高中数学人教A版选修45教学案第二讲 二 综合法与分析法.docx
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高中数学人教A版选修45教学案第二讲二综合法与分析法
2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案:
第二讲二综合法与分析法
对应学生用书P21
1.综合法
(1)定义:
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,综合法又叫顺推证法或由因导果法.
(2)特点:
由因导果,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(3)证明的框图表示:
用P表示已知条件或已有的不等式,用Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为
→→→……→
2.分析法
(1)定义:
证明题时,常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种“执果索因”的思考和证明方法.
(2)特点:
执果索因,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.
(3)证明过程的框图表示:
用Q表示要证明的不等式,则分析法可用框图表示为→→→……→
对应学生用书P21
用综合法证明不等式
[例1] 已知x>0,y>0,且x+y=1,求证:
·≥9.
[思路点拨] 可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式.
[证明] 法一:
∵x>0,y>0,∴1=x+y≥2.
∴xy≤.
∴=1+++
=1++=1+≥1+8=9.
当且仅当x=y=时等号成立.
法二:
∵x+y=1,x>0,y>0,
∴=
==5+2≥5+2×2=9.
当且仅当x=y=时,等号成立.
综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
1.已知a,b,c∈R+,证明不明式:
a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时取等号.
证明:
因为a>0,b>0,c>0,故有
a+b≥2,当且仅当a=b时取等号;
b+c≥2,当且仅当b=c时取等号;
c+a≥2,当且仅当c=a时取等号.
三式分边相加,得a+b+c≥++.当且仅当a=b=c时取等号.
2.已知a,b,c都是实数,求证:
a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
证明:
∵a,b,c∈R,
∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc.
c2+a2≥2ca
将以上三个不等式相加得:
2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)①
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.②
在不等式①的两边同时加上“a2+b2+c2”得:
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2
即a2+b2+c2≥(a+b+c)2.③
在不等式②的两端同时加上2(ab+bc+ca)得:
(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
即(a+b+c)2≥ab+bc+ca.④
由③④得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
用分析法证明不等式
[例2] 已知x>0,y>0,求证(x2+y2)>(x3+y3).
[思路点拨] 不等式两边是根式,可等价变形后再证明.分析每一步成立的充分条件.
[证明] 要证明(x2+y2)>(x3+y3),
只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2.
即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6.
即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.
∵x>0,y>0,∴x2y2>0.
即证3x2+3y2>2xy.
∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy.
∴3x2+3y2>2xy成立.
∴(x2+y2)>(x3+y3).
(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系,或条件与结论之间的关系不明显时,可用分析法来寻找证明途径.
(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆.
3.求证:
+<2.
证明:
分析法:
∵+>0,2>0,∴要证+<2.
∴只需证明:
(+)2<
(2)2.
展开得:
10+2<20.
即证2<10,
即证21<25(显然成立).
∴+<2.
4.a,b∈R+,且2c>a+b.
求证:
c- 证明: 要证c- 只需证- 即证: |a-c|<, 两边平方得a2-2ac+c2 也即证a2+ab<2ac,即a(a+b)<2ac. ∵a,b∈R+,且a+b<2c,∴a(a+b)<2ac显然成立. ∴原不等式成立. 综合法与分析法的综合应用 [例3] 设a>0,b>0,且a+b=1,求证: +≤. [思路点拨] 所证不等式含有开方运算且两边都为正数,可考虑两边平方,用分析法转化为一个不含开方运算的不等式,再用综合法证明. [证明] 要证: +≤, 只需证(+)2≤6, 即证(a+b)+2+2≤6. 由a+b=1得只需证≤, 即证: ab≤. 由a0,a+b=1, 得ab≤2=,即ab≤成立. ∴原不等式成立. (1)通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式易于证明. (2)有些不等式的证明,需要一边分析一边综合,称之为分析综合法,或称“两头挤”法,如本例,这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提,互相渗透,相互转化的辩证统一关系. 5.已知a,b,c都是正数, 求证: 2≤3. 证明: 法一: 要证2≤3, 只需证a+b-2≤a+b+c-3, 即-2≤c-3. 移项,得c+2≥3. 由a,b,c为正数,得c+2=c++≥3成立. ∴原不等式成立. 法二: ∵a,b,c是正数, ∴c++≥3=3. 即c+2≥3. 故-2≤c-3. ∴a+b-2≤a+b+c-3. ∴2≤3. 对应学生用书P23 1.设a,b∈R+,A=+,B=,则A,B的大小关系是( ) A.A≥B B.A≤B C.A>BD.A<B 解析: A2=(+)2=a+2+b,B2=a+b, 所以A2>B2. 又A>0,B>0, ∴A>B. 答案: C 2.a,b∈R+,那么下列不等式中不正确的是( ) A.+≥2B.+≥a+b C.+≤D.+≥ 解析: A满足基本不等式;B可等价变形为(a-b)2(a+b)≥0正确;C选项中不等式的两端同除以ab,不等式方向不变,所以C选项不正确;D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的,D正确. 答案: C 3.设a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>cB.a>c>b C.b>a>cD.b 解析: 由已知,可得出a=,b=,c=, ∵+>+>2. ∴b 答案: B 4.设 A.aa C.ab 解析: ∵ ∴01. ∴ab ∵0<<1,a>0. ∴a<1.∴aa ∴ab 答案: C 5.若<<0,则下列不等式 ①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④+>2 其中正确的有________. 解析: ∵<<0,∴b<a<0. ∴ 故①正确,②③错误. ∵a,b同号且a≠b,∴,均为正. ∴+>2=2. 故④正确. 答案: ①④ 6.已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,是,的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为________. 解析: ∵P=,Q=,=+, ∴R=≤Q=≤P=, 当且仅当a=b时取等号. 答案: P≥Q≥R 7.设a>b>c,且+≥恒成立,则m的取值范围是________. 解析: ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0. 又(a-c)·=[(a-b)+(b-c)]·≥2·2=4,当且仅当a-b=b-c时取等号. ∴m∈(-∞,4]. 答案: (-∞,4] 8.若a,b,c是不全相等的正数,求证: lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 证明: 法一: (综合法) ∵a,b,c∈R+, ∴≥>0,>≥0,≥>0. 又∵a,b,c是不全相等的正数, ∴··>abc. ∴lg>lgabc, 即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 法二: (分析法) 要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc, 即证lg>lgabc成立. 只需证··>abc成立. 又∵≥>0,≥>0,≥>0. ∴··≥abc>0.(*) 又∵a,b,c是不全相等的正数,∴(*)式等号不成立. ∴原不等式成立. 9.已知x,y,z均为正数.求证: ++≥++. 证明: 因为x,y,z均为正数. 所以+=(+)≥, 同理可得+≥, +≥, 当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得 ++≥++. 10.设实数x,y满足y+x2=0,0 求证: loga(ax+ay)<+loga2. 证明: 因为ax>0,ay>0, 所以ax+ay≥2=2. 因为x-x2=x(1-x)≤2=, 又因为0 所以ax-x2≥a,当x=时,等式成立. 但当x=,ax≠a-x2,∴>a. 所以ax+ay>2a,又∵0 ∴loga(ax+ay) 即loga(ax+ay)
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