高中数学竞赛讲义十一圆锥曲线.docx
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高中数学竞赛讲义十一圆锥曲线
高中数学竞赛讲义(十一)
──圆锥曲线
一、基础知识
1.椭圆的定义,第一定义:
平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c).
第二定义:
平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 (0 第三定义: 在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2,c2: x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。 从原点出发的射线交圆c1于P,交圆c2于Q,过P引y轴的平行线,过Q引x轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为 (a>b>0), 参数方程为 ( 为参数)。 若焦点在y轴上,列标准方程为 (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 , a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 ,与右焦点对应的准线为 ;定义中的比e称为离心率,且 ,由c2+b2=a2知0 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式: 对于椭圆 1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。 若P(x,y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex. 5.几个常用结论: 1)过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为 ; 2)斜率为k的切线方程为 ; 3)过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|,a>0)的点P的轨迹; 第二定义: 到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程: 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为 , 参数方程为 ( 为参数)。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 (a,b>0), a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),对应的左、右准线方程分别为 离心率 ,由a2+b2=c2知e>1。 两条渐近线方程为 ,双曲线 与 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。 若a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线 ,F1(-c,0),F2(c,0)是它的两个焦点。 设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;若P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是 。 10.抛物线: 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。 若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F坐标为 ,准线方程为 ,标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=1. 11.抛物线常用结论: 若P(x0,y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= ; 2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ的弦长为 。 12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0 这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例1 已知定点A(2,1),F是椭圆 的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。 [解] 见图11-1,由题设a=5,b=4,c= =3, .椭圆左准线的方程为 ,又因为 ,所以点A在椭圆内部,又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线,垂足为Q。 由定义知 ,则 |PF|=|PQ|。 所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM 左准线于M)。 所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把y=1代入椭圆方程得 ,又x<0,所以点P坐标为 例2 已知P, 为双曲线C: 右支上两点, 延长线交右准线于K,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。 求证: ∠ F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为l,作PD l于D, 于E,因为 //PD,则 ,又由定义 ,所以 ,由三角形外角平分线定理知,F1K为∠PF1P的外角平分线,所以∠ =∠KF1Q。 2.求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点O,焦点所在的直线为x轴,建立直角坐标系,设椭圆方程: =1(a>b>0).F坐标为(-c,0).设另一焦点为 。 连结 ,OP,则 。 所以|FP|+|PO|= (|FA|+|A |)=a. 所以点P的轨迹是以F,O为两焦点的椭圆(因为a>|FO|=c),将此椭圆按向量m=( 0)平移,得到中心在原点的椭圆: 。 由平移公式知,所求椭圆的方程为 [解法二] 相关点法。 设点P(x,y),A(x1,y1),则 ,即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆 上,所以 代入得关于点P的方程为 。 它表示中心为 ,焦点分别为F和O的椭圆。 例4 长为a,b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。 [解]设P(x,y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D的坐标分别为A(x- 0),B(x+ 0),C(0,y- ),D(0,y+ ),记O为原点,由圆幂定理知|OA|? |OB|=|OC|? |OD|,用坐标表示为 ,即 当a=b时,轨迹为两条直线y=x与y=-x; 当a>b时,轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线; 当a 例5 在坐标平面内,∠AOB= ,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方,则点A,B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ- )),设外心为P(x,y),由中点公式知OB中点为M 。 由外心性质知 再由 得 ×tanθ=-1。 结合上式有 tanθ= ① 又 tanθ+ = ② 又 所以tanθ- = 两边平方,再将①,②代入得 。 即为所求。 3.定值问题。 例6 过双曲线 (a>0,b>0)的右焦点F作B1B2 轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。 求证: H的横坐标为定值。 [证明] 设点B,H,F的坐标分别为(asecα,btanα),(x0,0),(c,0),则F1,B1,B2的坐标分别为(-c,0),(c, ),(c, ),因为F1,H分别是直线B2F,BB1与x轴的交点,所以 ① 所以 。 由①得 代入上式得 即 (定值)。 注: 本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。 证明: 直线AC经过定点。 [证明] 设 ,则 ,焦点为 ,所以 , , , 。 由于 ,所以 ? y2- y1=0,即 =0。 因为 ,所以 。 所以 ,即 。 所以 ,即直线AC经过原点。 例8 椭圆 上有两点A,B,满足OA OB,O为原点,求证: 为定值。 [证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB= ,则点A,B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。 由A,B在椭圆上有 即 ① ② ①+②得 (定值)。 4.最值问题。 例9 设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA OB(O为原点),求|AB|的最大值与最小值。 [解] 由题设a=1,b= 记|OA|=r1,|OB|=r2, ,参考例8可得 =4。 设m=|AB|2= 因为 ,且a2>b2,所以 ,所以b≤r1≤a,同理b≤r2≤a.所以 。 又函数f(x)=x+ 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当t=1即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值1;当 或 时,|AB|取最大值 。 例10 设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为 ,若圆C: 1上点与这椭圆上点的最大距离为 ,试求这个椭圆的方程。 [解] 设A,B分别为圆C和椭圆上动点。 由题设圆心C坐标为 ,半径|CA|=1,因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值 ,所以|BC|最大值为 因为 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t, t,椭圆方程为 ,并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ),则|BC|2=(2tcosθ)2+ =3t2sin2θ-3tsinθ+ +4t2=-3(tsinθ+ )2+3+4t2. 若 ,则当sinθ=-1时,|BC|2取最大值t2+3t+ ,与题设不符。 若t> 则当sinθ= 时,|BC|2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1. 所以椭圆方程为 。 5.直线与二次曲线。 例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。 [解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1), (-y1,-x1),满足y1=a 且-x1=a(-y1)2-1,相减得x1+y1=a( ),因为P不在直线x+y=0上,所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1),即x1=y1+ 所以 此方程有不等实根,所以 ,求得 ,即为所求。 例12 若直线y=2x+b与椭圆 相交, (1)求b的范围; (2)当截得弦长最大时,求b的值。 [解]二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0,得 ;设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|= 。 所以当b=0时,|PQ|最大。 三、基础训练题 1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是________. 3.椭圆 上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________. 4.双曲线方程 ,则k的取值范围是________. 5.椭圆 ,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________. 6.直线l被双曲线 所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________. 7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________. 9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________. 10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点, 的取值范围是________. 11.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。 12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设|AT|=2a(2a< );(iii)半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足 求证: |AM|+|AN|=|AB|。 13.给定双曲线 过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是 =0,则此双曲线的标准方程是_________. 2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线 的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 ,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________. 5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆 恰有一个公共点的_________条件. 6.若参数方程 (t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________. 7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,则m的范围是_________. 8.过双曲线 的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9.过坐标原点的直线l与椭圆 相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________. 10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12.设F,O分别为椭圆 的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。 13.已知双曲线C1: (a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。 (1)求证: C1,C2总有两个不同的交点。 (2)问: 是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值? 若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________. 2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,ΔOPQ面积为_________. 3.给定椭圆 ,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OP OQ,则离心率e的取值范围是_________. 4.设F1,F2分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________. 5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0, )和C(0, ),另两边斜率的乘积为 ,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________. 6.长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________. 7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_________. 8.已知点P(1,2)既在椭圆 内部(含边界),又在圆x2+y2= 外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________. 9.已知椭圆 的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。 10.设曲线C1: (a为正常数)与C2: y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。 (1)求实数m的取值范围(用a表示);
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