北师大版初一上数学第5讲有理数教师版.docx
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北师大版初一上数学第5讲有理数教师版
有理数
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
1、了解有理数的分类。
2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。
3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。
有理数
1、有理数的概念
⑴______、______、______统称为整数(0和正整数统称为______自然数)
⑵______和______统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:
只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:
引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
2、有理数的分类
总结:
①正整数、0统称为______(也叫自然数)
②负整数、0统称为______
③正有理数、0统称为______
④负有理数、0统称为______
数轴
3、数轴的概念
规定了______,______,______的直线叫做数轴。
注意:
⑴数轴是一条向两端无限延伸的______;
⑵______、______、______是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要______;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
4、数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是______关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
5、利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数______;
⑵正数都______0,负数都______0,正数______负数;
⑶两个负数比较,距离原点______的数比距离原点______的数小。
6、数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是______,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是______,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是______,无最小的负整数
7、a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
8、数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
参考答案:
1、正整数0负整数负分数正分数
2、非负整数非正整数非负有理数非正有理数
3、原点正方向单位长度直线原点统一单位长度正方向
4、一一对应
5、大大于小于大于远近
6、10-1
1、有理数的分类
【例1】把下列各数填在相应的括号内:
-16,26,-12,-0.92,0,0.1008,-4.95(思考:
小数是分数吗?
)。
正数集合{};负数集合{};
整数集合{};正分数集合{};
负分数集合{};
分析:
根据正数、负数、整数和分数的定义,严格区别.注意零既不是正数,也不是负数,但是整数.
解:
正数集合{26,0.1008,……};
整数集合{-16,26,-12,0,……};
负数集合{-16,-12,-0.92,-4.95,,……};
正分数集合{0.1008,……};
负分数集合{-0.92,-4.95,……}.
说明:
用大括号表示集合时,要注意省略号的使用.如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”,因为是“所有的”,而具体填时仅能填写一部分,所以后面应加省略号.
练1、下列说法正确的是()
A、非负有理数就是正有理数B、零表示没有,不是自然数
C、正整数和负整数统称整数D、整数和分数统称为有理数
练2、零不属于()
A、有理数集合B、整数集合
C、非正有理数集合D、正数集合
练3、
,2005,
,0,
,+11,
,
,
、2,
中,正整数和负分数共有()
A、3个B、4个C、5个D、6个
答案:
1.D2.D3.C
2、有理数的性质
【例2】(2015年上海上宝中学练习)用有理数表示下面各量。
(1)如果收入200元记作+200元,则如何表示支出100元?
(2)如果海平面以下100米记作-100米,则如何表示海平面以上1000米?
(3)如果向南行100米记作+100米,则向北行200米如何表示?
分析:
该题中每两个量都是意义相反的两个量,为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示.
解:
(1)支出100元表示为-100元;
(2)海平面以上1000米应表示为+1000米;(3)向北行200米表示为-200米;(4)比标准重量少5克表示为-5克.
注意:
(1)一个量是用正数表示,还是用负数表示是人们规定的,但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯.如:
零上温度一般规定为正;海平面以上一般规定为正等;
(2)正数前面的“+”号是可以省略不写的.
练4、如果温度上升3℃记作+3℃,那么下降5℃记作______________________
练5、如果向西走12米记作+12米,则向东走
120米表示的意义是___________________
练6、味精袋上标有“300±5克”字样,还说明这袋味精的质量范围应该是____~____
练7、地图上标有甲地海拔高度30米,乙地海拔高度为20米,丙地海报高度为
5米,其中最高处为___________地,最低处为___________地,最高处与最低处相差_________________
答案:
4、-5℃5、向西走120米6、295g305g7、甲、丙35米
【例3】已知数
的绝对值大于
,则在数轴上表示数
的点应在原点的哪侧?
分析:
确定表示
的点在原点的哪侧,其关键是确定
是正数还是负数.由于负数的绝对值是它的相反数正数,所以可确定
是负数.
解:
由于负数的绝对值是它的相反数,所以负数的绝对值大于这个负数;又因为0和正数的绝对值都是它本身,所以
是负数,故表示数
的点应在原点的左侧.
说明:
只有负数小于其本身的绝对值,而0和正数都等于自己的绝对值.
练8、如果点A表示的数是2.2,将点A向左边移动2个单位长度,那么这时点A表示的数是_______,如果再向左移动1.2个单位长度,那么这时点A表示的数是_______
练9、数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是_____.
练10、数轴上与距离原点3个单位长度的点所表示的负数是______________
答案:
8、0.2-19、+4、-410、-3
【例4】(2015年郑州101中学练习)小明业余时间进行飞镖训练,上周日训练的平均成绩是8.5环,而这一周训练的平均成绩变化如下表:
正号表示比前一天提高,负号表示比前一天下降
(1)问本周哪一天的平均成绩最高,它是多少环?
(2)问本周哪一天的平均成绩最低,它是多少环?
(3)本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了,还是下降了,其变动的环数是多少?
分析这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数,而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数,而上周日的平均环数已知。
解:
本周训练每天的平均环数如下:
周一:
8.5+1=9.5;
周二:
9.5+0.2=9.9;
周三:
9.7+(-0.5)=9.2;
周四:
9.2+0.3=9.5;
周五:
9.5+0.2=9.7;
周六:
9.7+(-0.7)=9;
周日:
9+(-0.1)=8.9。
由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高,是9.7环,本周日训练的平均成绩最低,是8.9环,本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了,提高了(8.9-8.5=0.4)0.4环。
说明:
本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准,而不是都以上周日的平均环数为标准;注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。
练11、为体现社会对教师的尊重,教师节这一天上午,出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。
如果规定向东为正,向西为负,出租车的行程如下(单位:
千米):
+15,-4,+13,
10,
12,+3,
13,
17
(1)最后一名老师送到目的地时,小王距出车地点的距离是多少?
(2)若汽车耗油量为0.4升/千米,这天下午汽车共耗油多少升?
答案:
(1)25千米
(2)34.8
【例5】(2014年秋•甘井子区校级期中)下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录,其中,水位上升用正数表示,水位下降用负数表示。
注:
①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量。
②上周日12时的水位高度为2米。
请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了?
分析:
计算这七天水位变化量的和,看结果是正、还是负,若是正,说明周末水位上升了;若是负;说明水位下降了.
解:
(1)
∴本周末水位下降了
练12、(2015年深圳大学附属中学期中)股民小张星期五买某公司股票1000股,每股14.80元,下表为第二周星期一至星期五每日该股票涨跌情况(单位:
元):
(1)星期三收盘时,每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?
最低价是每股多少元?
(3)已知小张买进股票时付了成交额0.15%的手续费,卖出时付了成交额0.15%的手续费和成交额0.1%的交易税,如果小张在星期五收盘前将全部股票卖出,那么他的收益情况如何?
答案:
(1)15.6元
(2)15.8,15.2(3)+938.3
3、数轴
【例6】下列数轴画正确的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
数轴.
分析:
根据数轴的三要素:
原点、单位长度、正方向,可得答案.
解答:
解:
A没有单位长度,故A错误;
B、没有正方向,故B错误;
C、原点、单位长度、正方向都符合条件,故C正确;
D、原点左边的单位表示错误,应是从左到右由小到大的顺序,故D错误;
故选:
C.
点评:
本题考查了数轴,注意数轴的三要素:
原点、单位长度、正方向.
练13、如图,是点A、B在数轴上的位置,则线段AB的长度为( )
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4
考点:
数轴.
分析:
根据数轴上两点间的距离是大数减小数,可得答案.
解答:
解:
AB的长度为2﹣(﹣5)=2+5=7,
故选:
A.
点评:
本题考查了数轴,数轴上两点间的距离是大数减小数.
练14、数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数 .
考点:
数轴.
分析:
利用数轴上表示的数求解即可.
解答:
解:
数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数﹣1或﹣3.
故答案为:
﹣1或﹣3.
点评:
本题主要考查了数轴,解题的关键是不要漏解.
1、下列说法正确的是()
A、正整数和负整数统称整数;
B、正分数、负分数统称分数;
C、零既可以是正整数也可以是负整数;
D、一个有理数不是正数就是负数
2、下列说法错误的是()
A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴;
B、所有有理数都可以用数轴上的点表示;
C、0是最小的自然数;
D、-1是最大的负整数;
3、下列说法中不正确的是()
A、最小的自然数是1B、最大的负整数是−1
C、没有最大的正整数D、没有最小的负整数
4、下列说法正确的是()
A、有0个苹果即一个苹果也没有,故0的意义就是表示没有
B、0没有带“
”号,所以0是正数;
C、字母a没有带“
”号,所以a是正数;
D、0既不是正数,也不是负数
5、下列说法正确的是()
A、“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量;
B、“快”和“慢”表示具有相反意义的量;
C、“向南100米”和“向北1000米”表示具有相反意义的量;
D、“+15米”就表示向东走了15米
6、用
a表示的数一定是()
A、负数B、正数C、正数或负数D、以上都不对
7、下列语句中正确的是()
A、有理数没有最大的数也没有最小的数;
B、正数没有最大的数,有最小的数;
C、负数没有最小的数,有最大的数;
D、数轴上的点和有理数一一对应。
8、比较大小:
9、到原点的距离不大于3的整数有
10、在数轴上到-1的距离小于3个单位长度的整数有
11、某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温下降大约6℃,若该地区地面温度为23℃,该地区高空某点温度为-31℃,则此点的高度是大约是多少千米?
12、四位同学画数轴如下图所示,你认为正确的是( )
A.
B.
C.
D.
___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
1、在数轴上与原点的距离等于2的点表示的数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
﹣1或3
D.
﹣2或2
2、在﹣4,
,0,2.7这四个有理数中,整数有 .
3、在有理数集合中,最小的正整数是 ,最大的负整数是 .
4、下列各图中,表示数轴的是( )
A.
B.
C.
D.
5、数轴上到原点的距离等于1的点所表示的数是( )
A.
±1
B.
0
C.
1
D.
﹣1
6、下列说法正确的有 .(填序号)
①﹣a是负数.
②0既不是正数,也不是负数
③一个有理数不是整数就是分数.
④0是最小的有理数.
⑤有理数的绝对值是正数.
⑥如果两个数的绝对值相等,则这两个数互为相反数.
7、在数0,2,﹣3,﹣1.2中,属于负整数的是 .
8、如图,数轴上标出的点中,任意相邻两点间的距离都相等,则a的值= .
9、数轴上表示数﹣5和表示﹣14的两点之间的距离是 .
10、最小的正整数是 ,最大的负整数是 .
11、在有理数:
,﹣5,
,0,﹣5.3,60%中,负分数的有 ,整数的有 .
12、在下列数中,有理数有 个;负整数有 个,是 ;
7,
,﹣6,0,3.1415,﹣
,﹣0.62,﹣11.
13、已知数轴上点A表示有理数﹣2,点B与点A相距3个单位长度,则点B表示的有理数是 .
14、已知p是数轴上的一点﹣4,把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度,那么p点表示的数是 .
15、小明写作业时,不慎将墨水滴在数轴上,根据图中数值,请你确定墨迹盖住部分的整数共有 个.
参考答案
当堂检测
1-7BAADCDA
8、>
9、-3、-2、-1、0、1、2、3
10、-1、-2、0、-3、1
11、9
12、
考点:
数轴.
分析:
数轴的定义:
规定了原点、单位长度和正方向的直线.
解答:
解:
A中,无原点;
B中,无正方向;
D中,数的顺序错了.
故选C.
点评:
考查了数轴的定义.
注意数轴的三要素:
原点、正方向和单位长度.
家庭作业
1、考点:
数轴.
分析:
根据数轴上距离的相关概念解题.
解答:
解:
在数轴上与原点的距离等于2的点表示的数是|±2|=2.故选:
D.
点评:
解答此题要用到以下概念:
数轴的定义:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴;
(1)从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数,相反方向的射线上的点对应负数,原点对应零.
(2)在数轴上表示的两个数,正方向的数大于负方向的数.
(3)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.
(4)若从点A向右移动|a|个单位,得到B,则B点坐标为A的坐标加|a|,反之B点坐标为A的坐标减|a|.
2、考点:
有理数.
分析:
有理数包括整数和分数,整数包括正整数、0、负整数,根据以上内容选出即可.
解答:
解:
在﹣4,
,0,2.7这四个有理数中,整数有﹣4,0,
故答案为:
﹣4,0.
点评:
本题考查了有理数的应用,注意:
有理数包括整数和分数,整数包括正整数、0、负整数,分数包括正分数、负分数.
3、考点:
有理数.
专题:
推理填空题.
分析:
根据正整数和负整数的定义来得出答案.正整数:
+1,+2,+3,…叫做正整数.负整数:
﹣1,﹣2,﹣3,…叫做负整数.特别注意:
0是整数,既不是正数,也不是负数.
解答:
解:
在有理数集合中,最小的正整数是1,最大的负整数是﹣1.
故答案为1;﹣1.
点评:
本题主要考查了有理数的分类及定义.认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.
特别注意:
整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.
4、考点:
数轴.
分析:
根据数轴的概念:
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素:
原点,单位长度,正方向分析得出即可.
解答:
解:
A、缺少原点,不表示数轴,故此选项错误;
B、负数排列错误,应从原点向左依次排列,故此选项错误;
C、是正确的数轴,故此选项正确;
D、缺少正方向,故此选项错误.
故选C.
点评:
此题主要考查了数轴的概念,熟练掌握数轴的定义是解题关键.
5、考点:
数轴.
分析:
从原点向左数1个单位长度得﹣1,向右数1个单位长度得1,也就是绝对值为1的数是±1.
解答:
解:
与原点距离为1的点为:
|1|,
∴这个数为±1.
故选:
A.
点评:
通过数轴找这样的数,有助于对绝对值意义的理解.
6、考点:
有理数.
分析:
根据小于零的数是负数,可判断①,根据零的意义,可判断②,根据有理数的分类,可判断③,根据有理数的意义,可判断④,根据绝对值的意义,可判断⑤,根据相反数的性质,可判断⑥.
解答:
解:
①﹣a可能是负数、零、正数,故①说法错误;
②零既不是正数也不是负数,故②说法正确;
③有理数包括整数和分数,故③说法正确;
④没有最小的有理数,故④说法错误;
⑤有理数的绝对值是非负数,故⑤说法错误;
⑥两个数的绝对值相等,这两个数相等或互为相反数,故⑥说法错误;
故答案为:
②③.
点评:
本题考查了有理数,绝对值相等的数相等或互为相反数,注意没有最小的有理数也没有最大的有理数.
7、考点:
有理数.
分析:
根据小于零的整数是负整数,可得答案.
解答:
解:
在数0,2,﹣3,﹣1.2中,属于负整数的是﹣3.
故答案为﹣3.
点评:
此题考查了有理数,根据实数的相关概念及其分类方法进行解答,然后判断出属于负整数的数即可.
8、考点:
数轴.
分析:
先根据数轴上两点之间距离公式求出﹣12表示的点到20表示的点之间的距离,再求出相邻两点之间的距离得出一格表示的数,然后得出a的值.
解答:
解:
∵﹣12表示的点与20表示的点之间的距离为:
20﹣(﹣12)=32,
∴每相邻两个间隔之间表示的长度为:
32÷8=4,
∴a=﹣12+4×3=0.
故答案为0.
点评:
本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间的距离公式,关键是求出每一格代表的数的大小,另外注意原点左边的数为负数.
9、考点:
数轴.
分析:
数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值,即较大的数减去较小的数.
解答:
解:
|﹣5﹣(﹣14)|=9.
点评:
考查了数轴上两点之间的距离的计算方法.
10、考点:
有理数.
分析:
根据有理数的相关知识进行解答.
解答:
解:
最小的正整数是1,最大的负整数是﹣1.
点评:
认真掌握正数、负数、整数的定义与特点.需注意的是:
0是整数,但0既不是正数也不是负数.
11、考点:
有理数.
分析:
根据有理数的分类即有理数包括:
整数(正整数、0和负整数)和分数(正分数和负分数)进行解答即可.
解答:
解:
在
,﹣5,
,0,﹣5.3,60%中,负分数的有
,﹣5.3;
整数的有﹣5,0;
故答案为:
,﹣5.3;﹣5,0.
点评:
此题考查了有理数的分类,认真掌握有理数的分类是本题的关键;注意整数、0、正数之间的区别:
0是整数但不是正数.
12、考点:
有理数.
分析:
根据有理数的定义和负整数的特点分别进行解答即可.
解答:
解:
有理数有7,
,﹣6,0,3.1415,﹣
,﹣0.62,﹣11,共8个;
负整数有﹣6,﹣11,共2个;
故答案为:
8,2,﹣1,﹣11.
点评:
此题考查了有理数的分类,认真掌握有理数和负整数的定义是本题的关键,注意0是整数,但不是负整数.
13、考点:
数轴.
分析:
根据数轴上的点到一点距离相等的点有两个,可得答案.
解答:
解:
∵|﹣5﹣(﹣2)|=3,|1﹣(﹣2)|=3,
∴已知数轴上点A表示有理数﹣2,点B与点A相距3个单位长度,则点B表示的有理数是﹣5或1.
故答案为:
﹣5或1.
点评:
本题主要考查了数轴,两点间的距离公式是解题关键.
14、考点:
数轴.
专题:
阅读型.
分析:
根据题意,分析可得,实际将P向左平移2个单位,结合数轴可得答案.
解答:
解:
根据题意,把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度,
实际将P向左平移2个单位,
则p点表示的数是﹣4﹣2=﹣6,
故答案为﹣6.
点评:
本题考查数轴的运用,要求学生掌握用数轴表示实数.
15、考点:
数轴.
分析:
根据数轴上已知整数,求出墨迹盖住部分的整数个数.
解答:
解:
根据数轴得:
墨迹盖住的整数共有0,1,2共3个.
故答案为:
3.
点评:
本题主要考查了数轴,理解整数的概念,能够首先结合数轴得到被覆盖的范围,进一步根据整数这一条件是解题的关键.
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