高中数学复习专题四 函数的图象函数的应用必修1.docx
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高中数学复习专题四函数的图象函数的应用必修1
1.(2015·课标Ⅱ,10,中)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
【答案】 B 当0≤x<时,f(x)=tanx+;当≤x≤时,f(x)=+;当≤x<π时,f(x)=-tanx+,由此可知当x=和x=时函数有最大值,排除C,D;由函数解析式知,函数的图象每段应是曲线,故应选B.
2.(2015·北京,7,中)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1 C.{x|-1 【答案】 C 如图,线段BC的解析式为x+y=2, ∴当x=1时,f(x)=log2(x+1). ∴f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|-1 3.(2015·北京,8,中)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 D 由题图可知,消耗1升汽油,乙车最多可行驶的里程大于5千米,故A错误;消耗1升汽油甲走最远,则反过来路程相同,甲最省油,故B错误;甲车此时行驶了80千米,消耗8升汽油,故C错误;80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油. 4.(2015·安徽,9,难)函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0 【答案】 C 由图可知, ①当x=0时,y=>0,∴b>0; ②当y=0时,即ax+b=0. 又根据选项知a≠0, ∴x=->0,∴a<0; ③根据函数定义域可得c<0.综上选C. 1.(2011·陕西,3,易)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( ) 【答案】 B (排除法)由f(-x)=f(x)知,f(x)为偶函数,排除A,C;由f(x+2)=f(x)知,f(x)的周期为2,排除D.故选B. 2.(2012·课标全国,10,中)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( ) 【答案】 B 令g(x)=ln(x+1)-x,则g′(x)=-1=,∴当-1 当x>0时,g′(x)<0,∴g(x)max=g(0)=0. ∴f(x)<0,排除A,C.又由f(x)的定义域为{x|x≠0},可排除D,故选B. 3.(2013·安徽,8,中)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围是( ) A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3} 【答案】 B ==…=,即y=f(x)的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式.又交点至少要有两个,至多有四个,故n可取2,3,4. 4.(2013·江西,10,难)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0 【答案】 D 当x逐渐增大时,y也逐渐增大,故y随x的增大而增大,故排除B.下面定量分析: 当x=时,弧长所对的圆心角为∠FOG=.可求得l向上移动的距离为1-1×cos=1-,故此时BE==.又易知BC==,故y=BE+BC+CD=2BE+BC=2×+=. 因为<=, 所以函数f(x)的图象是下凹型.故选D. 5.(2014·湖南,10,难)已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( ) A.B. C.D. 【答案】 B 由题意知,设x0∈(-∞,0), 使得f(x0)=g(-x0), 即x+ex0-=(-x0)2+ln(-x0+a), ∴ex0-ln(-x0+a)-=0. 令y1=ex-,y2=ln(-x+a),要使得函数图象的交点A在y轴左侧,如图,则lna<=lne,∴a 方法点拨: 首先由存在关于y轴对称的点,建立f(x)与g(x)之间的联系,然后将函数的零点转化为两个函数图象的交点. 6.(2012·山东,12,难)设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0 【答案】 B 方法一: 由题意知满足条件的两函数图象只有图 (1)与图 (2)两种情况, 图 (1)中,作B关于原点的对称点B′,据图可知: 当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0,故B正确. 图 (2)中,作A关于原点的对称点A′,据图可知: 当a>0时,x1+x2<0,y1+y2>0,C,D均错. 方法二: =ax2+bx⇔=ax+b, 分别作出y=和y=ax+b的图象,如下: 不妨设x1<0,x2>0, 当a>0时,x1+x2<0, y1+y2=+=>0. 当a<0时,x1+x2>0,y1+y2=+=<0.故选B. 7.(2012·福建,10,难)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x2)在[1,]上具有性质P; ③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 其中真命题的序号是( ) A.①②B.①③C.②④D.③④ 【答案】 D 令f(x)=如图,f(x)在x∈[1,3]上具有性质P,可在x=3处不连续,①错; 令f(x)=-x,x∈[1,3],经检验可知f(x)=-x在x∈[1,3]上具有性质P.而f(x2)=-x2,x∈[1,],令g(x)=-x2,其图象如图所示. 由图象可知,g为点S的纵坐标,[g(x1)+g(x2)]为点F的纵坐标(其中EF为梯形ABCD的中位线),∴由图可知g>[g(x1)+g(x2)], ∴②错. 设x∈[1,3],则4-x∈[1,3], ∴f(x)+f(4-x)≥2f =2f (2)=2. 而f(x)+f(4-x)≤1+1=2,f(x)≤1,f(4-x)≤1,∴f(x)=f(4-x)=1,故③正确. f =f ≤ ≤ =[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)], ∴④正确.故真命题为③④. 考向1 函数图象的辨识 1.图象的变换 (1)平移变换 ①y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象沿x轴方向向左(+a)或向右(-a)平移a个单位得到; ②y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象沿y轴方向向上(+b)或向下(-b)平移b个单位得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称; ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称; ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. (3)伸缩变换 ①y=kf(x)(k>0)的图象,可由y=f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k>1)或缩短(0 ②y=f(kx)(k>0)的图象,可由y=f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0 (4)翻折变换 ①要得到y=|f(x)|的图象,可先画出y=f(x)的图象,然后“上不动,下翻上”即可得到; ②由于y=f(|x|)是偶函数,要得到y=f(|x|)的图象,可先画出y=f(x)的图象,然后“右不动,左去掉,右翻左”即可得到. 进行图象变换时,要合理选择变换的顺序,并进行适当的转化变形.例如,要得到y=2-|x-1|的图象,由于y=2-|x-1|=,可将y=的图象先通过对称翻折得到y=的图象,再通过平移得到y=的图象. 2.利用函数的性质确定函数图象的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊点线(如渐近线、对称轴等); (4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象. (1)(2013·四川,7)函数y=的图象大致是( ) (2)(2014·课标Ⅰ,6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( ) 【解析】 (1)(排除法)由已知得,3x-1≠0⇒x≠0,排除A; 又∵x<0时,3x-1<0,x3<0,∴y=>0,故排除B; 又y′=,当3-xln3<0时,x>>0,y′<0,所以D不符合. (2)(排除法)由题图可知: 当x=时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A,D;当x∈时,OM=cosx,设点M到直线OP的距离为d,则=sinx,即d=OMsinx=sinx·cosx,∴f(x)=sinxcosx=sin2x≤,排除B,故选C. 【答案】 (1)C (2)C 【点拨】 解答此类问题时注意函数的奇偶性、单调性、极值、特殊点处的函数值. 辨识函数图象的两种方法 (1)直接根据函数解析式作出函数图象,或者是根据图象变换作出函数的图象; (2)利用间接法,排除、筛选错误与正确的选项,可以从如下几个方面入手: ①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; ②从函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性: 如奇函数在对称的区间上单调性一致,偶函数在对称的区间上单调性相反; ④从函数的周期性,判断图象的循环往复; ⑤从特殊点出发,排除不符合要求的选项. 灵活应用上述方法,可以很快判断出函数的图象. (2013·山东,8)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( ) 【答案】 D 方法一: 令f(x)=xcosx+sinx, ∵f(-x)=-x·cosx-sinx=-f(x), ∴函数y=xcosx+sinx为奇函数,可排除B. 令xcosx+sinx=0,得tanx=-x,在同一直角坐标系中画出函数y=tanx和y=-x的图象如图,由图可知函数y=xcosx+sinx的零点有一个介于到π之间,可排除A,C,故选D. 方法二: 令f(x)=xcosx+sinx,则有f(-x)=-xcosx-sinx=-f(x), ∴f(x)为奇函数.∵奇函数的图象关于原点对称,而B中图象不关于原点对称,∴排除B;当x=时,y=1,而由C中图象知当x=时,y≠1,∴排除C;当x=π时,y=-π,而A中,当x=π时,y>0,∴排除A,故选D. 考向2 函数图象的应用 利用函数图象研究的几个方面 (1)利用函数的图象研究函数的性质: ①从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;②从图象的对称性,分析函数的奇偶性;③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性. (2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等. (1)(2011·课标全国,12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( ) A.10个B.9个C.8个D.1个 (2)(2014·山东,8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ) A.B. C.(1,2)D.(2,+∞) 【解析】 (1)在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)和y=|lgx|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A. (2)f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=. 要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知, 【答案】 (1)A (2)B 【点拨】 解题 (1)的关键是准确作出两函数的图象;解题 (2)的关键是将方程根的个数转化为函数图象的交点个数,数形结合加以判断. 函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数: 在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解; (2)确定方程根的个数: 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标; (3)研究不等式的解: 当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. 利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,因此作出的函数图象一定要准确. (2012·天津,14)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________. 【解析】 y= 函数y=kx-2恒过定点M(0,-2),kMA=0,kMB=4. 当k=1时,直线y=kx-2在x>1时与直线y=x+1平行,此时有一个公共点,∴k∈(0,1)∪(1,4)时,两函数图象恰有两个交点. 【答案】 (0,1)∪(1,4) 1.(2015·湖南株洲一模,6)函数y=xsinx在[-π,π]上的图象是( ) 【答案】 A 函数y=xsinx是偶函数,所以其图象关于y轴对称,排除D;由x=π时,y=0,排除C;由x=时,y=,排除B,故选A. 2.(2015·福建三明调研,3)函数y=ax2+bx与函数y=xa+b(a≠0)在同一坐标系中的图象可能为( ) 【答案】 C y=ax2+bx=a-.对A,由二次函数图象可知,a<0,-<0,所以b<0,函数y=xa+b不符合要求,同理B不符合要求;对于C,D,由二次函数图象可知,a<0,->0,所以b>0,比较选项C,D可知C符合要求. 3.(2015·山西晋城二模,5)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式<0的解集为( ) A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1) 【答案】 D f(x)为奇函数,所以不等式<0化为<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示. 所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1). 4.(2015·江西南昌二模,5)现有四个函数: ①y=xsinx,②y=xcosx,③y=x|cosx|,④y=x·2x的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.④①②③B.①④③② C.③④②①D.①④②③ 【答案】 D 由于函数y=xsinx是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象;函数y=xcosx为奇函数,且当x=π时,y=-π<0,故函数②对应第三个图象;函数y=x|cosx|为奇函数,故函数③与第四个图象对应;函数y=x·2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应.综上可知,选D. 5.(2015·陕西汉中模拟,6)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式应为( ) A.f(x)=exlnxB.f(x)=e-xln|x| C.f(x)=exln|x|D.f(x)=e|x|ln|x| 【答案】 C 由题图知,函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},排除选项A;当x→-∞时,f(x)→0,排除选项B,D.因此选C. 6.(2015·湖北武汉三模,7)对实数a和b,定义运算“□”: a□b=设函数f(x)=(x2-2)□(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( ) A.(-1,1]∪(2,+∞)B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2]D.[-2,-1] 【答案】 B 令(x2-2)-(x-1)≤1,得-1≤x≤2, ∴f(x)=若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,画出函数f(x)的图象知,实数c的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]. 7.(2015·河南洛阳模拟,9)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是( ) A.(1,2015)B.(1,2016) C.[2,2016]D.(2,2016) 【答案】 D 作出函数的图象,直线y=m交函数图象如图,不妨设a 8.(2015·广东深圳质检,10)设函数y=,关于该函数图象的命题如下: ①一定存在两点,这两点的连线平行于x轴; ②任意两点的连线都不平行于y轴; ③关于直线y=x对称; ④关于原点中心对称. 其中正确的是________. 【解析】 y===2+,图象如图所示.可知②③正确. 【答案】 ②③ 9.(2014·河北秦皇岛模拟,12)若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则实数a的取值范围是________. 【解析】 在同一坐标系中画出函数f(x)=2-x2,g(x)=|x-a|的图象,如图所示. 若a≤0,则其临界情况为折线g(x)=|x-a|与抛物线f(x)=2-x2相切.由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0,由Δ=1+4(a+2)=0,解得a=-;若a>0,则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2),此时a=2.结合图象可知,实数a的取值范围是. 【答案】 1.(2015·湖北,12,易)函数f(x)=4cos2cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为________. 【解析】 令4cos2cos-2sinx-=0. ∴2sinx=, 即sin2x=. 令y1=sin2x,y2=. 如图画出y1,y2的图象, 结合图象可得y1与y2有两个交点, ∴方程有2个根. ∴函数f(x)有2个零点. 【答案】 2 2.(2015·安徽,15,难)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________.(写出所有正确条件的编号) ①a=-3,b=-3; ②a=-3,b=2; ③a=-3,b>2; ④a=0,b=2; ⑤a=1,b=2. 【解析】 令f(x)=x3+ax+b, 则f′(x)=3x2+a. (1)当a≥0时,f′(x)≥0, ∴f(x)在R上单调递增, ∴y=f(x)在R上有一个零点. ∴x3+ax+b=0有一个实根. ∴④⑤正确; (2)当a<0时,令3x2+a=0. 当a=-3代入得x=-1或x=1. ∴f(x)极大值=f(-1)=-1+3+b=b+2, f(x)极小值=f (1)=1-3+b=b-2. 又∵x3+ax+b=0仅有一实根, ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0, ∴b<-2或b>2,∴①③正确,②不正确. ∴综上可知符合的为①③④⑤. 【答案】 ①③④⑤ 3.(2015·湖南,15,难)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________. 【解析】 令g(x)=f(x)-b=0, ∴f(x)=b. 在同一坐标系下,作出y=f(x),y=b的图象. 当a>1时,如图 (1). 由图象可知,存在实数b,使g(x)=f(x)-b有两个零点. 当a<0时,如图 (2). 由图象可知,存在实数b,使g(x)=f(x)-b有两个零点. 当0≤a≤1时,如图(3). 由图象可知,g(x)=f(x)-b最多有一个零点. 综上可得a的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞). 【答案】 (-∞,0)∪(1,+∞) 4.(2015·江苏,13,难)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________. 【解析】 ∵|f(x)+g(x)|=1, ∴g(x)=-f(x)+1或g(x)=-f(x)-1, ①当g(x)=-f(x)+1时, 由图可知,此时y=g(x)与y=-f(x)+1的图象有两个交点, 即g(x)=-f(x)+1有2个实根. ②当g(x)=-f(x)-1时, 由图可知,此时y=g(x)与y=-f(x)-1的图象有两个交点. 即g(x)=-f(x)-1有2个实数. 综合①②,可知方程有4个实根. 【答案】 4 5.(2015·北京,14,难)设函数f(x)= (1)若a=1,则f(x)的最小值为________; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________. 【解析】 (1)若a=1, 则f(x)= 当x<1时,f(x)=2x-1, f(x)无最小值; 当x≥1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4-1, ∴当x=时,f(x)取得最小值, 即f(x)min=f=-1. ∴f(x)的最小值为-1. (2)①若f(x)在x<1时恰有1个零点,则∴0 f(x)在x≥1时恰有1个零点, ∴2a≥1且a<1,即≤a<1. 综上所述,≤a<1. ②若f(x)在x<1时无零点,则a≤0或2-a≤0,即a≤0或a≥2. f(x)在x≥1时恰有2个零点. 当a≤0时,f(x)在x≥1时无零点,不符合题意. 当a≥2时,f(x)在x≥1时有2个零点. ∴a的取值范围为∪[2,+∞). 【答案】 -1 ∪[2,+∞) 1.(2012·湖北,9,易)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为
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