全国中考数学附答案压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题.docx
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全国中考数学附答案压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题
2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9:
几何综合问题24.(2012湖北恩施12分)如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;5(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.13【答案】解:
(1)证明:
连接OB,∵OB=OA,CE=CB,∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。
∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,∵DA=DO,CD⊥OA,∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
1∴∠ABF=∠AOF=30°。
2(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,1∴EG=BE=5。
2易证Rt△ADE∽Rt△CGE,-1-
5,∴sin∠ECG=sin∠A=13EG5CE==13∴。
5sinECG132222CGCEEG13512∴。
又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,ADDEAD224AD由Rt△ADE∽Rt△CGE得,即,解得。
CGGE125548∴⊙O的半径为2AD=。
5【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:
同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
1(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由2Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,从而求出⊙O的半径。
25.(2012黑龙江哈尔滨10分)已知:
在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN.
(1)如图l,求证:
PC=AN;
(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:
CF=2:
3,求DQ的长.-2-
【答案】解:
(1)证明:
∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥ABMN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。
∴AQ=MN。
∴△AQP≌△MNA(ASA)。
∴AN=PQ,AM=AP。
∴∠AMB=∠APM。
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。
∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC(角平分线的性质)。
∴PC=AN。
(2)∵NP=2PC=3,∴由
(1)知PC=AN=3。
∴AP=NC=5,AC=8。
22AQMNAMAN4∴AM=AP=5。
∴。
∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。
MN4tanABCtanMAN∴。
AN3ACtanABC∵,∴BC=6。
BC∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。
NENP。
又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。
∴CKPC∵CK:
CF=2:
3,设CK=2k,则CF=3k。
4NE2NEk∴,。
32k3过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。
445kk=k∴NE=TF=,∴CT=CF-TF=3k-。
333∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
BC2tanNTCtanBPC。
∴PCNC15tanNTC2CTNC=∴,。
CT223553k=k=∴CT=。
∴。
∴CK=2×=3,BK=BC-CK=3。
2322∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。
-3-
PCtanPKC1∴。
∴tan∠BDK=1。
KC过K作KG⊥BD于G。
4,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=3321∴BK=5n=3,∴n=。
∴BD=4n+3n=7n=。
5522ABACBC10∵,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。
219=∴DQ=BQ-BD=6-。
55【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】
(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。
(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。
26.(2012湖北十堰10分)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.
(1)求证:
BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:
以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;FG(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值.FC【答案】解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°。
∴∠ABC+∠BAC=90°。
又∵∠CBD=∠BAC,∴∠ABC+∠CBD=90°。
∴∠ABD=90°。
∴OB⊥BD。
∴BD为⊙O的切线。
(2)证明:
如图,连接CE、OC,BE,-4-
∵OE=ED,∠OBD=90°,∴BE=OE=ED。
∴△OBE为等边三角形。
∴∠BOE=60°。
又∵OD∥AC,∴∠OAC=60°。
又∵OA=OC,∴AC=OA=OE。
∴AC∥OE且AC=OE。
∴四边形OACE是平行四边形。
而OA=OE,∴四边形OACE是菱形。
(3)∵CF⊥AB,∴∠AFC=∠OBD=90°。
又∵OD∥AC,∴∠CAF=∠DOB。
∴Rt△AFC∽Rt△OBD。
FCAFBDAFFC∴,即。
BDOBOB又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD。
FGAFBDAFFG,即。
∴BDABABFGOB1∴。
FCAB2【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线。
(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而OD∥AC,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的FCAFBDAFFC,即,再由FG∥BD易证得判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有BDOBOBFGAFBDAFFG△AFG∽△ABD,则,即,然后求FG与FC的比即可。
BDABAB-5-
27.(2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。
(1)求证:
AM=AN;
(2)设BP=x。
3①若,BM=,求x的值;8②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;0③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=15?
并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。
【答案】解:
(1)证明:
∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,00∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=60,∠ADM=∠APN=60。
∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。
BMBP
(2)①易证△BPM∽△CAP,∴,CPCA3x3824x8x+3=0∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即。
2x2813解得x=或x=。
22②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
SS∵△ADM≌△APN,∴。
ADMAPNSSSSSS∴。
APMANPAPMADMADP四边形AMPN如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则-6-
点T是AP的中点。
0在Rt△BPS中,∵∠P=60,BP=x,3100x,BS=BPcos60=x。
∴PS=BPsin60=221∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。
222132222APAS+PS2x+x=x2x+4∴22。
11332SAPDTAPAP=AP∴。
ADP2224∴33333222SSSAPx2x+4x1+0 ADP四边形AMPN444433∴当x=1时,S的最小值为。 4③连接PG,设DE交AP于点O。 0若∠BAD=15,00∵∠DAP=60,∴∠PAG=45。 ∵△APD和△APE都是等边三角形,∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形ADPE是菱形。 ∴DO垂直平分AP。 0∴GP=AG。 ∴∠APG=∠PAG=45。 0∴∠PGA=90。 设BG=t,03t3t在Rt△BPG中,∠B=60,∴BP=2t,PG=。 ∴AG=PG=。 3t+t=233∴,解得t=-1。 ∴BP=2t=2-2。 03∴当BP=2-2时,∠BAD=15。 猜想: 以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 0。 ∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=30-7- 0000∵∠BAD=15,∴易得∠AGO=45,∠HAO=15,∠EAH=45。 33设AO=a,则AD=AE=2a,OD=a。 ∴DG=DO-GO=(-1)a。 000又∵∠BAD=15,∠BAC=60,∠ADO=30,0∴∠DHA=∠DAH=75。 ∵DH=AD=2a,33∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,33HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。 22222DGGH31a+33a=1683a∵,222HE231a=1683a,222DGGHHE∴。 ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。 【分析】 (1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。 (2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得SS,ADP四边形AMPN用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。 0③由∠BAD=15得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。 28.(2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段1BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,2交AC于点G. (1)当点P与点C重合时(如图①).求证: △BOG≌△POE;(4分)-8- BF (2)通过观察、测量、猜想: =▲,并结合图②证明你的猜想;(5分)PE(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,BF求的值.(用含α的式子表示)(5分)PE【答案】解: (1)证明: ∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°。 ∵PF⊥BG,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。 ∴∠GBO=∠EPO。 ∴△BOG≌△POE(AAS)。 BF1 (2)。 证明如下: PE2如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,0∴∠PNE=∠BOC=90,∠BPN=∠OCB。 0∵∠OBC=∠OCB=45,∴∠NBP=∠NPB。 ∴NB=NP。 00—∠BMN,∠NPE=90—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE。 ∵∠MBN=90∴△BMN≌△PEN(ASA)。 ∴BM=PE。 1∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF。 20∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90。 1BM。 又∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA)。 ∴BF=MF,即BF=21BF1∴BF=PE,即。 2PE2(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,0∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=90。 -9- 1由 (2)同理可得BF=BM,∠MBN=∠EPN。 20∵∠BNM=∠PNE=90,∴△BMN∽△PEN。 BMBN∴。 PEPNBNBM2BF=tan=tantan=,∴,即。 在Rt△BNP中,PNPEPEBF1=tan∴。 PE2【考点】几何综合题,正方形和菱形的性质,平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】 (1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。 (2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明△BMN≌△PENBF1的结论。 得到BM=PE,通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出PE21(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同 (2)证得BF=BM,2BMBNBNtan=∠MBN=∠EPN,从而可证得△BMN∽△PEN,由和Rt△BNP中即PEPNPNBF1=tan可求得。 PE229.(2012辽宁沈阳12分)已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的43动点(点A,B不与点O重合),且AB=,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°. (1)求AP的长; (2)求证: 点P在∠MON的平分线上;(3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;..②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围...-10- 3【答案】解: (1)过点P作PQ⊥AB于点Q∵PA=PB,∠APB=120°,AB=4,111133AB=×4=2,∠APQ=∠APB=×120°=60°。 ∴AQ=2222AQ在Rt△APQ中,sin∠APQ=APAQ2323∴AP==4。 sinAPQsin6032 (2)证明: 过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T,∴∠OSP=∠OTP=90°。 在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。 又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP,∴△APS≌△BPT(AAS)。 ∴PS=PT。 ∴点P在∠MON的平分线上。 333(3)①8+4②4+4<t≤8+4。 【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理【分析】 (1)过点P作PQ⊥AB于点Q.根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知1AQ=BQ=AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。 2 (2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T)构建全等三角形△APS≌△BPT;然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。 (3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。 ①当AB⊥OP时,根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度;-11- ②当AB⊥OP时,OP取最大值,即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时,四边形CDEF的周长取最小值,据此写出t的取值范围。 30.(2012辽宁大连12分)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A. (1)∠BEF=_____(用含α的代数式表示); (2)当AB=AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想;(3)当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB,AB=EBmDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图2),求的值(用含m、n的代数式表示)。 EF【答案】解: (1)180°-2α。 (2)EB=EF。 证明如下: 连接BD交EF于点O,连接BF。 ∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,∠ADC=180°-∠C=180°-α。 1∵AB=AD,∴∠ADB=(180°-∠A)=α。 2∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α。 由 (1)得: ∠BEF=180°-2α=∠BDC。 OEOBOEOD==又∵∠EOB=∠DOF,∴△EOB∽△DOF。 ∴,即。 ODOFOBOF∵∠EOD=∠BOF,∴△EOD∽△BOF。 ∴∠EFB=∠EDO=α。 ∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。 ∴EB=EF。 (3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,1801802180A==则∠G=∠AEG=。 22∵AD∥BC,∴∠EDF=∠C=α,∠GBC=∠A,∠DEB=∠EBC。 ∴∠EDF=∠G。 -12- ∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠GBC。 ∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF,即∠EBG=∠FED。 EBBG=∴△DEF∽△GBE。 ∴。 EFDE∵AB=mDE,AD=nDE,∴AG=AE=(n+1)DE。 ∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。 EB(n1m)DE==n1m∴。 EFDE【考点】梯形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。 【分析】 (1)由梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,根据平行线的性质,易求得∠A的度数,又由∠BEF=∠A,即可求得∠BEF的度数: ∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°。 ∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α。 又∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠A=180°-2α。 (2)连接BD交EF于点O,连接BF,由AB=AD,易证得△EOB∽△DOF,根据OEOB=相似三角形的对应边成比例,可得,从而可证得△EOD∽△BOF,又由相似三角ODOF形的对应角相等,易得∠EBF=∠EFB=α,即可得EB=EF。 (3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,易证得△DEF∽△GBE,然后由EB相似三角形的对应边成比例,即可求得的值。 EF31.(2012辽宁鞍山12分)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG. (1)求证: △AOG≌△ADG; (2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.-13- 【答案】解: (1)证明: ∵∠AOG=∠ADG=90°,∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,AO=AD,AG=AG,∴△AOG≌△ADG(HL)。 (2)∠PAG=45°,PG=OG+BP。 理由如下: 由 (1)同理可证△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP。 ∵由 (1)△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG。 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,∴2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°。 ∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。 ∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,∴DG=OG,DP=BP。 ∴PG=DG+DP=OG+BP。 (3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD。 又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。 ∴∠1=∠2=30°。 3在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=,33∴G点坐标为: (,0),CG=3﹣。 CG33==3131在Rt△PCG中,PC=,∴P点坐标为: (3,)。 0tan3033设直线PE的解析式为y=kx+b,-14- 33k+b=0k=则,解得。 33k+b=31b=13∴直线PE的解析式为y=x﹣1。 3【考点】一次函数综合题,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组。 【分析】 (1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证△AOG≌△ADG。 (2)利用 (1)的方法,同理可证△ADP≌△ABP,得出∠1=∠DAG,∠DAP=∠BAP,而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,由此可求∠PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。 (3)由△AOG≌△ADG可知,∠AGO=∠AGD,而∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,当∠1=∠2时,可证∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,即∠1=∠2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定P、G两点坐标,得出直线PE的解析式。 32.(2012山东威海11分)探索发现: 已知: 在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N。 (1)如图①,如果AD=BC,求证: 直线EM是线段AB的垂直平分线; (2)如图②,如果AD≠BC,那么线段AM与
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