求符合条件的a.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。
于是98a为完全平方数,a1
2
例5、分解因式:
x5x6
(-1)+(-6)=-7222
练习5、分解因式
(1)x214x24
(2)a215a36(3)x24x5
222
练习6、分解因式
(1)x2x2
(2)y22y15(3)x210x24
(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc
8b+(-16b)=-8b
22
8ab128b2=a2[8b
=(a8b)(a16b)
练习8、分解因式
(1)x23xy2y2
2222
(2)m6mn8n(3)aab6b(四)二次项系数不为1的齐次多项式
22
例9、2x27xy6y2
1-2y
2-3y
(-3y)+(-4y)=-7y
-3
22
例10、xy3xy2把xy看作一个整体1-1
1-2(-1)+(-2)=
解:
原式=(xy1)(xy2)
22
(2)a2x26ax8
3)(x
y)2
3(x
y)
10
(4)(a
b)2
4a
4b
3
5)x2y2
5x2
y6x
2
2
(6)m4mn
4n2
3m
6n
2
7)x2
4xy
4y2
2x
4y
2
3(8)5(ab)2
23(a2
b2
)
10(a
b)2
2
9)4x2
4xy
6x
3y
2y
2
10(10)12(xy)2
11(x
2
y
2)
2(x
y)2
解:
原式=(x2y)(2x3y)22
练习9、分解因式:
(1)15x27xy4y263
综合练习10、
(1)8x67x31
22
(2)12x211xy15y2
思考:
分解因式:
2222
abcx(abc)xabc
五、换元法。
(1)、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2
分析:
注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元,设x3=m,则x6=m2
原式变形为
m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2
(2)、换多项式
例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.
分析:
本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分
换元,设x2+6=m,则x2+4x+6=m+4x,x2+6x+6=m+6x,原式变
形为
+10mx+25x2
=(m+5x)2=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法,只换了多项式的一部分,所以称为“局部换元法”当然,我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元,就成了“整体换元法”.比如,设x2+4x+6=m,则x2+6x+6=m+2x,原式变形为m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.
另外,还可以取前两个多项式的平均数进行换元,这种换元的方法被
1称为“均值换元法”,可以借用平方差公式简化运算.对于本例,设m=2[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6,则x2+4x+6=m-x,
x2+6x+6=m+x,
(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]
=(x+2)2(x+3)2.
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析:
这道题的前面是四个多项式的乘积,可以把它们分成两组相乘,使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组,最高项都是x2,常数项不相等,所以只能设法使一次项相同.因此,把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12),从而转化成例2形
式加以解决.
1
我们采用“均值换元法”,设m=2[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7,则x2+x-2=m+5,x2+x-2=m-5,原式变形为
(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1
)(x2+x-7-1)
=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).
(3)、换常数
例1分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析:
此题若按照一般思路解答,很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系,把其中一个常数换元.比如,设m=2003,则2004=m+1.于是,原式变形为
=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).
22
例13、分解因式
(1)2005x2(200521)x2005
(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x2
22
解:
(1)设2005=a,则原式=ax2(a21)xa
=(ax1)(xa)
=(2005x1)(x2005)
(2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x27x6)(x25x6)x2
22
设x25x6A,则x27x6A2x
∴原式=(A2x)Ax2=A22Axx2
222
=(Ax)2=(x26x6)2
22222
练习13、分解因式
(1)(x2xyy2)24xy(x2y2)22
(2)(x23x2)(4x28x3)90
222222
(3)(a21)2(a25)24(a23)2
432
例14、分解因式
(1)2x4x36x2x2观察:
此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
解:
原式=x2(2x2
x
112
62)=x2
2(x2
x12)
(x1)6
xx
x
x
设x1
t,
212则x22t2
2
x
x2
22
∴原式=x22(t2
2)
22
t6=x22t2
t10
2
5t
22
1
=x22t
2=x22x
5x
2
x
x
=x·2x
2
1
5·x·x2=
2x2
5x
2x22x1
x
x
=(x1)2
(2x
1)(x2)
432
原式
=x3
13x2
3
原式
x3
3x2
4x
4x
4
=
(x
1)(x2x
1)
3(x
1)(x1)=
x(x2
3x
4)
(4x
4)
=
(x
1)(x2x
1
3x
3)=
x(x
1)(x
4)
4(x
1)
=
(x
2
1)(x24x
4)
=
(x
1)(x2
4x
4)
=
(x
2
1)(x2)2
(x
1)(x
2)2
(2)
x9
63
xx
3
解:
9
原式=(x9
1)
6(x
3
1)(x31)
2
解法2——添项。
)x44x3x24x1
解:
原式=
22x(x
4x
14
x
x12)
x
2=x
21x22
x
4x1
x
设x
1
y,
则x
21
2
2y
2
x
x
∴原式=
22x(y
4y
3)=x2(y
1)(y
3)
2
1
1
2
2
x(x
1)(x
3)
=x
x1x
3x1
x
x
练习14、
(1)
6x47x3
36x2
7x
6
(2)
4
x2x
3
x21
2(x
x2)
六、添项、拆项
、配方法。
例15、分解因式
(1)
x3
3x2
4
解法1——拆项。
=
(x3
1)(x6
33
x1)(x
1)(x3
1)
3
(x3
1)
=
(x3
1)(x6
33
x1x1
1)
=
(x
1)(x2
63
x1)(x62x3
3)
练习
15、
分解因式
(1)
3x
9x
8
4
(2)(x1)4
(x2
1)2
(x
1)4
(3)
4x
7x2
1
(4)x4x2
2ax
1
2a
(5)
4x
4y
(x
y)4
(6)2a2b2
2a2c2
2b
22c
a4b4c
七、待定系数法。
22
例16、分解因式x2xy6y2x13y622
分析:
原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y),则原多项式
必定可分为(x3ym)(x2yn)
22
解:
设x2xy6y2x13y6=(x3ym)(x2yn)
22
∵(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn
解此多项式。
为(xy
a)(x
yb)
解:
设x2
2
ymx
5y
6
=(x
y
a)(x
yb)
则x2
2
ymx
5y
6
2=x
2y
(a
b)x(b
a)yab
a
b
m
a
2
a2
比较对应的系数可得:
b
a
5,
解得
:
b
3或
b3
ab
6
m
1
m1
bx8有两个因式为x
1)分析:
前两项可以分解为(xy)(xy),故此多项式分解的形式必
∴当m1时,原多项式可以分解;
当m1时,原式=(xy2)(xy3);
当m1时,原式=(xy2)(xy3)
2)分析:
x3ax2bx8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,
因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。
32
解:
设x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc)
323则x3ax2bx8=x3(3
2
c)x(23c)x2c
a3c
a7
∴b23c解得
b14,
2c8
c4
∴ab=21
22
练习17、
(1)分解因式x23xy10y2x9y2
22
(2)分解因式x23xy2y25x7y6
22
(3)已知:
x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式
之积,求常数p并且分解因式。
22
(4)k为何值时,x22xyky23x5y2能分解成两个一次
因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全
经典一:
一、填空题
式。
2分解因式:
m3-4m=
3.分解因式:
x2-4y2=__.
4、分解因式:
x24x4=。
5.将xn-yn
分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值
为
二、选择题
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
、把下列各式分解因式:
五、解答题
(5)
经典二:
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
分析:
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把x5x4,x3x2,x1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
原式(x5x4x3)(x2x1)
322
x(xx1)(xx1)
32
(x31)(x2x1)
22
(x1)(x2x1)(x2x1)
解二:
原式=(x5x4)(x3x2)(x1)
x4(x1)x2(x1)(x1)
(x1)(x4x1)
422
(x1)[(x42x21)x2]
22
(x1)(x2x1)(x2x1)
2.通过变形达到分解的目的
例1.
分解
因式x3
3x
24
解一:
将3x2拆成
2x2
2x,
则有
原式
3x
2x2
(x2
4)
2x
(x2)
(x
2)(x
2)
(x
2
2)(x2
x
2)
(x
1)(x
2)2
解二:
将常数4拆成13,则有原式x31(3x23)
(x1)(x2x1)(x1)(3x3)
(x1)(x24x4)
(x1)(x2)2
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
分析:
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
22
证明:
(x24)(x210x21)100
(x2)(x2)(x3)(x7)100
(x2)(x7)(x2)(x3)10022
(x25x14)(x25x6)100
设yx25x,则
原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2
无论y取何值都有(y4)20
(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例:
分解因式:
(a2bc)3(ab)3(bc)3
分析:
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察
a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
解:
设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
原式(AB)3A3B3
A33A2B3AB2B3A3B322
3A2B3AB2
3AB(AB)
3(ab)(bc)(a2bc)
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”
的。
a+b,b+c与
是很重要
中考点拨
例1.在ABC中,三边a,b,c满足a216b2c26ab
10bc0
证明
2
:
a
16b2
2c
6ab
10bc0
2a
2
6ab9b2
2c
10bc
2
25b20
即(a
3b)2
(c
5b)2
0
(a
8bc)(a