同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳讲解.docx
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同角三角函数的基本关系知识点与题型归纳讲解
●高考明方向
1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1,=tanα.
2.能利用单位圆中的三角函数线
推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
★备考知考情
同角关系式和诱导公式中的π±α,±α是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度为中低档题,主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用,一般不单独命题,在考查基本运算的同时,注重考查等价转化的思想方法.
一、知识梳理《名师一号》P47
知识点一同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
注意:
《名师一号》P50问题探究问题1
在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧?
利用同角三角函数基本关系式化简求值时,
涉及两个同角基本关系sin2α+cos2α=1和tanα=,它们揭示同一角α的各三角函数间的关系,
需要在复习中通过解题、理解、掌握.
尤其是利用sin2α+cos2α=1及变形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,要注意符号判断.
知识点二诱导公式
记忆口诀:
奇变偶不变,符号看象限!
注意:
《名师一号》P50问题探究问题2
诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,
符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关?
无关,只是把α从形式上看作锐角,
从而2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α,-α,+α
分别是第一、三、四,二、一、二象限角.
二、例题分析:
(一)求值
例1.
(1)《名师一号》P50对点自测4
(09全国卷Ⅰ文)
的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
答案:
A
例1.(补充)
(2)
的值为
答案:
例1.(补充)(3)
的值为
答案:
注意:
(补充)
求任意角的三角函数值:
负化正
正化主
主化锐
例1.(4)《名师一号》P51高频考点例2
(1)
(2014·安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=( )
A. B. C.0 D.-
解:
(1)由题意得f=f+sin
=f+sin+sin=f+sin+sin
+sin=0+-+=.
练习:
(补充)(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
由于正弦函数
在区间
上为递增函数,因此
,即
。
练习:
如图所示的程序框图,运行后输出结果为( )
A.1B.2680C.2010D.1340
答案:
C
例2.
(1)《名师一号》P51高频考点例1
(1)
已知α∈,tanα=2,则cosα=________.
解:
依题意得
由此解得cos2α=;
又α∈,因此cosα=-.
法二:
?
利用直角三角形求解
注意:
(补充)
三角函数求值中直角三角形的运用
先根据所给三角函数值,把角看成锐角构造相应的直角三角形,求出该锐角的各三角函数值,再添上符号即可.
变式1:
已知α是第三象限角,tanα=2,则cosα=_____.
变式2:
已知tanα=2,则cosα=_____.
注意:
(补充)
利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二
关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响
练习:
已知
,求
和
。
【答案】当
是第一象限时,
当
是第四象限时,
例2.
(2)《名师一号》P51高频考点例3
(1)
(1)记cos(-80°)=k,那么tan100°等于( )
A.B.-C.D.-
解析 因为cos(-80°)=cos80°=k,
所以sin80°==,
所以tan100°=-tan80°=-=-.
例3.
(1)《名师一号》P51高频考点例2
(2)
已知tan=,则tan=________.
例3.
(2)(补充)已知cos=,则sin2α=( )
A.-B.C.-D.
答案:
A
注意:
(补充)关注已知角
与待求角
是否满足
或是倍半关系。
练习1:
已知
,
则
答案:
练习2:
已知cos(+α)=,且-π<α<-,
则cos(-α)=________.
答案:
练习3:
已知sin=,则sin=______.
[答案]
[解析] sin=cos
=cos=1-2sin2=.
练习4:
对任意的a∈(-∞,0),总存在x0使得acosx+a≥0成立,则sin(2x0-)的值为________.
答案:
例4.《名师一号》P52特色专题
【典例】
(1)已知sinαcosα=,且<α<,
则cosα-sinα的值为( )
A.-B.C.-D.
【规范解答】
(1)∵<α<;
∴cosα<0,sinα<0且|cosα|<|sinα|.
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,
∴cosα-sinα=.
(2)已知sin(π-α)-cos(π+α)=(<α<π),
则sinα-cosα=________.
【规范解答】
(2)由sin(π-α)-cos(π+α)=.
得sinα+cosα=,①
将①两边平方得1+2sinαcosα=,
故2sinαcosα=-.
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα
=1-=.
又∵<α<π,∴sinα>0,cosα<0.
∴sinα-cosα=.
【名师点评】
解决此类问题的关键是等式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.但要特别注意对sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα符号的关注.
数学思想系列之(三)
sinα±cosα及sinαcosα间的方程思想
对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,已知其中的一个式子的值,可利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,求其余两式的值,体现了方程思想的应用.
6月19日15班讲解至此
例5.(补充)
(2)已知
,
则
答案:
注意:
(补充)
(1)
(2)利用
,进行切化弦
涉及
的问题
常采用平方法求解
例4.(3)《名师一号》P51高频考点例3
(2)
已知sin=a(a≠±1,a≠0).
求cos·tan+的值.
解 cos·tan+
=-cos·tan+
=-sin-=-a-=.
练习:
已知
①求
的值;
②求
的值
答案:
①
②
练习:
已知
是方程
的两个根,
,求角
.
答案:
或
(舍去)
法二:
例5.
(1)《名师一号》P50对点自测2
若tanα=2,则的值为( )
A.-B.-C.D.
解析 ===.
例5.
(1)《名师一号》P51高频考点例1
(2)
已知=5,则sin2α-sinαcosα的值是( )
A.B.-C.-2D.2
解:
由=5,得=5,即tanα=2.
所以sin2α-sinαcosα=
==.
注意:
(补充)
知
的值,求关于
齐次式的值
(1)利用
将关于
齐次整式化为
关于
齐次分式,如
等。
(2)利用
,进行弦化切,
即将关于
齐次分式的分子、分母
同除以
等转化为关于
的表达式求解。
周练15-16
(2)
16、(本小题满分12分)已知
.
求
的值;
求
的值.
(二)化简
例1.(补充)化简:
·
分析:
“脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下能成为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用分式的性质可以达到目标.
解析:
原式=·
=
=·
注意:
《名师一号》P48高频考点例2规律方法
注意:
《名师一号》P51问题探究问题3
三角函数值求值与化简有哪些常用方法?
(1)弦切互化法:
主要利用公式tanα=化成正、余弦.
(2)和积转换法:
利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=….
课后作业
计时双基练P243基础1-11、培优1-4
课本P51变式思考1、2、3;对应训练1、2
预习第三章第三节
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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