结构动力学哈工大版课后习题解答.doc
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第一章单自由度系统
第一章单自由度系统
1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有:
牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、牛顿第二定律法
适用范围:
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:
(1)对系统进行受力分析,得到系统所受的合力;
(2)利用牛顿第二定律,得到系统的运动微分方程;
(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
2、动量距定理法
适用范围:
绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:
(1)对系统进行受力分析和动量距分析;
(2)利用动量距定理J,得到系统的运动微分方程;
(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、拉格朗日方程法:
适用范围:
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:
(1)设系统的广义坐标为,写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:
L=T-U;
(2)由格朗日方程=0,得到系统的运动微分方程;
(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、能量守恒定理法
适用范围:
所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤:
(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const
(2)将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即,进一步得到系统的运动微分方程;
(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:
衰减曲线法和共振法。
方法一:
衰减曲线法。
求解步骤:
(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值、。
(2)由对数衰减率定义,进一步推导有
,
因为较小,所以有
。
方法二:
共振法求单自由度系统的阻尼比。
(1)通过实验,绘出系统的幅频曲线,如下图:
单自由度系统的幅频曲线
(2)分析以上幅频曲线图,得到:
;
于是
;
进一步
;
最后
;
1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个:
幅频(相频)曲线法和功率法。
方法一:
幅频(相频)曲线法
当单自由度系统在正弦激励作用下其稳态响应为:
其中:
;
(1)
(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数,由上述
(1),
(2)式求得阻尼比。
方法二:
功率法:
(1)单自由度系统在作用下的振动过程中,在一个周期内,
弹性力作功为、
阻尼力做功为、
激振力做作功为;
(2)由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,
即:
++;
于是-
进一步得:
;
(3)当时,,
则,
得,。
m
图1-33(a)
1.4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。
(a)此系统相当于两个弹簧串联,弹簧刚度为k1、
简支梁刚度为;等效刚度为k;
则有;
则固有频率为:
;
图1-33(b)
m
(b)此系统相当于两个弹簧并联,等效刚度为:
;
则固有频率为:
m
图1-33(c)
(c)系统的等效刚度
则系统的固有频率为
图1-33(d)
m
(d)由动量距定理得:
()=
得:
,
则。
1.5求下图所示系统的固有频率。
图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
图1-34
A
B
0
x
解:
以为广义坐标,则
系统的动能为
系统的势能为:
;
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程得
则,
=
所以:
系统的固有频率为
图1-35
R
M
1.6求图1-35所示系统的固有频率。
图中磙子半径为R,质量为M,作纯滚动。
弹簧刚度为K。
解:
磙子作平面运动,
其动能T=T平动+T转动。
;
而势能
;
系统机械能
;
由得系统运动微分方程
;
得系统的固有频率
;
1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。
已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:
由齿轮转速之间的关系得
角速度;
转角;
系统的动能为:
D(c)
A
B
图1-36
C
;
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由得系统运动微分方程
;
因此系统的固有频率为:
;
1.8已知图1-37所示振动系统中,匀质杆长为,质量为m,两弹簧刚度皆为K,阻尼系数为C,求当初始条件时
(1)的稳态解;
(2)的解;
解:
利用动量矩定理建立系统运动微分方程
;
而;
得
;
化简得
(1)
(1)求的稳态解;
将代入方程
(1)得
(2)
令得
(3)
设方程(3)的稳态解为
(4)
将(4)式代入方程(3)可以求得:
;
;
(2)求的解;
将代入方程
(1)得
(5)
令得
(6)
方程(6)成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励的响应。
由方程(6)可以得到初始加速度
;
然后积分求初始速度
;
再积分求初位移
;
这样方程(6)的解就是系统对于初始条件、和的瞬态响应
;
将其代入方程(6)可以求得:
最后得
1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子,其质量为m,阻尼为C,刚度为K,处于静止状态,方盒距地面高度为H,求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
解:
因为在自由落体过程中弹簧无变形,所以振子与盒子之间无相对位移。
在粘地瞬间,
由机械能守恒定理的振子的初速度;
k/2
c
m
k/2
H
图1-38
底版与地面粘住后,弹簧振子的振动是对于初速度
的主动隔振
系统的运动微分方程为:
;
或
或
系统的运动方程是对于初始条件的响应:
;
;
;
k/2
c
k/2
y(t)
y
m
y
图1-39
1.10汽车以速度V在水平路面行使。
其单自由度模型如图。
设m、k、c已知。
路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。
求:
(1)建立汽车上下振动的数学模型;
(2)汽车振动的稳态解。
解:
(1)建立汽车上下振动的数学模型;由题意可以列出其运动方程:
其中:
表示路面波动情况;1表示汽车上下波动位移。
将其整理为:
(1)
将代入得
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为:
代入系统运动微分方程
(1)可解得:
;
;
1.11.若电磁激振力可写为,求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。
解:
首先将此激振力按照傅里叶级数展开:
其中:
;
因为是偶函数,所以。
于是
而
;
式中
;
;
1.12.若流体的阻尼力可写为,求其等效粘性阻尼。
解:
(1)流体的阻尼力为
;
(2)设位移为
,
而;
(3)流体的阻尼力的元功为
;
(4)流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量
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