立,进一步肯定命题的结论.
例3、如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?
解:
以AB为直径的圆与CD是相切关系.理由如下:
如图,过E作EF⊥CD,垂足为F.
∵∠A=∠B=90°,∴EA⊥AD,EB⊥BC.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴
.
∴以AB为直径的圆的圆心为E,且
,
∴以AB为直径的圆与边CD相切.
点拨:
在证明直线与圆的位置关系时,常过圆心向直线作垂线段,再比较垂线段与半径的大小即可.
例4、已知:
AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD(如图).
求证:
DC是⊙O的切线.
证明:
连结OD.
.
.
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.
∴∠ODC=90°.∴OD⊥DC.
∴DC是⊙O的切线.
点拨:
已知点B是切点,连结OB得OB⊥BC,要证CD是切线,也要连结OD,证OD⊥CD,再沟通已知与未知的联系即可.
例5、如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别是A、B、E,DO、AE相交于点F,CO、BE相交于点G.求证:
(1)CO⊥DO;
(2)四边形EFOG是矩形.
分析:
(1)欲证CO⊥DO,只需证明∠ODC+∠OCD=90°.根据切线长定理,
得
.
再由切线的性质定理,不难得AD∥BC,从而∠ADC+∠BCD=180°,
(1)获证.
(2)仍由切线长定理,可证AE⊥DO,BE⊥CO.而∠AEB=90°,
(2)获证.
证明:
(1)∵AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线,
∴AD⊥AB,BC⊥AB.∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠BCD=180°.
又由切线长定理,得
.
∴∠ODC+∠OCD=90°,即∠DOC=90°.故CO⊥DO.
(2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E,
∴DA=DE.∴AE⊥DO.∴∠EFO=90°.
同理,∠EGO=90°.又∠DOC=90°,
∴四边形EFOG是矩形.
点评:
在有关圆的问题,切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.
例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R,r,且R≥r,r是方程x2-6x+3=0的两根.设O1O2=d,那么:
①若d=7,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;
②若
,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;
③若d=5,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;
④若两圆相切,求d的值.
解:
∵R、r是方程x2-6x+3=0的两根,
∴R+r=6,R·r=3.
∴
.
(1)∵d=7,即d>R+r,∴两圆外离.
(2)∵
,即d<R-r,∴两圆内含.
(3)∵d=5,即R-r<d<R+r,∴两圆相交.
(4)要使⊙O1与⊙O2相切,则d=R+r或d=R-r,
∴d=6或
时,两圆相切.
点拨:
由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知,应先分别求出R+r、R-r,然后再比较d与R+r、R-r的大小从而作出判断.
例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上.
(1)如图
(1),AD是⊙O2的直径,连结DB,并延长交⊙O1于C.求证:
CO2⊥AD.
(2)如图
(2),如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在的直线是否与AD垂直?
证明你的结论.
证明:
(1)连结AB,则有∠AO2C=∠ABC=180°-∠ABD=90°,∴CO2⊥AD.
(2)作直径AD1交⊙O2于D1,连结D1B并延长交⊙O1于C1.
由第
(1)问知:
∠AO2C1=90°,∴∠AD1B+∠BC1O2=90°.
在⊙O2中,∠AD1B=∠ADB;在⊙O1中,∠BC1O2=∠BCO2.
∴∠ADB+∠BCO2=90°.∴CE⊥AD.
点拨:
解决此类问题,关键是要找出一般与特殊的关系,在图形变换中,要找出不变量
四、圆内接多边形
内接多边形:
多边形的所有定点都在圆上
内接四边形:
在同圆内,四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形
1、圆内接四边形的对角互补
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)。
定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于:
(n-2)x180°(n大于等于3)。
多边形的外交和等于360°
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做多边形的中心,外接圆的半径叫做多边形的半径,正多边形的每一边所多的圆心角叫做多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离正多边形的边心距。
圆内接多边形的画法:
圆的周长公式:
圆的面积公式:
扇形面积:
S扇=(n/360)πR²(n为圆心角的度数,R为扇形的半径)
弓形面积=扇形面积–三角形面积
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 有关 概念 性质 总结